2018-2019学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1（5分）179是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2（5分）一元二次不等式（x1）（x+2）0的解集为（）Ax|x2或x1Bx|x1或x2Cx|2x1Dx|1x23（5分）己知弧长4的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所在的圆的半径为（）A1B2CD24（5分）化简的结果是（）ABCD5（5分）九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，

2、下三节容二升，中三节容几何？（）A二升B三升C四升D五升6（5分）已知的模为1且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A30B60C120D1507（5分）函数y|cosx|的最小正周期是（）ABCD28（5分）生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜若ba0，nR*，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）Aa+nb+nBCa+nb+nD9（5分）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度10（5分）干支纪年法是中国历法上自古以来就一

3、直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（）A丁申年B丙寅年C丁酉年D戊辰年11（5分）正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，；以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，若P，Q分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则下列对P，Q的描述正确的是（）AP0，Q0BP0

4、，Q0CP0，Q0DP0，Q012（5分）设a，b，c为ABC中的三边长，且a+b+c1，则a2+b2+c2+4abc的取值范围是（）A，B，）C（，D（，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13（5分）（2，1）与（1，y）平行则y 14（5分）已知x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为 15（5分）在正数数列an中，a11，且点在直线上，则前n项和Sn等于 16（5分）已知函数f（x）sin2x2cos2x+1，有以下结论：若f（x1）f（x2），则x1x2k（kZ）：f（x）在区间，上是增函数：f（x）的图象与g（x）2cos

5、（2x）图象关于x轴对称：设函数h（x）f（x）2x，当时，h（2）+h（）+h（+2）其中正确的结论为 三、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）己知角的终边经过点P（1，1）（1）求tan的值；（2）求的值18（12分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，已知点A（1，0），B（，），P为线段AB上靠近A点的三等分点（1）求点P的坐标：（2）若点Q在y轴上，且直线AB与直线PQ垂直，求点Q的坐标19（12分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一游客乘船进行观光，到达潇水河河面的

6、A处时测得塔顶在北偏东45的方向上，然后向正北方向行驶30m后到达B处，测得此塔顶在南偏东15的方向上，仰角为，且sin，若塔底C与河面在同一水平面上，求此塔CD的高度20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足：Sn2an2，nN*（1）求数列an的通项公式（2）若bnlog2an，求数列的前n项和Tn21（12分）近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有300m2的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天6m2的速度扩散当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3m2，该

7、部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作（1）写出k关于x的函数关系式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小（总损失因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）22（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O上存在两点A，B，满足AOB，AC，BD均与x轴垂直，设xOA（），AOC与BOD的面积之和记为f（）（1）若f（），求a的值；（2）若对任意的a（，），存在x（，0），使得f（）x+18m成立，且实数m使得数列an为递增数列，其中a10，an+1an2+an+m（nN*），求实数m的取值范围2018-

8、2019学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1（5分）179是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【分析】利用象限角的定义直接求解【解答】解：179是第二象限角故选：B【点评】本题考查角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题2（5分）一元二次不等式（x1）（x+2）0的解集为（）Ax|x2或x1Bx|x1或x2Cx|2x1Dx|1x2【分析】根据一元二次不等式（x1）（x+2）0，

9、即或，即可求解【解答】解：一元二次不等式（x1）（x+2）0即或，解得：2x1一元二次不等式（x1）（x+2）0的解集为x|2x1；故选：C【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法；属于基础题3（5分）己知弧长4的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所在的圆的半径为（）A1B2CD2【分析】利用弧长公式直接求解【解答】解：弧长4的弧所对的圆心角为2弧度，解得r2，这条弧所在的圆的半径为2故选：D【点评】本题考查圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题4（5分）化简的结果是（）ABCD【分析】根据向量加法及数乘的几何意义，即可得出【解答】解：故选：A【点评】考查向

10、量加法及数乘的几何意义5（5分）九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A二升B三升C四升D五升【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列再利用等差数列的性质，求出中三节容量【解答】解：由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为 3升，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题6（5分）已知的模为1且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A30B60C120D150【分析】根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式求出即可【解答】解：|1，则在方向上的投

11、影为|cos1cos，cos；又0，180，与的夹角为30故选：A【点评】本题考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，是基础题7（5分）函数y|cosx|的最小正周期是（）ABCD2【分析】根据三角函数的周期公式进行计算即可【解答】解：由角函数的周期公式可得函数ycosx的周期T2，则绝对值y|cosx|的周期减半，即为，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础8（5分）生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜若ba0，nR*，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）Aa+nb+nBCa+nb+nD【分析】由题意可得糖水甜

