1、第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、正弦函数的图象1正弦函数、余弦函数实数集与角的集合之间存在一一对应关系,而一个确定的角对应着唯一确定的正弦(或余弦)值这样,任意给定一个实数x,有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应由这个对应法则所确定的函数y=sin x(或y=cos x)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域是R 2利用正弦线作正弦函数的图象如图，在直角坐标系的x轴上取一点O1，以O1为圆心，单位长为半径作圆，从O1与x轴的交点A起，把O1分成12等份（等份越多，画出的图象越精确）过O1上各分点作
2、x轴的垂线，得到对应于等角的正弦线相应地，再把x轴上从0到(628)这一段分成12等份把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，即得到函数y=sin x，的图象将函数y=sin x，的图象向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数y=sin x，xR的图象，如图正弦函数y=sin x，xR的图象叫做正弦曲线（sine curve） 3五点法作y=sin x,的简图在函数y=sin x，的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表：x0y=sin x0100描出这五个点后,函数y=sin x，的图象形状就基本上确定了因此，在精确
3、度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图学-科网二、余弦函数的图象1利用图象变换作余弦函数的图象根据诱导公式，由，可知余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到如图所示类似地，我们把余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve） 2用五点法作余弦函数的图象与正弦函数的图象一样，在函数的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表： x0y=cos x1001同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作
4、图三、周期函数一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数（periodic function），非零常数T叫做这个函数的周期(period)由周期函数的定义可知，周期T并不唯一若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期（minimal positive period）说明：书中涉及的周期，如果没有特别说明，一般都指函数的最小正周期四、正弦函数、余弦函数的性质1周期性由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是 ，都是它的周期，最小正周期是 学科网同理可得，余弦函数也是 ，都是它的周期，最小正周期是 2奇偶性
5、观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于 对称，余弦曲线关于 对称，因此正弦函数y=sin x，xR为奇函数，余弦函数为偶函数 3单调性正弦函数y=sin x，xR在每一个闭区间上都是 ，其值从1增大到1；在每一个闭区间上都是 ，其值从1减小到1类似地,余弦函数在每一个闭区间上都是 ，其值从1增大到1；在每一个闭区间上都是 ，其值从1减小到1 4最大值与最小值(值域)正弦函数y=sin x，xR,当且仅当时，取得最大值 ;当且仅当时，取得最小值 余弦函数,当且仅当时，取得最大值 ;当且仅当时，取得最小值1K知识参考答案：四、1周期函数 周期函数 2原点O y轴3增函数 减函数 增函数 减函
6、数41 1 1 1K重点正弦函数、余弦函数的图象与性质K难点正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用K易错不能正确利用三角函数性质求解或不能正确理解三角函数图象变换规律1作正弦函数、余弦函数的图象（1）作正弦函数图象时的关键点：作正弦函数y=sin x，的图象时，其中起关键作用的是函数y=sin x，与x轴的交点及最高点和最低点这五个点这五个点我们可以称之为正弦曲线的特征点，在x轴上的三个点是函数上凸、下凹的转折点，而最高点和最低点是函数单调性的转折点利用五点作图法时，只要描出这五个点，在x轴上方的两点间曲线向上凸，在x轴下方的两点间曲线向下凹，就可快速作出图象（2）正弦函数、余弦函数图象上的关键
7、点的异同：作余弦函数的图象时，其中起关键作用的是函数与x轴的交点及最高点和最低点与正弦函数y=sin x，的图象相比：二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有2个，而正弦函数的图象与x轴的交点有3个；余弦函数图象的最高点有2个，而正弦函数图象的最高点只有1个 【例1】在0,2内，作出函数y3sin x的图象【解析】按五个关键点列表：x02sin x010103sin x32343描点连线，如图所示【例2】画出函数y1cos x，x0,2的图象【解析】列表如下：x02cos x101011cos x21012描点：连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象 【名师点睛】作形
