1、2018-2019学年湖南省张家界市慈利县高一（下）期中数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共计60分）1（5分）已知等差数列an中，a510，a714，则公差d（）A1B2C2D12（5分）若ab，cd，下列不等式正确的是（）AcbdaBacbdCacbdD3（5分）在ABC中，已知a8，B30，b4，则c等于（）AB2C3D44（5分）若三个实数a，b，c成等比数列，其中a3，c3+，则b（）A2B2C2D45（5分）设0ab且a+b1，则下列四数中最大的是（）Aa2+b2B2abCaD6（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度
2、是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm7（5分）若数列an中，则这个数列的第10项a10（）A28B29CD8（5分）已知平面区域如图所示，zmx+y（m0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为（）AB1CD不存在9（5分）二次方程x2+（a2+1）x+a20，有一个根比1大，另一个根比1小，则a的取值范围是（）A3a1B2a0C1a0D0a210（5分）已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若，则（）ABC1D211（5分）已知数列an，a11，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上，则（）ABCD12（5分）已知A
3、BC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）sin（CAB）+，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）Abc（b+c）8Bab（a+b）16C6abc12D12abc24二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分）13（5分）函数f（x）lg（x24x+3）的定义域为 14（5分）在等比数列an中，a4，a8是关于x的方程x2+10x+40的两个实根，则a2a6a10 15（5分）已知数列an的前n项和为Sn满足，则数列an的通项公式an 16（5分）锐角ABC的三边a，b，c和面积S满足条件，又角C既不是ABC的最大角也不是ABC
4、的最小角，则实数k的取值范围是 三、解答题（本题共6个小题，共计70分）17（10分）解下列不等式：若不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，试确定实数a的取值范围18（12分）如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB+b2c（1）求角A的大小：（2）若AC边上的中线BD的长为，且ABBD，求BC的长19（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4（1）求an的通项公式；（2）设cnan+bn，求数列cn的前n项和20（12分）已知数列an的前n项和Sn（1）若三角形的三边长分别为a3，a5，a7，求此三角形的
5、面积；（2）探究数列an中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍若存在，找出这样的三项，若不存在，说明理由21（12分）某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：产品时间工艺要求甲乙生产能力台时/天制白坯时间612120油漆时间8464单位利润200240 问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润最大利润是多少？22（12分）在数列an中，已知a10，a26，且对于任意正整数n都有an+25an+16an（1）令bnan+12an，求数列bn的通项公式；（2）求an的通项
6、公式；（3）设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立2018-2019学年湖南省张家界市慈利县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共计60分）1（5分）已知等差数列an中，a510，a714，则公差d（）A1B2C2D1【分析】利用等差数列的定义及通项公式可知a7a542d，故可求【解答】解：由题意，a7a542d，d2，故选：B【点评】本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题2（5分）若ab，cd，下列不等式正确的是（）AcbdaBacbdCacbdD【分析】本题可利用不等式的基本性质，运用已知条件，进行正确推导，得本
7、题结论【解答】解：ab，ab，即bacd，cbda故选：A【点评】本题考查的是不等式的基本性质，要求准确掌握不等式的基本性质，本题计算小，属于基础题3（5分）在ABC中，已知a8，B30，b4，则c等于（）AB2C3D4【分析】由已知利用正弦定理可求sinA，可求A，结合直角三角形的边角关系求解【解答】解：a8，B30，b4，由正弦定理，可得：sinA1，A（0，180），A90C600在RtABC中，cBC故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题4（5分）若三个实数a，b，c成等比数列，其中a3，c3+，则b（）A2B
8、2C2D4【分析】根据等比数列的性质即可求出【解答】解：三个实数a，b，c成等比数列，则b2ac（3）（3+）954，则b2，故选：C【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题5（5分）设0ab且a+b1，则下列四数中最大的是（）Aa2+b2B2abCaD【分析】根据不等式的性质和作差法即可比较大小【解答】解：0ab且a+b12b12abaa（2b1）0，即2aba又a2+b22ab（ab）20a2+b22ab最大的一个数为a2+b2故选：A【点评】本题考查比较大小问题，作差法是常用的方法同时要注意不等式的性质和均值不等式的应用属简单题6（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的
9、俯角分别为75，30，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，DAB15，tan15tan（4530）2在RtADB中，又AD60，DBADtan1560（2）12060在RtADC中，DAC60，AD60，DCADtan6060BCDCDB60（12060）120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故选：B【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题7（
