1、1.2 排列与组合一、排列1排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).【注】（1）排列的定义包含两方面的含义：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序” （2）定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了 （3）定义中的“一定的顺序”与位置有关.如取出数字1，2，3组成一个三位数，就与位置有关，因为123和321是不同的三位数.学-科网2排列数、排列数公式（1）排列数从n个不同元素中取出个元素的所有 的个数叫做
2、从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.（2）排列数公式排列数公式的推导一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.这样，我们就得到公式 ，其中，且.这个公式叫做排列数公式.全排列与阶乘n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公
3、式可以写成.另外，我们规定1.于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.【注】排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.二、组合1组合的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.【注】（1）组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个元素中进行m次不放回地抽取.（2）无序性是组合的本质，即元素没有位置要求.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，这两个组合都是相同的组合，如ab与b
4、a是两个不同的排列，但它们是同一个组合；如果两个组合中的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合.2组合数、组合数公式（1）组合数从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.（2）组合数公式与排列数公式一样，组合数公式也有两个： ，其中，且.这个公式叫做组合数公式.因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.另外，我们规定.3组合数的性质性质1： .由于，因此该等式在m=n时也成立.性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.性质2：.性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1
5、类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.K知识参考答案：一、1一列2（1）不同排列（2）二、1合成一组23K重点排列、组合式的计算及应用K难点排列、组合的应用K易错忽视排列、组合数中的限制条件致误，重复计数或遗漏计数致误，对特殊元素考虑不周致误，混淆分堆与分配问题致误等等.1排列、组合公式的应用对排列数公式的理解：（1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是nm+1,共有
6、m个因数相乘. （2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或证明时，采用阶乘形式较好.对组合数公式的理解：（1）组合数的计算、组合恒等式的证明，求解组合等式或不等式中的字母值或取值范围主要应用公式：，（2）对于含有字母的组合式的变形论证，利用较为简便【例1】（1）计算：；CCA.（2）化简：A2A3AnA；.，9.5n10.5，nN*，n10，CCCC31466.【名师点睛】（1）利用组合数公式解题时，要注意有关限制条件：，且.（2）应用排列数公式时应注意以下几个方面：准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确合理约分：若运
7、算式是分式形式，则要先约分后计算合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，提公因式化简，可以提高运算的速度和准确性【例2】（1）证明： .（2）解方程：；CC.【解析】（1）,.（2）由得.,.化简整理得，解得(舍去).由题意知或，解得x4或6.2组合数性质的应用（1）性质“CC”的意义及作用（2）与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m，n，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意【例3】（1）计算：CCC；.（2）证明下列各等式：CC；CC；CCCCC.【解析】（1）原式CC15
8、649505006.，（2）右边=C=左边，原式成立.右边=C=左边，原式成立.学科网左边(CC)CCC(CC)CC(CC)C(CC)CCCC右边，原式成立【名师点睛】组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式的主要作用有：计算m，n较大时的组合数；对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.3排列的应用解排列应用题的基本思路：实际问题排列问题求排列数解决实际问题通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)【例4】（无限制条件的排列问题）利用1,2,3,4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（用数字作
9、答）.【答案】24【解析】这是从1,2,3,4这四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有=432=24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数.【技巧点拨】没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.【例5】（元素相邻问题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A1440种 B720种C960种 D480种【答案】C【技巧点拨】解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同
10、排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法;然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种.【例6】（元素不相邻问题）中国诗词大会（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A288种 B144种C720种 D360种【答案】B【解析】根据题意，分步进行分析：将将进酒
11、望岳和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序，将进酒排在望岳的前面，这首诗词的排法有种.这首诗词排好后，不含最后，有个空位，在个空位中任选个，安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州，有种安排方法，则后六场的排法有种.故选B.【技巧点拨】解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻(knk+1)，求不同排法种数的方法是：先将(nk)个元素排成一排，共有种排法；然后把k个元素插入nk+1个空隙中，共有种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种.【例7】（定位、定元问题）6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有多少种不同站法？