8、如yasin xb(或yacos xb)，x0,2的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：列表，取x0、2；描点；用光滑曲线连成图这是一种基本作图方法，应该熟练掌握2函数的周期性及其应用求三角函数的周期，一般有两种方法：学-科网（1）公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得;（2）定义法，即利用定义去研究，但这种方法需要证明T是最小正周期，高考中对此不作要求，往往采取的是利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察图象得到最小正周期【例3】下列函数中，周期为的是Aysin Bysin 2xCysin Dysin 4x【答案】D【解析】函数ysin 4x的最小正周期T，故选D【例4】函数y|cos
9、x|的周期为A2 BC D【答案】B【解析】作出函数y|cos x|的简图，由图象可知，函数y|cos x|的周期为3函数的奇偶性及其应用（1）对于函数（A0,0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数（2）对于函数（A0,0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数【例5】下列函数不是奇函数的是Aysin x Bysin 2xCysin x2 Dysin x【答案】C【解析】当x时，ysin23，当x时，ysin()21，函数ysin x2是非奇非偶函数【例6】下列函数中，周期为，又是偶函数的是Aysin x Bycos xCycos 2x Dysin 2x【答案】C【解析】函数ycos 2x的周
10、期为，又是偶函数，故选C4函数的单调性及其应用（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得（2）当0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间（3）当A0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆（4）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较（5）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上【例7】求函数y2sin(x)的单调递增区间【名师点睛】讨论函数yAsin(x)的单调性的一般步骤：（1）若0)；（3）讨论函数ysin u的单调性；（4）
11、解关于x的不等式得出yAsin(x)的单调区间【例8】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 14与sin 156；（2）cos 515与cos 530【解析】利用三角函数单调性比较（1）sin156sin(18024)sin2490142490，ysinx在90，90上是增函数，sin14sin24，即sin14sin156（2）cos 515cos(515360)cos155，cos 530cos(530360)cos170，90155170cos170即cos515cos530【名师点睛】比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调
12、区间内，通过函数的单调性进行比较5三角函数的最值（1）对于求形如(或)的函数的最值或值域问题,常利用正、余弦函数的有界性求解求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性（2）求解形如(或),的函数的值域或最值时,一般先通过换元,令t=sin x(或cos x),将原函数转化为关于t的二次函数,然后利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意t=sin x(或cos x)的取值范围【例9】函数ysin2x取得最小值时x的集合为_【答案】x|xk，kZ【解析】当2x2k，kZ，即xk，kZ时，函数ysin2x取得最小值【例10】求下列函数的值域：（1）ycos(x)，x0，；（
13、2）ycos2x4cos x5（2）令tcosx，则1t1yt24t5(t2)21t1时，y取得最大值10；t1时，y取得最小值2所以ycos2x4cosx5的值域为2,106不能正确理解或应用三角函数图象与性质而致错【例11】已知函数yasin x2，xR的最大值为3，求实数a的值【错解】函数yasin x2，xR的最大值为3，当sin x1时，ymaxa23，a1【错因分析】错解中忽视了对a0，a0时，当sin x1时，函数yasin x2(xR)取最大值a2，a23，a1；若a0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性
14、弄错1已知cos=1，a0，2，则角为ABC0或2D22在区间0，2中，使y=sinx与y=cosx都单调递减的区间是A0，B，C，D，23以下函数中，周期为2的是Ay=sinBy=sin2xCy=|sin|Dy=|sin2x|4对于函数y=sin（x+），下列判断正确的是A图象关于y轴对称B是非奇非偶函数C是奇函数D图象与y=sin（x）的图象重合5函数f（x）=1+sinx的最小正周期是ABCD26若x0，2），且cosx，则x的取值范围是_7函数y=2sin（x）（x0，）的值域为_8比较sin2，sin3与sin4的大小_9函数的单调递增区间是_10函数f（x）=2sin（x）最靠近坐
15、标原点的对称中心为_11求下列三角函数的周期：（1）y3sin x，xR；（2）ycos 2x，xR；（3）ysin，xR；（4）y|cos x|，xR.12求函数y=1sin2x的单调区间13求函数y=3sin（2x+）+1的周期、单调区间及最大、最小值14画出函数y32cos x，x0,2的简图15利用“五点法”作出ysin的图象16函数ycos(2x)在区间，上的简图是17函数yxcos xsin x的图象大致为()18设函数f(x)sin()，xR，则f(x)是A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为4的奇函数D最小正周期为4的偶函数19设f(x)是定义域为R，最小正
