专题2.6 以新定义数列为背景的解答题(原卷版)

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1、专题二 压轴解答题第六关 以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题,首先考察对定义的理解其次是考查满足新定义的数列的简单应用,如在某些条件下,满足新定义的数列有某些新的性质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需要结合新数列的新性质,探究“旧”性质第三是考查综合分析能力,主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上,创造性地证明更新的性质类型一 以数列和项与通项关系定义新数列典例1【2019江苏苏州上学期期末】定义:对于任意,仍为数列中的项,则称数列为“回归数列”(1)己知(),判断数列是否为“回归数列”,并说明理由;(2)若数列为“回归数列”,且对于任意,均有成立求数列的通项公式;求所

2、有的正整数s,t,使得等式成立典例2【2019上海静安区上学期期末】将个数,的连乘积记为,将个数,的和记为()来源:Zxxk.Com(1)若数列满足,设,求;(2)用表示不超过的最大整数,例如,若数列满足,求的值;学-(3)设定义在正整数集上的函数满足:当()时,问是否存在正整数,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由(已知)来源:Z,X,X,K【举一反三】若数列同时满足:对于任意的正整数,恒成立;对于给定的正整数,对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”(1)已知判断数列是否为“数列”,并说明理由;(2)已知数列是“数列”,且存在整数,使得,成等差数列,证明: 是等差数列类型二 以分段

3、形式定义新数列典例3【2019广东茂名一模】已知为数列的前项和,(1)求数列的通项公式来源:Z#X#X#K(2)若,求数列的前项和【举一反三】已知两个无穷数列分别满足,其中,设数列的前项和分别为(1)若数列都为递增数列,求数列的通项公式;(2)若数列满足:存在唯一的正整数,使得,称数列为“坠点数列”若数列“坠点数列”,求若数列为“坠点数列”,数列为“坠点数列”,是否存在正整数,使得,若存在,求的最大值;若不存在,说明理由类型三 以分拆定义新数列典例5记对数列和的子集T,若,定义;若,定义例如:时,现设是公比为3的等比数列,且当时,(1)求数列的通项公式;学-(2)对任意正整数,若,求证:;(3

4、)设,求证:【举一反三】设数列A:, ()如果对小于()的每个正整数都有 ,则称是数列A的一个“G时刻”记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;(2)证明:若数列A中存在使得,则 ;(3)证明:若数列A满足- 1(n=2,3,N),则的元素个数不小于 -来源:来源:Z.xx.k.Com【精选名校模拟】1【2019江苏镇江上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列,数列满足:对任意的正整数,都有(1)分别求数列与的通项公式;(2)若不等式对一切正整数都成立,求实数的取值范围;(3)已知,对于数列,若在与之间插入个2,得到一个新数列设数列的前项

5、的和为,试问:是否存在正整数,使得?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由来源:2【2019江苏南京六校12月联考】已知数列an各项均不相同,a11,定义,其中n,kN*(1)若,求;(2)若bn1(k)2bn(k)对均成立,数列an的前n项和为Sn(i)求数列an的通项公式;(ii)若k,tN*,且S1,SkS1,StSk成等比数列,求k和t的值3【2019苏北三市一模】已知数列满足对任意的,都有,且,其中,记(1)若,求的值;(2)设数列满足 求数列的通项公式; 若数列满足,且当时,是否存在正整数,使,成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由4【2019江苏徐州第一学期期中

6、模拟】设数列的各项均为不等的正整数,其前项和为,我们称满足条件“对任意的,均有”的数列为“好”数列(1)试分别判断数列,是否为“好”数列,其中,并给出证明;(2)已知数列为“好”数列 若,求数列的通项公式; 若,且对任意给定正整数(),有成等比数列,求证:5【2019北京大兴区第一学期期末】设有限数列,定义集合为数列的伴随集合()已知有限数列和数列分别写出和的伴随集合;()已知有限等比数列,求的伴随集合中各元素之和;()已知有限等差数列,判断是否能同时属于的伴随集合,并说明理由_网6【2019内蒙古鄂尔多斯上学期期中考试】已知数列是等差数列,(1)求数列的通项公式;(2)若从数列中依次取出第2

7、项,第4项,第8项,第项,按原来的顺序组成一个新数列,求7【2018上海长宁、嘉定区一模】已知数列满足: ,(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,且满足,试确定的值,使得数列为等差数列;(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列,且,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列8设数列的前n项和为,数列满足:,且数列的前n项和为(1) 求的值;学_(2) 求证:数列是等比数列;(3) 抽去数列中的第1项,第4项,第7项,第3n-2项,余下的项顺序不变,组成一个新数列,若的前n项和为,求证:9【2018上海黄浦区二模】定义:若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”已知数列是数列的伴随数列,试

8、解答下列问题:(1)若,求数列的通项公式;(2)若,为常数,求证:数列是等差数列;(3)若,数列是等比数列,求的数值10【2018北京六区一模】数列: 满足: 记的前项和为,并规定定义集合, ,()对数列: ,求集合;()若集合,证明: ;()给定正整数对所有满足的数列,求集合的元素个数的最小值11【2019北京四中上学期期中考试】对于数列A:a1,a2,a3,定义A的“差数列” A:,(I)若数列A:a1,a2,a3,的通项公式,写出A的前3项;(II)试给出一个数列A:a1,a2,a3,使得A是等差数列;(III)若数列A:a1,a2,a3,的差数列的差数列 (A)的所有项都等于1,且=0

9、,求的值12【2019福建福州八县一中上学期期中考】定义为n个正数的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为(1)求数列an的通项公式%网(2)设数列的前n项和为,若4对一切恒成立试求实数m的取值范围(3)令,问:是否存在正整数k使得对一切恒成立,如存在求出k值,否则说明理由13【2019上海市浦东新区一模】已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上,依次取点,并在第一象限内的抛物线上依次取点,使得都为等边三角形,其中为坐标原点,设第n个三角形的边长为求,并猜想不要求证明);令,记为数列中落在区间内的项的个数,设数列的前m项和为,试问是否存在实数,使得对任意恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;已知数列满足:,数列满足:,求证:14设数列的首项为1,前n项和为,若对任意的,均有(k是常数且)成立,则称数列为“数列”(1)若数列为“数列”,求数列的通项公式;(2)是否存在数列既是“数列”,也是“数列”?若存在,求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值;若不存在,请说明理由;(3)若数列为“数列”,设,证明: 8

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