1、专题14 锐角三角函数1（2019广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是BAC，若tanBAC=，则此斜坡的水平距离AC为A75mB50mC30mD12m【答案】A【解析】BCA=90，tanBAC=，BC=30m，tanBAC=，解得AC=75，故选A【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答2（2019广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知
2、sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米【答案】C【解析】如图，过点O作OEAC于点E，延长BD交OE于点F，设DF=x，tan65=，OF=xtan65，BF=3+x，tan35=，OF=（3+x）tan35，2.1x=0.7（3+x），x=1.5，OF=1.52.1=3.15，OE=3.15+1.5=4.654.7，故选C【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型3（2019甘肃）在ABC中，C=90，tanA=，则cosB=_【答案】
3、【解析】tanA=，A=30，C=90，B=60，cosB=cos60=故答案为：【名师点睛】在解决解直角三角形形的问题中，牢记特殊角的三角函数值可以快速准确解题4（2019杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=_【答案】或【解析】若B=90，设AB=x，则AC=2x，所以BC=x，所以cosC=；若A=90，设AB=x，则AC=2x，所以BC=，所以cosC=；综上所述，cosC的值为或故答案为：或【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算5（2019深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，ADBC，施
4、工队站在点D处看向B，测得仰角为45，再由D走到E处测量，DEAC，ED=500米，测得仰角为53，求隧道BC长（sin53，cos53，tan53）【答案】隧道BC长为700米【解析】如图，在RtABD中，AB=AD=600，作EMAC于M，则AM=DE=500，BM=100，在RtCEM中，tan53=，CM=800，BC=CMBM=800100=700（米）答：隧道BC长为700米【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键6（2019海南）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60方向上有一小岛C，小岛C在观
5、测站B的北偏西15方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里（1）填空：BAC=_度，C=_度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）【答案】（1）30，45；（2）观测站B到AC的距离BP为（55）海里【解析】（1）由题意得：BAC=9060=30，ABC=90+15=105，C=180BACABC=45；故答案为：30，45；（2）BPAC，BPA=BPC=90，C=45，BCP是等腰直角三角形，BP=PC，BAC=30，PA=BP，PA+PC=AC，BP+BP=10，解得BP=55答：观测站B到AC的距离BP为（55）海里【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过
6、解直角三角形得出方程是解题的关键7（2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60，求炎帝塑像DE的高度（精确到1m参考数据：sin340.56，cos34=0.83，tan340.67，1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m【解析】ACE=90，CAE=34，CE=55m，tanCAE=，AC=82.1（m），AB=21m，BC=ACAB=61.1（m），在RtBCD中，tan60=，CD=BC1.7361.1105.7
7、（m），DE=CDEC=105.75551（m）.答：炎帝塑像DE的高度约为51m【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中8（2019甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中小学楼梯宽度的范围是260mm300mm含（300mm），高度的范围是120mm150mm（含150mm）如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，ACD=65，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定（结果精确到1mm，参考
8、数据：sin650.906，cos650.423）【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定【解析】如图，连接BD，作DMAB于点M，AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，ABCD，AB=CD，四边形ABDC是平行四边形，C=ABD，AC=BD，C=65，AC=900，ABD=65，BD=900，BM=BDcos65=9000.423381，DM=BDsin65=9000.906815，3813=127，120127150，该中学楼梯踏步的高度符合规定，8153272，260272300，该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定【名师点睛】本题
9、考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答9（2019江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线BAO表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm（结果精确到0.1）（1）如图2，ABC=70，BCOE填空：BAO=_求投影探头的端点D到桌面OE的距离（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求ABC的大小（参考数据：sin700.94，cos2
10、00.94，sin36.80.60，cos53.20.60）【答案】（1）160；投影探头的端点D到桌面OE的距离为27cm；（2）当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，ABC的大小为33.2【解析】（1）过点A作AGBC，如图1，则BAG=ABC=70，BCOE，AGOE，GAO=AOE=90，BAO=90+70=160，故答案为：160；过点A作AFBC于点F，如图2，则AF=ABsinABF=30sin7028.2（cm），投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AOCD=28.2+6.88=27（cm）；（2）过点DHOE于点H，过点B作BMCD，与DC延长线相交于点M，过A
11、作AFBM于点F，如图3，则MBA=70，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，CM=AF+AODHCD=28.2+6.868=21（cm），sinMBC=0.6，MBC=36.8，ABC=ABMMBC=33.2【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形10（2019安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图1，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，OAB=41.3，若点C为运行轨道的
12、最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离（参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88）【答案】点C到弦AB所在直线的距离为6.64米【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，CDAB，AD=BD=AB=3（米），在RtAOD中，OAB=41.3，cos41.3=，即OA=4（米），tan41.3=，即OD=ADtan41.3=30.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）【名师点睛】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键11（2019吉林）墙壁及淋浴花
13、洒截面如图所示已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角CAD为43求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）（参考数据：sin43=0.68，cos43=0.73，tan43=0.93）【答案】花洒顶端C到地面的距离CE为192cm【解析】如图，过点C作CFAB于F，则AFC=90，在RtACF中，AC=30，CAF=43，cosCAF=，AF=ACcosCAF=300.73=21.9，CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9192（cm）答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题
14、意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型12（2019新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由（参考数据：1.41，1.73，2.45）【答案】（1）海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处【解析】（1）作PCAB于C，如图所示：则PCA=PCB=90
15、，由题意得：PA=80，APC=45，BPC=90-30=60，APC是等腰直角三角形，B=30，AC=PC=PA=40答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：PCB=90，B=30，BC=PC=40，AB=AC+BC=40+40，海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=5.15（小时）5小时，海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键13（2019天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60【答案】这座灯塔的高度CD约为45m【解析】在RtCAD中，tanCAD=，则AD=CD，在RtCBD中，CBD=45，BD=CD，AD=AB+BD，CD=CD+30，解得CD=45，答：这座灯塔的高度CD约为45m【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键