12、可用浓度体现，设糖的量为a，糖水的量设为b，添加糖的量为n，对照选项即可得到结论【解答】解：若ba0，nR*，设糖的量为a，糖水的量设为b，添加糖的量为n，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于ba，不成立，故选：B【点评】本题考查不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，属于基础题9（5分）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【分析】先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数f（x）的解析式，然后

13、根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果【解答】解：函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象，可得A1，T，T，则2，再根据五点法作图可得2+，求得，故f（x）sin（2x+）函数yf（x）的图象向左平移个单位，可得ysin2（x+）+sin（2x+）cos2x的图象， 则只要将g（x）cos2x的图象向右平移个单位长度可得f（x）故选：A【点评】本题主要考查利用了yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题10（5分）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、

14、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（）A丁申年B丙寅年C丁酉年D戊辰年【分析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，可以得到结果【解答】解：天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C【点评】本题考查合情推理及等差数列的性质，属于基础题11（5分）正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，；以顶点D为起点，其他顶点为终点的向

15、量分别为，若P，Q分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则下列对P，Q的描述正确的是（）AP0，Q0BP0，Q0CP0，Q0DP0，Q0【分析】利用向量的数量积公式，可知只有0，其余数量积均小于等于0，从而可结论【解答】解：由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，；以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，利用向量的数量积公式，可知只有0，其余数量积均小于等于0，P，Q分别为（+）（+）的最小值、最大值，P0，Q0故选：A【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键12（5

16、分）设a，b，c为ABC中的三边长，且a+b+c1，则a2+b2+c2+4abc的取值范围是（）A，B，）C（，D（，）【分析】记f（a，b，c）a2+b2+c2+4abc，则f（a，b，c）12ab2c（a+b）+4abc，再根据三角形边长性质可以证得f（a，b，c）再利用不等式和已知可得ab，所以f（a，b，c）12c（1c），再利用求导根据单调性可以推得a2+b2+c2+4abc，继而可以得出结果【解答】解：记f（a，b，c）a2+b2+c2+4abc，则f（a，b，c）12ab2c（a+b）+4abc12ab（12c）2c（1c）2（c+ab）22a2b22（ab+c）+12c+ab2

17、2a2b2+4（c）（a）（b）+又a，b，c为ABC的三边长，所以12a0，12b0，12c0，所以f（a，b，c）另一方面f（a，b，c）12ab（12c）2c（1c），由于a0，b0，所以ab，又12c0，所以f（a，b，c）12c（1c），不妨设abc，且a，b，c为ABC的三边长，所以令y，则y3c2cc（3c1）0，所以ymin，从而，当且仅当abc时取等号故选：B【点评】本题考查解三角形，综合了函数和不等式，属于综合性较强的题，难度较大二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13（5分）（2，1）与（1，y）平行则y【分析】由题

18、意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得y的值【解答】解：（2，1）与（1，y）平行，2y+10，y，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题14（5分）已知x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z2x+y为y2x+z，由图可得，当直线y2x+z过A（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为21+13故答案为：3【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题

19、思想方法，是中档题15（5分）在正数数列an中，a11，且点在直线上，则前n项和Sn等于2n1【分析】在正数数列an中，由a11，且点在直线上，知，n2，nN*，所以，n2，nN*，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n项和Sn【解答】解：在正数数列an中，a11，且点在直线上，n2，nN*，n2，nN*，n2，nN*，a11，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，2n1故答案为：2n1【点评】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用16（5分）已知函数f（x）sin2x2cos2x+1，有以下结

20、论：若f（x1）f（x2），则x1x2k（kZ）：f（x）在区间，上是增函数：f（x）的图象与g（x）2cos（2x）图象关于x轴对称：设函数h（x）f（x）2x，当时，h（2）+h（）+h（+2）其中正确的结论为【分析】利用二倍角和辅助角对函数化简可得f（x）sin2x2cos2x+12sin（2x），结合三角函数的性质依次判断各结论可得答案；【解答】解：函数化简可得f（x）sin2x2cos2x+12sin（2x），对于：若f（x1）f（x2），可知x1，x2关于对称轴是对称的，即x1+x2，不对；对于：令2x，可得；f（x）在区间，上是增函数：正确；对于：f（x）的图象关于x轴对称，即（

21、x，y）关于x轴对称的点是（x，y）可得y2sin（2x）2sin（2x+）2cos（2x）；对；对于：设函数h（x）f（x）2x2sin（2x）2x当时，h（2）2sin（2（2）2（2）2sin（24）（24）h（）2sin（2）2h（+2）2sin（2+4）（2+4）h（2）+h（）+h（+2）故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键三、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）己知角的终边经过点P（1，1）（1）求tan的值；（2）求的值【分析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求

