1、人教版九年级上册数学单元测试卷含答案第 22 章 二次函数（满分 120 分 考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.每小题只有一个正确选项）1 （2018 随州二模）下列函数中，其中是以 x 为自变量的二次函数是（ ）Ay= x（x3） By=（x+2） （x 2）（x1） 212C y=x2+ D1x 32y2 （2018 顺德区模拟）当 ab0 时，y=ax 2 与 y=ax+b 的图象大致是（ ）A B C D3 （2018 南关区校级一模）对于函数 y=5x2，下列结论正确的是（ ）Ay 随 x 的增大而增大B图象开口向下C图象关于 y
2、轴对称D无论 x 取何值，y 的值总是正的4 （2018 杭州模拟）当4x 2 时，函数 y=（ x+3） 2+2 的取值范围为（ ）A23 y 1 B23 y2 C7y1 D34y25 （2018 陕西模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=x 2+4x+m，则 m 的值是（ ）A1 或 7 B1 或 7 C1 或7 D1 或76 （2018 营口模拟）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x=2，则下 列结论中正确的个数有（ ）4a+b=0； 9a+3
3、b+c0；若点 A（3，y 1） ，点 B（ ，y 2） ，点 C（5， y3）在该函数图象上，则12y1y 3y 2；若方程 a（x+1） （x5）=3 的两根为 x1 和 x2，且 x1x 2，则x1 15x 2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （2018 南关区校级一模）若 是二次函数，则 m 的值是 2)2(xmy8 （2018 攀枝花）抛物线 y=x22x+2 的顶点坐标为_.9 （2017 苏州一模）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x=1，且经过点（3，0） ，则 ab+c 的值为_.10 （
4、2018 河南模拟）已知，二次函数 y=x2+bx2017 的图象与 x 轴交于点A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，则当 x=x1+x2 时，则 y 的值为_.11 （2018 绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m12 （2018 武昌区模拟）二次函数 y=x2+mx+1 的图象的顶点在坐标轴上，则 m的值_.三、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）13 （2018 宣州区模拟）已知函数 y=（m 2+2m）x 2+mx+m+1，（1）当 m 为何值时，此函数是一次函数？（2）当 m 为何值时，此函数是二次函
5、数？14 （2018 历城区模拟）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，4）和（1，2 ） ，求这个抛物线的顶点坐标15 （2018 合肥模拟）下表给出了代数式x 2+bx+c 与 x 的一些对应值：x 2 1 0 1 2 3 x 2+bx+c 5 n c 2 3 10 （1）根据表格中的数据，确定 b，c，n 的值；（2）设 y= x2+bx+c，直接写出 0x2 时 y 的最大值16 （2018 静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5） ，且抛物线经过点 A（1，3） （1）求此抛物线的表达式；（2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交
6、点是C 点，求ABC 的面积17 （2018 南京）已知二次函数 y=2（x1） （x m3） （m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18 （2018 云南）已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象经过 A（0，3） ，316B（4， ）两点92（1）求 b，c 的值（2）二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的316坐标；若没有，请说明情况19 （2018 昆明）如图，抛物线 y=a
7、x2+bx 过点 B（1，3） ，对称轴是直线x=2，且抛物线与 x 轴的正半轴交于点 A（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当 y0 时，自变量 x 的取值范图；（2）在第二象限内的抛物线上有一点 P，当 PABA 时，求PAB 的面积20 （2017 石景山区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y=ax24ax+4a3（a0）的顶点为 A（1）求顶点 A 的坐标；（2）过点（0，5）且平行于 x 轴的直线 l，与抛物线 y=ax24ax+4a3（a0）交于 B，C 两点当 a=2 时，求线段 BC 的长；当线段 BC 的长不小于 6 时，直接写出 a 的取值范围5、 （本大题共
8、 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21 （2018 扬州） “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围22 （2018 乐山）已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（15m）x5
9、=0（m0） （1）求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线 y=mx2+（15m）x 5=0 与 x 轴交于 A（x 1，0） 、B （x 2，0）两点，且|x 1x 2|=6，求 m 的值；（3）若 m0，点 P（a， b）与 Q（a+n，b ）在（ 2）中的抛物线上（点 P、Q不重合） ，求代数式 4a2 n2+8n 的值6、 （本大题共 12 分）23 （2018 郴州）如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3 ，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t（1）
10、求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 BC，PB，PC ，设PBC 的面积为 S求 S 关于 t 的函数表达式；求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标人教版九年级上册数学单元测试卷含答案第 22 章 二次函数（满分 120 分 考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.每小题只有一个正确选项）1 （2018 随州二模）下列函数中，其中是以 x 为自变量的二
