1、 2020年高考文科数学直线与圆题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】 【解析】由直线的方程为，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，故选：【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为为，即斜率不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点、在一条直线上，求实数的值.【答案】或【解析】、三点在一条直线上，即，解得或题型二 直线方程例1 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】若直线过原点，则直线
2、为符合题意，若直线不过原点设直线为，代入点解得，直线方程整理得，故选【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式中要求，均非零。故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。题型三 直线位置关系的判断例1 直线和互相垂直，则实数的值是（ ）A. 或 B. 2或 C. 或1 D. 2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： 化简为 或 故选择D 【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（不存在）；其次垂直时应为：（斜率均存在）或中一为0，一不存在若用，垂直
3、的充要条件：，则避免上述问题【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解题型四 对称与直线恒过定点问题例1 点关于直线的对称点的坐标为_【答案】【解析】设对称点坐标为，则对称点与已知点连线的中点为，由题意可得，解得所以对称点坐标为【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨迹（曲线）
4、得到而已。点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解例2 直线必过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，当时， ，直线过定点，故选【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得题型五 圆的方程例1 若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线 相切，则圆的方程是 A BC D【答案】【解析】设圆心，则，即，解得，所以圆的方程为例2圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 【答案】【解析】设圆心为，则圆的半径为，圆心到轴的距离为，所以，
5、解得，所以圆的标准方程为例3 已知圆经过点，圆心在直线上且与直线相切，求圆的方程.【答案】见解析【解析】设圆的方程为.圆心在直线上，即圆心为.又圆与直线相切，且过点，即，解得或.，或，故所求圆的方程为：，或.此题也可设出圆心所在直线方程，联立求圆心,利用到的距离与到距离相等求解。则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解题型六 直线、圆的综合问题
6、例1 直线被圆截得的弦长为()A1 B2 C4 D【答案】【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.例2 已知点在圆：外，则直线与圆的位置关系是()A 相切 B相交 C相离 D不确定【答案】【解析】因为在圆：外，所以，而圆心到直线的距离，故直线与圆相交.例3 直线：与圆：的位置关系为( )A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交【答案】D【解析】由于圆心 ，半径等于，圆心到直线：的距离为 故直线和圆相交，故选D例4已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为A B C D 【答案】D【解析】圆，的圆心分别为，由题意知，故所求值为的最小值又关于轴对称的点
7、为，所以的最小值为，故选【易错点】此题可以采用联立方程（）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线恒过，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离与圆半径大小确定。圆，直线：，圆心到直线的距离为，则：1.，直线与圆相离。可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2.，直线与圆相切。依此可求过圆：上某点的切线方程：；一般地，过圆：上某点的切线方程：.3.，直线与圆相交。此时常用勾股定理（为相交弦）来求解相关问题.【巩固训练】题型一 倾斜角与斜率1.经过，两点的直线的斜率是_
8、，倾斜角是_【答案】见解析【解析】经过，两点的直线的斜率，故倾斜角为2.设点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是( )A. 或 B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】求得,结合图像知的范围为3.直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故.故直线的斜率的最大值为.题型二 直线方程1.过点且倾斜角为的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】倾斜角为的直线斜率为.利用点斜式可得.整理得.2.直线过点且与直线垂直，则的方程是( )A B C D【答案】A【解析】设，代入.得
9、3.已知,，则线段的垂直平分线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】中点为,.则中垂线斜率.方程为化简得：4.已知直线过点，且在轴截距是在轴截距的倍，则直线的方程（ ）A. B.C.或 D.或【答案】【解析】当直线过原点时，又过点，所求直线方程为. 当直线不过原点时，由已知设直线方程为，又过点，所求直线方程为选题型三 直线位置关系的判断1.已知直线与直线垂直，那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用垂直的条件：，得2.若直线与直线平行，则的值为（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】D【解析】，解得或，又当时，两条直线重合， 故3.直线和直线的位置关
10、系是（ ）A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行 D重合【答案】A【解析】，两条直线相互垂直故选题型四 对称与过定点1.直线，当变化时，所有直线都过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线，化为，令，解得，当变动时，所有直线都通过定点，故选D.2.直线，对任意直线恒过定点_【答案】【解析】可化为：，若要让m,n“失去作用”，则，解得 ，即定点为.3.已知直线经过点，斜率为（1）若的纵截距是横截距的两倍，求直线的方程；（2）若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次反射回点，求光线所经过的路程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由题意得。直线的方程为，令，得
11、；令，得的纵截距是横截距的两倍解得或直线或，即或（2）当时，直线，设点关于的对称点为，则，解得，关于轴的对称点为光线所经过的路程为题型五 圆的方程1.圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程.【答案】.【解析】设圆的方程为，则圆为，由，得解得，圆的方程为2.求过三点,的圆的方程.【答案】【解析】设圆的方程为因为点在圆上所以点的坐标是方程的解，把它们的坐标代入圆的方程得解这个方程得所求方程为此题亦可先求两条中垂线，其交点为圆心，则半径可求，得到方程3.若的斜边的两端点，的坐标分别为和，则直角顶点的轨迹方程为( )A BC D【答案】C【解析】线段的中点为，因为为直角三角形，为直角顶点，所以到点的
12、距离为，所以点满足，即求轨迹问题应注意变量的范围.题型六 直线、圆的综合问题1.直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【答案】B【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B2.已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径满足，则圆心到直线的距离，所以，故3.若圆与圆外切，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得，所以4.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A B C D【答案】B【解析】圆化成圆的标准方程为其圆心为，半径为，从圆外一点向这个圆作两条切线，则点到圆心的距离等于，每条切线与的夹角的正切值等于，所以两切夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B5.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_【答案】或6【解析】圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3因为，所以圆心到曲线的距离为，即，所以或66.若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则_.【答案】【解析】 如图直线与圆交于两点，为坐标原点，且，则圆心到直线的距离为，所以.7. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则_.【答案】【解析】由已知条件得圆的圆心到直线的距离为，则.因为的斜率，所以直线与轴的夹角，因此.11
