1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十七 离心率一、直接求出，或求出与的比值求解例1：已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为，所以，所以，所以离心率二、构造，的齐次式求解例2：已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】D【解析】设直线，则与渐近线的交点为，因为是的中点，利用中点坐标公式，得，因为点在双曲线上，所以满足，整理得，解得三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解例3：已知，为双曲线的左、右焦点，点在上，且，则双曲
2、线的离心率（ ）ABCD【答案】A【解析】由双曲线定义及，得，由余弦定理得，得四、利用平面几何性质求解例4：设点为双曲线上一点，分别是左右焦点，是的内心，若，的面积，满足，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设是的内切圆的半径，因为，两边约去得，根据双曲线定义，得，离心率为对点增分集训一、选择题1渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率2已知椭圆的离心率为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意知，所以3已知点到双曲线的渐近线的距离为，则的离心率是（ ）ABCD【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，点到的距离，4
3、已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意知，所以，5已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此，不妨设是第一象限的点，由轴可知的横坐标为，代入椭圆可得纵坐标为，即，设椭圆的左焦点设为，则根据抛物线定义可得，所以有，化简可得，即，解得6设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】，又，解得，即7设，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为
4、线段的中点，过作直线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】易得与相似，所以，即，所以，即，8已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，且，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知，可得，即，又，所以，又，且，则可得，则，所以，所以，即二、填空题9椭圆的两个焦点分别为，以为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为 【答案】【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，由题设条件知，10已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，则的离心率为 【答案】【解析】由，知是的中点，又是，的中
5、点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，所以，11设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】【解析】设直线与轴的交点为，连接，的中垂线过点，可得，又，且，即，结合椭圆的离心率，得，故离心率的取值范围是三、解答题12设椭圆的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与直线相切，若直线与椭圆交于，两点，坐标原点为（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1），圆，圆与相切，（2）设直线与椭圆的交点为，直线，椭圆，联立直线与椭圆，消去得，13已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点（1）若为等边三角
6、形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围【答案】（1）；（2），【解析】（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，解得，所以（2）由题意可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，因为，即，即，所以，所以14设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，已知（为原点）（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上且，求椭圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由已知有，又由，消去得，解得所以椭圆的离心率为（2）由（1）知，故椭圆方程为，由题意，则直线的方程为，点的坐标满足，消
7、去并化简，得到，解得，代入到的方程，解得，因为点在轴上方，所以，由圆在直线上，可设，因为，且由（1）知，故，解得因为圆与轴相切，所以圆的半径长为，又由圆与相切，得，可得，所以椭圆的方程为15如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值【答案】（1）；（2）【解析】设椭圆的焦距为，则，（1），又，故，点在椭圆上，解得，故所求椭圆的方程为（2），在直线上，直线的方程为，解方程组，得，点的坐标为，又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为直线的斜率为，直线的斜率为，且，又，整理得，故，因此13