12、【解析】方法一(位置分析法)：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有种站法；第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有种站法.由分步乘法计数原理可知,共有=480种不同站法.方法二(元素分析法)：先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有种站法；第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有种站法.由分步乘法计数原理可知,共有=480种不同站法.【技巧点拨】定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的
13、元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.【例8】（数字排列问题）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【解析】(1)方法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成,第一步先填个位,有种填法；第二步再填十万位，有种填法；第三步填其他位,
14、有种填法,故共有(个)六位奇数.方法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列，有种排法,故共有(个)六位奇数.方法三：排除法6个数字的全排列有个,0,2,4在个位上的六位数为个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有个,故满足条件的六位奇数共有(个).(2) 方法一：排除法.0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有个,0在十万位且5在个位的六位数有个.故符合题意的六位数共有(个).方法二：直接法.十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类.第一类：当个位排0时,符合条件的六位数有个.第二类：当个
15、位不排0时,符合条件的六位数有个.故共有符合题意的六位数(个).【技巧点拨】数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论（2）常用方法：直接法、间接法（3）注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理4组合的应用【例9】（无限制条件的组合问题）从5种主料中选2种
16、，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为A18 B200C2800 D33600【答案】C【解析】从5种主料中选2种，有种方法，从8种辅料中选3种，有种方法，根据分步乘法计数原理得烹饪出不同的菜的种数为，选C【技巧点拨】解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏【例10】（有限制条件的组合问题）某医院从10名医疗专家中抽调6名赴
17、灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解析】（1）分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4名，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法（2）“至少”的含义是不低于，有两种解答方法.方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法.根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法方法二(间接法)：不考虑是
18、否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有CCCC185种抽调方法（3）“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法【技巧点拨】（1）解有限制条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法. （2）要正确理解题中的关键词（如“都”与“不都”,“至少”与“至多”，“含”与“不含”等）的确切含义，正确分类，合理分步.
19、【例11】（几何中的组合问题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为A70 B64C58 D52【答案】C5排列、组合的综合应用（1）解决排列、组合的综合应用题时注意以下三点：仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；深入分析，严密周详注意分清是乘还是加，既不少也不多；对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决（2）解决排列与组合的综合问题时,应遵循三大原则：先特殊后一般；先组合后排列；先分类后分步.【例12】将本不同的书全部分给
20、甲、乙、丙三人，若每人至少一本，则不同的分法总数为A BC D【答案】C【解析】分两种情况：一人得本，另两个人各得本，有种分法，一人得本，另两个人各得本，有种分法，则共有种分法，故选C6对特殊元素考虑不周致误【例13】4名运动员参加4100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有A12种B14种C16种D24种【错解】若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A24种排法，甲跑第一棒有A6种，乙跑第四棒有A6种，故一共有AAA12种【错因分析】解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况导致了错误结论A2A12.【正解】用
21、排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A24种排法，减去甲跑第一棒有A6种排法，乙跑第四棒有A6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A2种排法，则共有A2AA14种不同的出场顺序故选B【答案】B【易错警示】解决此类问题一定要不重不漏7忽略排列的有序性致误【例14】8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有 种排法.【错因分析】甲、乙两人在前排,但甲、乙位置不能确定,需对甲、乙两人位置排列.同样地,丙在后排,丙的位置也不能确定,后排4人位置需排列.【正解】先排甲、乙,有种排法,再排丙,有种排法,其余5人有种排法,故共有=5760种排法.【答案】5760【易错警
22、示】排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题中要时刻把握这一“原则”.8重复计数与遗漏计数致误【例15】有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有 种(用数字作答).【错解】错解1：分三步完成：第1步,从10人中选出4人，有种方法.第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有种方法.第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有种方法.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有=5040种.错解2：分三步完成，不同的选法共有=1260种.【错因分析】错解一中对“排列”“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人