16、周期为的函数，若，则f的值等于A1 BC0 D20已知函数（1）求f(x)的定义域、值域和单调区间；（2）判断f(x)的奇偶性学科-网21利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合（1）sin x；（2）cos x.22求函数y34cos，x的最大值、最小值及相应的x值23已知是正数，函数f(x)2sin x在区间上是增函数，求的取值范围24已知函数f(x)2sin(2x)a1(其中a为常数)（1）求f(x)的单调区间；（2）若x0，时，f(x)的最大值为4，求a的值；（3）求出使f(x)取最大值时x的取值集合25（2018全国）要得到y=cosx，则要将y=sinxA向左平移个单
17、位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位26（2018天津）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A在区间，上单调递增B在区间，上单调递减C在区间，上单调递增D在区间，2上单调递减27（2018新课标）已知函数f（x）=2cos2xsin2x+2，则Af（x）的最小正周期为，最大值为3Bf（x）的最小正周期为，最大值为4Cf（x）的最小正周期为2，最大值为3Df（x）的最小正周期为2，最大值为428（2017新课标）函数的最大值为A B1C D 29（2017新课标）函数的最小正周期为A BC D 30（2017新课标）设函数，则下列结论错误的是A的一
18、个周期为B的图象关于直线对称C的一个零点为D在(,)单调递减31（2017天津）设函数，其中若且的最小正周期大于，则ABCD32（2017新课标卷）函数()的最大值是 123451617181925262728293031CBCADDDCBCABACDA1【答案】C【解析】cos=1，a0，2，=0或2，故选C2【答案】B【解析】在区间0，2中，y=sinx的减区间是，y=cosx的减区间是0，y=sinx和y=cosx的公共减区间是，0，=，故选B3【答案】C【解析】函数y=sin的周期为=4，故排除A；函数y=sin2x的周期为=，故排除B；函数y=sin的周期为=4，故函数y=|sin|
19、的周期为4=2，故C满足条件；函数y=sin2x的周期为=，故函数y=|sin2x|的周期为=，故排除D，故选C4【答案】A【解析】由诱导公式得y=cosx，由于y=cosx为偶函数，故y=sin（x+）为偶函数，其图象关于y轴对称故选A7【答案】【解析】x0，x，sinsinsin，即sin1，2sin2，即y2故答案为8【答案】sin4sin3sin1710sin48，故sin4sin3sin2，故答案为：sin4sin30，2k2x2k，kxk(kZ)，f(x)的定义域为，kZ0sin2x1，0sin2x，1，即值域为1，)令ysin2x，则函数ysin2x的增区间即为函数f(x)的减区
20、间，函数ysin2x的减区间即为函数f(x)的增区间函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)（2）定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数21【解析】（1）作出正弦函数ysin x，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，kZ.（2）作出余弦函数ycos x，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，kZ.【名师点睛】用三角函数图象解三角不等式的步骤：（1）作出相应的正弦函数或余弦函数在0,2上的图象；（2）写出适合不等式在区间0,2上的解集；（3）根据公式一写出定义域内的解集22【解析】x，2x，从而cos1.当cos1
21、，即2x0，即x时，ymin341.当cos，即2x，即x时，ymax345.23【解析】由2kx2k(kZ)得x(kZ)f(x)的单调递增区间是(kZ)据题意：(kZ)从而有解得0.故的取值范围是24【解析】（1）由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)函数f(x)的单调增区间为k，k(kZ)由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ函数f(x)的单调减区间为k，k(kZ)（2）0x，2x，sin(2x)1，f(x)的最大值为2a14，a1（3）当f(x)取最大值时，2x2k，kZ，2x2k，kZxk，kZ当f(x)取最大值时，x的取值集合是x|xk，kZ25【答案】C【解析】要将y=sinx
22、的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选C27【答案】B【解析】函数f（x）=2cos2xsin2x+2=2cos2xsin2x+2sin2x+2cos2x=4cos2x+sin2x=3cos2x+1=，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选B28【答案】A【解析】由诱导公式可得，则,函数的最大值为所以选A【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征29【答案】C【解析】由题意，故选C【名师点睛】函数的性质：（1）（2）最小正周期（3）由求对称
23、轴（4）由求增区间;由求减区间30【答案】D【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；当时，函数在该区间内不单调，选项D错误故选D【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式学-科网（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可31【答案】A【解析】由题意得，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选A【名师点睛】关于的问题有以
24、下两种题型：提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析
