1、专题二 压轴解答题第六关 以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质类型一 以数列和项与通项关系定义新数列典例1【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，且对于任意，均有成立求数列的通项公式；求所
2、有的正整数s，t，使得等式成立典例2【2019上海静安区上学期期末】将个数，的连乘积记为，将个数，的和记为（）来源:Zxxk.Com（1）若数列满足，设，求；（2）用表示不超过的最大整数，例如，若数列满足，求的值；学-（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）来源:Z,X,X,K【举一反三】若数列同时满足：对于任意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，成等差数列，证明： 是等差数列类型二 以分段
3、形式定义新数列典例3【2019广东茂名一模】已知为数列的前项和，（1）求数列的通项公式来源:Z#X#X#K（2）若，求数列的前项和【举一反三】已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”若数列“坠点数列”，求若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由类型三 以分拆定义新数列典例5记对数列和的子集T，若，定义；若，定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时，（1）求数列的通项公式；学-（2）对任意正整数，若，求证：；（3
4、）设，求证：【举一反三】设数列A：， ()如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2，3，N），则的元素个数不小于 -来源：来源:Z.xx.k.Com【精选名校模拟】1【2019江苏镇江上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列，数列满足：对任意的正整数，都有（1）分别求数列与的通项公式；（2）若不等式对一切正整数都成立，求实数的取值范围；（3）已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列设数列的前项
5、的和为，试问：是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由来源:2【2019江苏南京六校12月联考】已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN*（1）若，求；（2）若bn1(k)2bn(k)对均成立，数列an的前n项和为Sn（i）求数列an的通项公式；（ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值3【2019苏北三市一模】已知数列满足对任意的，都有，且，其中，记（1）若，求的值；（2）设数列满足 求数列的通项公式； 若数列满足，且当时，是否存在正整数，使，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由4【2019江苏徐州第一学期期中
6、模拟】设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的通项公式； 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：5【2019北京大兴区第一学期期末】设有限数列，定义集合为数列的伴随集合（）已知有限数列和数列分别写出和的伴随集合；（）已知有限等比数列，求的伴随集合中各元素之和；（）已知有限等差数列，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由_网6【2019内蒙古鄂尔多斯上学期期中考试】已知数列是等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次取出第2
7、项，第4项，第8项，第项，按原来的顺序组成一个新数列，求7【2018上海长宁、嘉定区一模】已知数列满足： ，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列8设数列的前n项和为，数列满足：，且数列的前n项和为(1) 求的值；学_(2) 求证：数列是等比数列；(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：9【2018上海黄浦区二模】定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”已知数列是数列的伴随数列，试
8、解答下列问题：(1)若，求数列的通项公式；(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；(3)若，数列是等比数列，求的数值10【2018北京六区一模】数列： 满足： 记的前项和为，并规定定义集合， ，（）对数列： ，求集合；（）若集合，证明： ；（）给定正整数对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值11【2019北京四中上学期期中考试】对于数列A：a1，a2，a3，定义A的“差数列” A：，（I）若数列A：a1，a2，a3，的通项公式，写出A的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，使得A是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，的差数列的差数列 （A）的所有项都等于1，且=0
9、，求的值12【2019福建福州八县一中上学期期中考】定义为n个正数的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为（1）求数列an的通项公式%网（2）设数列的前n项和为，若4对一切恒成立试求实数m的取值范围(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由13【2019上海市浦东新区一模】已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为求，并猜想不要求证明)；令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；已知数列满足：，数列满足：，求证：14设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列为“数列”，设，证明： 8