10、5分）若数列an中，则这个数列的第10项a10（）A28B29CD【分析】对等式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式可得an，计算可得a10【解答】解：数列an中，可得+3，即有+3（n1）3n2，则an，可得a10，故选：C【点评】本题考查构造数列法，注意运用等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题8（5分）已知平面区域如图所示，zmx+y（m0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为（）AB1CD不存在【分析】目标函数Zmx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上，目标函数的截距取得最大值，故最大值应在左上方边界AC上取到，即mx+y0应与直线AC
11、平行；进而计算可得m的值【解答】解：由题意，zmx+y（m0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，最优解应在线段AC上取到，故mx+y0应与直线AC平行kAC，m，m，故选：C【点评】本题考查线性规划的应用，目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反根据分析结果，结合图形做出结论根据斜率相等求出参数9（5分）二次方程x2+（a2+1）x+a20，有一个根比1大，另一个根比1小，则a的取值范围是（）A3a1B2a0C1a0D0a2【分析】由题意令f（x）x2+（a2+1）x+a2，然后根据条件f（1）0且f（1
12、）0，从而解出a值【解答】解：令f（x）x2+（a2+1）x+a2，则f（1）0且f（1）0即，1a0故选：C【点评】此题考查根的存在性及根的个数判断，比较简单是一道基础题10（5分）已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若，则（）ABC1D2【分析】利用正弦定理化边为角可求，从而可得答案【解答】解：asinAsinB+bcos2Aa，由正弦定理可得，sin2AsinB+sinBcos2AsinA，即：sinBsinA，则故选：B【点评】该题考查正弦定理的应用，熟记相关公式并能灵活运用是解题关键，属于基础题11（5分）已知数列an，a11，前n项和为Sn，且点P（an，an+
13、1）（nN*）在直线xy+10上，则（）ABCD【分析】由“P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和【解答】解：点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上anan+1+10数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列ann故选：C【点评】本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题，来考查数列的通项公式及前n项和的求法12（5分）已知ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）sin（CAB）+，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成
14、立的是（）Abc（b+c）8Bab（a+b）16C6abc12D12abc24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论【解答】解：ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）sin（CAB）+，sin2A+sin2Bsin2C+，sin2A+sin2B+sin2C，2sinAcosA+2sin（B+C）cos（BC），2sinA（cos（BC）cos（B+C），化为2sinA2sinBsin（C），sinAsinBsinC设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：2R，由S，及正弦定理得sinAsinBsinC，即R24S，面积S满足1S2，4R28
15、，即2R，由sinAsinBsinC可得，显然选项C，D不一定正确，Abc（b+c）abc8，即bc（b+c）8，正确，Bab（a+b）abc8，即ab（a+b）8，但ab（a+b）16，不一定正确，故选：A【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分）13（5分）函数f（x）lg（x24x+3）的定义域为（，1）（3，+）【分析】根据对数函数的定义列不等式，求出解集即可【解答】解：函数f（x）lg（x24x+3），x24x+30，解得x1或x3，函数f
16、（x）的定义域为（，1）（3，+）故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题考查了对数函数的定义与一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题14（5分）在等比数列an中，a4，a8是关于x的方程x2+10x+40的两个实根，则a2a6a108【分析】根据根与系数的关系，得到a4a84，a4+a810，所以a40，a80，所以a4a84，a60得a62，即可得到a2a6a10的值【解答】解：根据a4，a8是关于x的方程x2+10x+40的两个实根，得a4a84，a4+a810，所以a40，a80，且a4a84，又因为等比数列的偶数项符号相同，所以a62，所以a2a6a108故填：8【点评】本题考查了
17、二次方程的根与系数的关系，等比数列的性质等属于基础题15（5分）已知数列an的前n项和为Sn满足，则数列an的通项公式an【分析】结合已知及递推公式ansnsn1可转化，结合等差数列的通项公式可求sn，进而可求an【解答】解：，n2时，snsn12snsn1，2，数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，2+（n1）22n，sn，an2snsn1a1不适合上式故an，故答案为：an【点评】本题主要考查了利用是数列的递推公式ansnsn1在数列通项公式求解中的应用，属于中等试题16（5分）锐角ABC的三边a，b，c和面积S满足条件，又角C既不是ABC的最大角也不是ABC的最小角，则实数k的取值范围
18、是【分析】先根据余弦定理和面积公式表示出，得到关于C的关系式，再由万能公式和角C的范围确定答案【解答】解：c2a2+b22abcosC又SabsinCsinCktan锐角三角形ABC，C又不是最大最小角则45C901tan11k1故答案为：（1，1）【点评】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属基础题三、解答题（本题共6个小题，共计70分）17（10分）解下列不等式：若不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，试确定实数a的取值范围【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a20与a20两类讨论，特别是后者，式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，于是问题即可解决【解
