1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十七 圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质例1：已知点是椭圆上轴右侧的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标为_【答案】或【解析】，是椭圆的左、右焦点，则，设是椭圆上的一点，由三角形的面积公式可知，即，将代入椭圆方程得，解得，点的坐标为，二、抛物线的几何性质例2：如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线依次交抛物线及圆于点，四点，则的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，代入抛物线方程消去，得，则三、双曲线的几何性质例3：过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为 【答案】【解析】圆的圆心为，半径
2、为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，连接，可得当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值对点增分集训一、选择题1 抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据抛物线焦半径公式可得：，所以2设椭圆的左焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，则的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】设椭圆的右焦点为，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以3 已知双曲线上任意一点为，则到双曲线的两条渐近线距离之积为（ ）ABCD【答案】B【解析】渐近线方程为，设点，则，4 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）ABCD或【答案】D【解析】抛物线，即，准线方程为，因为抛物线的准线与圆相切
3、，当时，解得；当时，解得5定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角已知双曲线，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为6已知直线过点且与椭圆相交于，两点，则使得点为弦中点的直线斜率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，两式相减又由点为弦的中点，7设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（ ）AB以为直径的圆的面积大于C直线过抛物线的焦点D到直线的距离不大于【答案】D【解析】当直
4、线的斜率不存在时，设，由斜率之积为，可得，即，的直线方程为，当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得，此时设，则，即，直线方程为，则直线过定点，则到直线的距离不大于8椭圆与双曲线焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限，第三象限的交点分别为，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为，由题意点与点关于原点对称，因此，又，所以，由椭圆与双曲线定义可得，所以，根据余弦定理可得，即，化简得，所以离心率乘积为，当且仅当时，取等号，由，所以，所以，再将代入可得，所以双曲线的渐近线方程为或二、填空题9已知抛物线的焦点为，点在轴的正半轴上
5、，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与抛物线的准线交于点，若，则 【答案】【解析】由题可知，设点，则，解得，代入抛物线，得，解得（舍负），故，可得，根据对称性得，所以10已知椭圆（）的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为 【答案】【解析】椭圆（）的离心率，可得，解得，椭圆方程为，设，则与定点连线距离为，当时，取得最大值三、解答题11已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大（1）试求出抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立?若存在，请求出的坐标，若不存在，请
6、说明理由【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大，由题意和抛物线定义，所以抛物线的方程为，（2）由题意，设，由，得，若直线斜率存在，设斜率为，直线，整理可得，直线，与联立得，故可得，若点存在，设点坐标为，时，解得或（不是定点，舍去），则点为，经检验，此点满足，所以在线段上，若斜率不存在，则，此时点满足题意，综上所述，定点为12 设椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，为等腰直角三角形（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意可知：直线的方程为，即，则，因为为等腰直角三角形，所以，又，可解得，所以椭圆的标准方程为（2）证明：由（1）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得所以，即，设，则，因为直线与直线的斜率之和为，所以，整理得，所以直线的方程为，显然直线经过定点，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，因为直线与直线的斜率之和为，设，则，所以，解得，此时直线的方程为，显然直线也经过该定点，综上，直线恒过点9