11、次函数是（ ）Ay= x（x3） By=（x+2） （x 2）（x1） 212C y=x2+ D1x 32y【答案】A【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、y= x（x 3）= x2 x，是以 x 为自变量的二次函数，故本选项正12 12 32确；B、y= （ x+2） （x 2）（x 1） 2=x24x2+2x1=2x5，是以 x 为自变量的一次函数，故本选项错误；C、分母上有自变量 x，不是以 x 为自变量的二次函数，故本选项错误；D、二次三项式是被开方数，不是以 x 为自变量的二次函数，故本选项错误【点评】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的
12、关键2 （2018 顺德区模拟）当 ab0 时，y=ax 2 与 y=ax+b 的图象大致是（ ）A B C D【答案】D【分析】根据题意，ab 0，即 a、b 同号，分 a0 与 a0 两种情况讨论，分析选项可得答案【解答】解：根据题意，ab0，即 a、b 同号，当 a0 时，b0，y=ax 2 与开口向上，过原点，y=ax+b 过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当 a0 时，b0，y=ax 2 与开口向下，过原点，y=ax+b 过二、三、四象限；此时，D 选项符合，【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系3 （2018 南关区校级一模）对于函数 y=
13、5x2，下列结论正确的是（ ）Ay 随 x 的增大而增大B图象开口向下C图象关于 y 轴对称D无论 x 取何值，y 的值总是正的【答案】C【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论【解答】解：二次函数解析式为 y=5x2，二次函数图象开口向上，当 x0 时 y 随 x 增大而减小，当 x0 时 y 随 x 增大而增大，对称轴为 y 轴，无论 x 取何值，y 的值总是非负【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论4 （2018 杭州模拟）当4x 2 时，函数 y=（ x+3） 2+2 的取值范围为（ ）A23 y 1 B23 y2 C7y1
14、D34y2【答案】B【分析】先根据 a=1 判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=3，再根据4x 2，可知当 x=3 时 y 最大，把 x=2 时 y 最小代入即可得出结论【解答】解：a=1，抛物线的开口向下，故有最大值，对称轴 x= 3，当 x=3 时 y 最大为 2，当 x=2 时 y 最小为23 ，函数 y 的取值范围为23 y2，【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题的关键5 （2018 陕西模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=x 2+4x+m，则
15、 m 的值是（ ）A1 或 7 B1 或 7 C1 或7 D1 或7【答案】D【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于 m 的方程，解方程即可求得【解答】解：一条抛物线的函数表达式为 y=x 2+4x+m，这条抛物线的顶点为（2，m+4） ，关于 x 轴对称的抛物线的顶点（ 2，m4） ，它们的顶点相距 6 个单位长度|m+4（m4）|=6，2m+8= 6，当 2m+8=6 时，m=1，当 2m+8=6 时，m=7，m 的值是1 或7【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段
16、长度之间的转换，关于 x 轴对称的点和抛物线的关系6 （2018 营口模拟）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x=2，则下 列结论中正确的个数有（ ）4a+b=0； 9a+3b+c0；若点 A（3，y 1） ，点 B（ ，y 2） ，点 C（5， y3）在该函数图象上，则12y1y 3y 2；若方程 a（x+1） （x5）=3 的两根为 x1 和 x2，且 x1x 2，则x1 15x 2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【分析】由抛物线对称轴可判断；由抛物线的对称性知 x=3 时，y 0，可判断；根据二次函数的增减性知抛
17、物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断；方程 a（x+1 ） （x5）=3 的两根即为抛物线 y=a（x+1）（x5）与直线 y=3 交点的横坐标，据此可判断 【解答】解：由抛物线的对称轴为 x=2 可得 =2，即 4a+b=0，故正确；b2a由抛物线的对称性知 x=0 和 x=4 时，y0，则 x=3 时，y=9a+3b +c0，故错误；抛物线的开口向下，且对称轴为 x=2，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，点 A 到 x=2 的水平距离为 5，点 B 到对称轴的水平距离为 2.5，点 C 到对称轴的水平距离为 3，y 1y 3y 2，故正确；令 y=a（x +1） （x
18、 5 ） ，则抛物线 y=a（x+1） （x 5）与 y=ax2+bx+c 形状相同、开口方向相同，且与 x 轴的交点为（1，0） 、 （3，0） ，函数图象如图所示，由函数图象可知方程 a（x+1 ） （x5）=3 的两根即为抛物线 y=a（x+1）（x5）与直线 y=3 交点的横坐标，x 115x 2，故正确；【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点问题及二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定13填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （2018 南关区校级一
19、模）若 是二次函数，则 m 的值是 2)2(xmy【答案】2【分析】根据二次函数的定义求解即可【解答】解：由题意，得m22=2，且 m+20，解得 m=2，【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键8 （2018 攀枝花）抛物线 y=x22x+2 的顶点坐标为_.【答案】 （1，1）【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可【解答】解：y=x 22x+2=（x1） 2+1，顶点坐标为（1，1） 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键9 （2017 苏州一模）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线
