专题1.2 极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

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1、一、极值点偏移的判定定理对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且,(1)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏;#网(2)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏.证明:(1)因为对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,由于,有,且,又,故,所以,即函数极(小)大值点右(左)偏;(2)证明略.左快右慢(极值点左偏) 左慢右快(极值点右偏)左快右慢(极值点左偏) 左慢右快(极值点右偏)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述:(1)求出函数的极值点;(2)构造一元差函数;(3)确定函数的单调性

2、;(4)结合,判断的符号,从而确定、的大小关系.口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板:若已知函数满足,为函数的极值点,求证:.(1)讨论函数的单调性并求出的极值点; 假设此处在上单调递减,在上单调递增.来源:Z,xx,k.Com来源:(2)构造; 注:此处根据题意需要还可以构造成的形式.来源:Zxxk.Com(3)通过求导讨论的单调性,判断出在某段区间上的正负,并得出与的大小关系;假设此处在上单调递增,那么我们便可得出,从而得到:时,.(4)不妨设,通过的单调性,与的大小关系得出结论;接上述情况,由于时,且,故,又因为,且在上单调递减,从而

3、得到,从而得证.(5)若要证明,还需进一步讨论与的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.此处只需继续证明:因为,故,由于在上单调递减,故.*网【说明】(1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求的单调性、极值点,证明与(或与)的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如或的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.来源:Z。xx。k.Com三、新题展示【2019湖南郴州二中月考】已知函数,(1)若,求函数的单调区间;(2)设(i)若函数有极值,求实数的取值范围;(

4、ii)若(),求证:【答案】(1)见解析;(2)见解析 (2)(i) =,定义域为(0,+),当时,函数在(0,+)上为单调递增函数,不存在极值当时,令,得,所以,易证在上为增函数,在上为减函数,所以当时,取得极大值所以若函数有极值,实数的取值范围是因为,所以在上为减函数,所以在上为增函数,所以,即,故成立【2019江西赣州十四县(市)期中联考】已知函数(为常数),曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行(1)求的值及函数的单调区间;(2)若存在不相等的实数使成立,试比较与的大小 【答案】(1)a=2,在区间(,ln 2)上单调递减,在(ln 2,)上单调递增(2)x1x22ln 2 (2)证明:设

5、xln 2,所以2ln 2xln 2,(2ln 2x)e(2ln 2x)2(2ln 2x)12x4ln 21令g(x) (x)(2ln 2x)ex4x4ln 2(xln 2),所以g(x)ex4ex40,当且仅当xln 2时,等号成立,&网所以g(x)(x)(2ln 2x)在(ln 2,)上单调递增 又g(ln 2)0,所以当xln 2时,g(x)(x)(2ln 2x)g(ln 2)0,即(x)(2ln 2x),不妨设x1ln 2x2,所以(x2)(2ln 2x2),又因为(x1)(x2),所以(x1)(2ln 2x2), 由于x2ln 2,所以2ln 2x2ln 2,因为x1ln 2,由(1

6、)知函数y(x)在区间(,ln 2)上单调递减,所以x12ln 2x2,即x1x22ln 2#网四、对点详析,利器显锋芒已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若,且,证明:.,在上单调递增,. 函数与直线交于、两点.证明:. 已知函数,若,且,证明:.【解析】由函数单调性可知:若,则必有,。所以,#网而,令,则所以函数在为减函数,所以,所以即,所以,所以.已知函数有两个零点.设是的两个零点,证明:.五、招式演练已知函数,其中为自然对数的底数,是的导函数.()求的极值;()若,证明:当,且时, .【答案】(1) 当时, 无极值; 当时, 有极小值;(2)详见解析. &网【解析】试题分析:

7、()求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;()求出函数f(x)的导数,设函数F(x)=f(x)f(x),求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可试题解析:()的定义域为, 当时, 在时成立 在上单调递增, 无极值.当时, 解得&网由 得;由 得来源:所以在上单调递减,在上单调递增,故有极小值.()当时, 的定义域为, ,由,解得.当变化时, , 变化情况如下表:00+单调递减极小值单调递增,且,则(不妨设)来源:ZXXK已知函数,其中(1)若函数有两个零点,求的取值范围;来源:ZXXK(2)若函数有极大值为,且方程的两根为,且,证明: .【答案】(1);(2)见解析. &网(1)当时, 函数在上单调递增,不可能有两个零点(2)当时, 0-极大值的极大值为,由得;因为,所以在必存在一个零点;显然当时, ,所以在上必存在一个零点;来源:Zxxk.来源:Zxxk.Com来源:Z,X,X,K 11

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