19、答】解：当a2时，原不等式即为40，恒成立，即a2满足条件；（3分）当 a2时，要使不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，必须 （9分）即，解得，2a2（11分）综上所述，a的取值范围是2a2（12分）【点评】本题考查二次函数的性质，易错点在于忽略a20这种情况而导致错误，属于中档题18（12分）如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB+b2c（1）求角A的大小：（2）若AC边上的中线BD的长为，且ABBD，求BC的长【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinB2cosAsinB，结合sinB0，可求cosA
20、，结合范围A（0，），可求A（2）在RtABD中，可求AD2，AB1，由AC2AD4，在ABC中，利用余弦定理可求BC的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）2acosB+b2c，由正弦定理可得：2sinAcosB+sinB2sinC，可得：2sinAcosB+sinB2sinC2sin（A+B）2sinAcosB+2cosAsinB，sinB2cosAsinB，2分sinB0，cosA，4分A（0，），A6分（2）在RtABD中，AD2，AB1，8分D为AC的中点，AC2AD4，9分在ABC中，BC242+12213，11分BC12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和
21、的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4（1）求an的通项公式；（2）设cnan+bn，求数列cn的前n项和【分析】（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q3，d2，进而得到所求通项公式；（2）求得cnan+bn2n1+3n1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，由b23，b39，可得q3，bnb2qn233n
22、23n1；即有a1b11，a14b427，则d2，则ana1+（n1）d1+2（n1）2n1；（2）cnan+bn2n1+3n1，则数列cn的前n项和为（1+3+（2n1）+（1+3+9+3n1）n2n+n2+【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题20（12分）已知数列an的前n项和Sn（1）若三角形的三边长分别为a3，a5，a7，求此三角形的面积；（2）探究数列an中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍若存在，找出这样的三项，若不存在，说明
23、理由【分析】（1）数列an的前n项和Sn求出ann，（nN） 不妨设ABC三边长为a3，b5，c7，利用余弦定理求出C的正弦函数值，然后求解三角形的面积（2）假设数列an存在相邻的三项满足条件，因为ann，设三角形三边长分别是n，n+1，n+2，（n+n+1n+2n1），三个角分别是，3，2，利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍推出结果【解答】解：（1）数列an的前n项和Sn当n1时，a1S11，（1分）当n2时，anSnSn1n，（2分）又n1时，1a1，所以ann，（nN） （3分）不妨设ABC三边长为a3，b5，c7，cosC （4分）所以sinC （5分）所以SA
24、BC （6分）【注意：求出其它角的余弦值，利用平方关系求出正弦值，再求出三角形面积，同样得分】（2）假设数列an存在相邻的三项满足条件，因为ann，设三角形三边长分别是n，n+1，n+2，（n+n+1n+2n1），三个角分别是，3，2 （8分）由正弦定理：，所以cos （9分）由余弦定理：n2（n+1）2+（n+2）22（n+1）（n+2）cos，即 n2（n+1）2+（n+2）22（n+1）（n+2） （10分）化简得：n23n40，所以：n4或n1（舍去） （11分）当n4时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍所以数列an中存在相邻的三项4，5，6，满足
25、条件（12分）【点评】本题考查数列与三角函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力21（12分）某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：产品时间工艺要求甲乙生产能力台时/天制白坯时间612120油漆时间8464单位利润200240 问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润最大利润是多少？【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求【解答】解：设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，那么（1分
26、）目标函数为 z200x+240y（2分）作出二元一次不等式所表示的平面区域（阴影部分）即可行域把z200x+240y变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随z变化的一族平行直线如图可以看出，当直线经过可行域上A时，截距最大，即z最大 （6分）解方程组得A的坐标为x4，y8 （7分）所以zmax200x+240y2720答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是2720元【点评】本题主要考查了简单线性规划的应用，以及平面区域图的画法和二元一次不等式组的解法，属于中档题22（12分）在数列an中，已知a10，a26，且对于任意正整数n都有an+2
27、5an+16an（1）令bnan+12an，求数列bn的通项公式；（2）求an的通项公式；（3）设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立【分析】（1）由an+25an+16an化为an+22an+13（an+12an），根据bnan+12an，a10，a26，可得bn+13bn且b16，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可得，an+12an23n，可得，令cn，可得，利用等比数列的通项公式可得cn，即可得出an（3）假设存在无论m为何值，都有一个正整数n使成立，代入化简|m，解出即可得出【解答】解：（1）an+25an+16anan+22an+13（an+12an），bnan+12an，a10，a26，bn+13bn且b16，数列bn是以6为首项，以3为公比的等比数列，（2）由（1）可得，an+12an23n，令cn，则，且c122，cn22，cn22（3）假设存在无论m为何值，都有一个正整数n使成立，|m，即m，可得：，取n，因此m是一个正数，无论m为何值，都有一个正整数n使成立取n的正整数即可【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、转化方法，方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