22、出结果（2）利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果【解答】解：（1）由题意，由角的终边经过点P（1，1），所以：（2）由（1）知tan1，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18（12分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，已知点A（1，0），B（，），P为线段AB上靠近A点的三等分点（1）求点P的坐标：（2）若点Q在y轴上，且直线AB与直线PQ垂直，求点Q的坐标【分析】（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标（2）由题意利用

23、两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q的坐标【解答】解：（1）设点P的坐标为（a，b），平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，已知点A（1，0），B（，），P为线段AB上靠近A点的三等分点，即 （ a1，b）（，）（ ，），a，b（2）设Q（0，c），直线AB与直线PQ垂直，（，），（，c），（）+（c）0，求得c2，故Q（0，2）【点评】本题主要考查线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题19（12分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一游客乘船进行观光，到达潇水河河面的A处时测

24、得塔顶在北偏东45的方向上，然后向正北方向行驶30m后到达B处，测得此塔顶在南偏东15的方向上，仰角为，且sin，若塔底C与河面在同一水平面上，求此塔CD的高度【分析】根据正弦定理求得BC，然后在直角三角形中求得CD【解答】解：由题意，在ABC中，BAC45，ABC15故ACB120，又AB30m，故由正弦定理得：，解得BC10msin，tanCD30m（没有单位扣1分）【点评】本题考查了解三角形，属中档题20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足：Sn2an2，nN*（1）求数列an的通项公式（2）若bnlog2an，求数列的前n项和Tn【分析】（1）求出数列的首项，推出数列是等比数

25、列，然后求解通项公式（2）利用对数运算化简数列，通过裂项法求和求解即可【解答】解：（1）数列an的前n项和为Sn，且满足：Sn2an2，nN*，当n1时，解得a12，当n2时，Sn12an12，可得：an2an2an1，可得an2an1，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列是的通项公式：an2n（2）bnlog2ann，则：，数列的前n项和Tn1【点评】本题考查数列的递推关系式，数列求和的应用、错位相减法及裂项相消法对数列求和，考查学生综合运用知识解决问题的能力21（12分）近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有300m2的坝面渗水，经测算，坝而每平方

26、米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天6m2的速度扩散当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3m2，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作（1）写出k关于x的函数关系式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小（总损失因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）【分析】（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得3kx300+6k，所以，x3，xN+（2）损失包渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到y300

27、（300+6k）+600x+300kx121200+600（x2）+利用基本不等式即可得到结果【解答】解：（1）由题意得3kx300+6k，所以，x3，xN+（2）设总损失为y元，则y300（300+6k）+600x+300kx121200+600（x2）+121200+212000145200当且仅当600（x2），即x22时，等号成立所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小【点评】本题考查了利用函数解决实际问题，审题是关键，函数与不等式方程思想的有机结合应用，应用基本不等式时一定要注意取等号的条件属于中档题22（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O上存在两点A，B，满足

28、AOB，AC，BD均与x轴垂直，设xOA（），AOC与BOD的面积之和记为f（）（1）若f（），求a的值；（2）若对任意的a（，），存在x（，0），使得f（）x+18m成立，且实数m使得数列an为递增数列，其中a10，an+1an2+an+m（nN*），求实数m的取值范围【分析】（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；（2）由正弦函数的值域可得f（x）的最大值，再由基本不等式可得x+（x0）的最大值，可得m的范围，再由数列的单调性，讨论m的范围，即可得到所求范围【解答】解：（1）依题意f（）SAOC+SBODcossin+cos（）sin（）sin2+s

29、in（2）sin2+（cos2+sin2）sin2cos2sin（2），由f（），得sin（2），由，可得2或，解得或；（2）由（1）得f（）sin（2），可得2（，），从而f（）max，当x0时，x+（x）+2（当且仅当x时，等号成立），对任意，存在x0，使得f（）x+18m成立可得f（）max（x+）max+18m，即2+18m，解得m，数列an为递增数列，且a10，an+1an2+an+m，则an+1anman20，从而man20，又a2ma1，a32mm2a2m，可得0m1，从而an2m1，可得0a1an，又an+2an+1（an+12an2）+（an+1an）（an+1an）（an+1+an1），当0m时，an，从而an+1+an10，此时an+1an与an+2an+1同号，又a2a1m0，可得an+1an0，即an+1an；当m1时，由于n趋向于正无穷大时，an+1与an趋向于相等，从而an与趋向于相等，即存在正整数n，使an，从而an+1+an10，此时an+1an与an+2an+1异号，与数列an为递增数列矛盾综上，实数m的取值范围为，【点评】本题考查三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法，和数列的单调性的判断和运用，考查化简运算能力属于难题