23、与顺序无关，此处应是组合问题，即应为.错解二中剩下的2人承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即应为.【正解】正解1：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有=2520种.正解2：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有=2520种.【答案】2520【易错警示】计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反
24、之，会导致重复计数.9不能正确分堆与分配致误【例16】有12本不同的书，分成4堆.（1）若每堆3本，有几种方法？（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？（3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)【错解】（1）若每堆3本，有CCCC种分法.（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有CCCC种分法.（3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有CCCC种分法【错因分析】A、B、C、D四本书平均分为两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而CC6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了
25、相同的错误【正解】（1）若每堆3本，有种分法（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有种分法（3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有CCCC种分法【易错警示】（1）分堆与分配问题将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个不同元素中选取m个给A，再从剩下的nm个不同元素中选取m个给B，依次类推，不同方法种数为CCC个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为.（2）相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法1若n且nC，n29n100，1n10，n
26、N*且n6，n6、7、8、9，n的取值集合为6,7,8,9【名师点睛】利用组合数公式解题，并注意有关限制条件13【答案】【解析】当只有一个女生时，先选一个女生有种选法，再从4个男生里面选2个男生有种方法，再把选出的3个人进行排列有种方法，所以有种方法.当没有女生时，直接从4个男生里选3个排列有种方法.所以共有种方法，故答案为96.15【解析】（1）由于球都相同,盒子不同,每个盒子至多放1个球,所以只要选出5个不同的盒子就可以解决问题.这是一个组合问题.因此,共有=56(种)放法.（2）由于球与盒子均不同,每个盒子至多放1个球,所以这是一个排列问题.可直接从8个不同的盒子中取出5个盒子进行排列(
27、即放球),所以共有=87654=6720(种)放法.【名师点睛】（1）解决排列应用问题的步骤：分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题注意对元素或位置有无特殊要求借助排列数公式计算（2）无限制条件的排列问题，主要根据排列数的定义及分步乘法计数原理解决n人排队或n个元素排成若干排的问题，可采用排成一排的方法，也可用乘法原理分步进行16【解析】（1）由题意,解得，又由可得n=10.则.（2）原不等式即 ，也就是，化简得，解得或，又因为，且，所以原不等式的解集为.17【解析】（1）方法一：分两类完成:第一类,选派1名女生、3名男生,有种不同的安排方法;第二类,选派2名女生、2名男生,有
28、种不同的安排方法.所以共有+=14(种)不同的安排方法.方法二：6人中选4人有种不同的安排方法,其中有种方法不符合要求.所以至少有1名女生参加的不同的安排方法数为-=14.（2）“至多有1名女生参加”即“没有女生参加”或“有1名女生参加”.所以有+=1+42=9(种)不同的安排方法.18【答案】C【解析】根据题意,分2步,先从平凡的世界、红岩、老人与海三本书中选出2本,有种选法；将选出的2本与红楼梦全排列,对应分给三个同学,有种情况,则不同的分配方法共有种,故选C【名师点睛】解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，
29、与顺序有关则是排列问题只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏19【答案】B【解析】由题意知A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置， 可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，A、B两个节目可以排在两个位置，可以排在两个位置，也可以排在两个位置，所以这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以所有节目共有种不同的排法，故选B20【答案】A【解析】当“数”排在第一节时，有种排法；当“数”排在第二节时，有种排法；当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、
30、二节，则有种排法，若“射”和“御”两门课程排在后三节，则有种排法，所以满足条件的排法共有种，故选A21【解析】（1） ，即证.（2）由，得，化简得x219x840，解之得7x12，又2x8，由及xN*得x8.22【解析】（1）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，则共有个 （2）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，三个偶数相邻，所以三个偶数捆绑有种情况，再和另四个奇数一起进行全排列有个（3）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，三个偶数相邻，所以三个偶数捆绑有种情况，四个奇数捆绑有种情况，两个作为整体再进行全排列，共有个（4）先从5个奇数当中选4个进行全排列，再从4个偶数当中选3
31、个，在五个空档中选3个插入，共有个【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.常用的方法技巧有：对于特殊元素或位置“优先法”；对于不相邻问题，采用“插空法”；对于相邻问题，采用“捆绑法”；对于正面做比较困难时，常采用“间接法”.对于本题，从1到9的九个数字中，有奇数1，3，5，7，9共五个，偶数2，4，6，8共四个，取三个偶数四个奇数共七个数，所以先选后排，同时注意每种选法的限制条件.（1）是先选后排，选后纯排列问题；（2）是相邻问题捆绑法；（3）是两个相邻问题捆绑法；（4）是不相邻问题插空法.23【解析】5名师生站成一排照相留念共有种站法， （1）记“两名
32、女生相邻而站”为事件， 两名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余3个全排，有种排法，所以事件有种不同情况， 则，答：两名女生相邻而站的概率为.（2）记“教师不站中间且女生不站两端”为事件， 事件分两类：教师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法； 两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外2个位置之一，有种站法， 所以，事件有种不同情况，则. 答：教师不站中间且女生不站两端的概率为. 【名师点睛】本题主要考查元素有限制的排列问题，以及古典概型概率公式的应用，常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.24【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，
