【人教版】2018学年八年级数学上册《13.1.2.1线段垂直平分线的性质和判定》ppt课件

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1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质,第十三章 轴对称,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定,八年级数学上(RJ),1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法 (重点) 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题(难点),导入新课,问题引入,某区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心,试问该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等?,A,B,C,讲授新课,如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,是l 上的点,请你量一量线段P1A,P1B,P2A,P2

2、B,P3A,P3B的长,你能发现什么?请猜想点P1,P2,P3, 到点A 与点B 的距离之间的数量关系,探究发现,P1A _P1B,P2A _ P2B,P3A _ P3B,猜想: 点P1,P2,P3, 到点A 与点B 的距离分别相等,命题:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,由此你能得到什么结论?,你能验证这一结论吗?,已知:如图,直线lAB,垂足为C,AC =CB,点P 在l 上求证:PA =PB,证明: lAB, PCA =PCB又 AC =CB,PC =PC, PCA PCB(SAS) PA =PB,验证结论,例1 如图,在ABC中,ABAC20cm,DE垂直平分AB,垂

3、足为E,交AC于D,若DBC的周长为35cm,则BC的长为( ),A5cm B10cm C15cm D17.5cm,典例精析,C,解析:DBC的周长为BCBDCD35cm,又DE垂直平分AB,ADBD,故BCADCD35cm.ACADDC20cm, BC352015(cm).故选C.,方法归纳:利用线段垂直平分线的性质,实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长,练一练:1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上的一点,且PA=5,则线段PB的长为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3,2.如图所示,在ABC中,BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D,交边A

4、C于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .,B,10cm,图,例2 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.,E,已知:直线AB和AB外一点C .,求作:AB的垂线,使它经过点C .,作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.,(2)以点C 为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和点E.,(4)作直线CF.,直线CF就是所求作的垂线.,(3)分别以点D和点E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.,(1)为什么任意取一点K ,使点K与点C 在直线两旁?,(2)为什么要以大于 的长为半径作弧?,(3)为什么直线CF 就是所求作的垂线?,想一想:,例3 已知:

5、如图,在ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于P.求证:PA=PB=PC.,证明: 点P在线段AB的垂直平分线MN上, PA=PB. 同理 PB=PC. PA=PB=PC.,结论: 三角形三边垂直平分线交于一点,这一点到三角形三个顶点的距离相等.,例4 如图,在四边形ABCD中,ADBC,E为CD的中点,连接AE、BE,BEAE,延长AE交BC的延长线于点F. 求证:(1)FCAD;(2)ABBCAD.,解析:(1)根据ADBC可知ADCECF,再根据E是CD的中点可得出ADEFCE,根据全等三角形的性质即可解答 (2)先根据线段垂直平分线的性质得出出ABBF,再结合(1)即可解答,证明:(1

6、)ADBC,ADCECF. E是CD的中点,DEEC. 又AEDCEF, ADEFCE, FCAD. (2)ADEFCE, AEEF,ADCF. BEAE,BE是线段AF的垂直平分线, ABBFBCCF. ADCF, ABBCAD.,想一想:如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?,合作探究,已知:如图,PA =PB 求证:点P 在线段AB 的垂直平分线上,证明:过点P 作AB 的垂线PC,垂足为点C 则PCA =PCB =90 在RtPCA 和RtPCB 中,PA =PB,PC =PC, RtPCA RtPCB(HL) AC =BC 又 PCAB, 点P 在线段AB 的垂直平

7、分线上,C,知识要点,线段垂直平分线的判定,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,应用格式: PA =PB, 点P 在AB 的垂直平分线上,作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.,这些点能组成什么几何图形?,你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗?能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点?,与A,B 的距离相等的点都在直线l上,所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.,l,应用格式: AB =AC,MB =MC, 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线,这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.,例5 已知:如图,点E是AOB的平分线上一点,ECO

8、A,EDOB,垂足分别为C,D,连接CD. 求证:OE是CD的垂直平分线.,证明:,OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE., OE是CD的垂直平分线.,又OE=OE, RtOEDRtOEC.,DO=CO.,例6 已知:如图,在ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC. 求证:点O在AC的垂直平分线上.,证明 : 点O在线段AB的垂直平分线上,, OA=OB.,同理OB=OC., OA=OC., 点O在AC的垂直平分线上.,结论: 三角形三边垂直平分线交于一点,这一点到三角形三个顶点的距离相等.,当堂练习,1.如图所示,AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的

9、是( ) AAB垂直平分CD; B CD垂直平分AB ; CAB与CD互相垂直平分; DCD平分 ACB ,A,2.在锐角三角形ABC内一点P,,满足PA=PB=PC, 则点P是ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点,D,4.下列说法: 若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点,则EAEB,PAPB; 若PAPB,EAEB,则直线PE垂直平分线段AB; 若PAPB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点; 若EAEB,则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 (填序号)., ,3.已知线段AB,在平面上找到三个点D、E、F,使D

10、ADB,EAEB,FAFB,这样的点的组合共 有 种.,无数,5.如图,ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.,16,6.已知:如图,点C,D是线段AB外的两点,且AC =BC, AD=BD,AB与CD相交于点O.求证:AO=BO.,证明: AC =BC,AD=BD,, CD为线段AB的垂直平分线.,又 AB与CD相交于点O,,7.如图所示,在ABC中,AD平分BAC,DEAB于点E,DFAC于点F,试说明AD与EF的关系,解:AD垂直平分EF. AD平分BAC,DEAB,DFAC, EADFAD,AEDAFD=90. 又AD

11、AD, ADEADF, AEAF,DEDF. A、D均在线段EF的垂直平分线上,即直线AD垂直平分线段EF.,F,8.如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为点O. (1)找出图中相等的线段; (2)OE,OF分别是点O到CAD两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系,解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段; (2)由条件可证明AOCAOD,可得AO平分DAC,根据角平分线的性质可得OEOF.,拓展提升:,解:(1)AB、CD互相垂直平分, OCOD,AOOB,且ACBCADBD; (2)OEOF,理由如下:在AOC和AOD中, AC=AD,AOAO,OCOD,AOCAOD(SSS),CAODAO.又OEAC,OFAD,OEOF.,课堂小结,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,作用,见垂直平分线,得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,

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