20、x=1，且经过点（3，0） ，则 ab+c 的值为_.【答案】0【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线 x=1 的对称点为（1，0） ，然后把（1，0）代入 y=ax2+bx+c 即可求出答案【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（1，0） ，当 x=1 时，y=a b+c=0，a b +c 的值等于 0【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点 P 关于对称轴的对称点，此题难度不大10 （2018 河南模拟）已知，二次函数 y=x2+bx2017 的图象与 x 轴交于点A（x 1，0）
21、 、B（x 2，0）两点，则当 x=x1+x2 时，则 y 的值为_.【答案】2017【分析】因为二次函数 y=x2+bx2017 的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，所以 x1+x2=b ，当 x=x1+x2=b 时，y= （b） 2+b（b）2017=2017 ，由此即可解决问题【解答】解：二次函数 y=x2+bx2017 的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，x 1+x2=b，当 x=x1+x2=b 时，y=（b ） 2+b（b）2017=2017，【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
22、中考常考题型11 （2018 绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m【答案】4 42【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=2 代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0， 2） ，通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（
23、2 ，0） ，到抛物线解析式得出：a=0.5 ，所以抛物线解析式为 y=0.5x2+2，当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y=2 代入抛物线解析式得出：2=0.5x2+2，解得：x=2 ，所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（42 24）米，2【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键3、 （2018 武昌区模拟）二次函数 y=x2+mx+1 的图象的顶点在坐标轴上，则 m 的值_.【答案】0 或2【分
24、析】由二次函数 y=x2+mx+1 的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可【解答】解：当图象的顶点在 x 轴上时，二次函数 y=x2+mx+1 的图象的顶点在 x 轴上，二次函数的解析式为：y=（x 1） 2，m=2当图象的顶点在 y 轴上时，m=0 ，【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质三、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）13 （2018 宣州区模拟）已知函数 y=（m 2+2m）x 2+mx+m+1，（1）当 m 为何值时，此函数是一次函数？（2）当 m 为何值时，此函数是二次函数？【分析】 （1）直接利用一次函数的定义进而分析得出
25、答案；（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案【解答】解：（1）函数 y=（m 2+2m）x 2+mx+m+1，是一次函数，m 2+2m=0，m 0，解得：m=2；（2） ）函数 y=（m 2+2m）x 2+mx+m+1，是二次函数，m 2+2m0，解得：m2 且 0【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键14 （2018 历城区模拟）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，4）和（1，2 ） ，求这个抛物线的顶点坐标【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式，配方成抛物线的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标【解答】解：（1）把点（1，4）和（
26、1，2）代入 y=x2+bx+c，得 ，214cb解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x23x223cby=x23x2=（x ） 2 ，32 174所以抛物线的顶点坐标为（ ， ） 32 174【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是正确求出二次函数的解析式15 （2018 合肥模拟）下表给出了代数式x 2+bx+c 与 x 的一些对应值：x 2 1 0 1 2 3 x 2+bx+c 5 n c 2 3 10 （1）根据表格中的数据，确定 b，c，n 的值；（2）设 y= x2+bx+c，直接写出 0x2 时 y 的最大值【分析】 （1）把（2，5） 、
27、（1，2）分别代入x 2+bx+c 中得到关于 b、c 的方程组，然后解方程组即可得到 b、c 的值；然后计算 x=1 时的代数式的值即可得到 n 的值；（2）利用表中数据求解【解答】解：（1）根据表格数据可得 ，解得 ，2154cb52cbx 2+bx+c=x 22x+5，当 x=1 时，x 22x+5=6 ，即 n=6；（2）根据表中数据得当 0x 2 时，y 的最大值是 5【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程
28、组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解16 （2018 静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5） ，且抛物线经过点 A（1，3） （1）求此抛物线的表达式；（2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是C 点，求ABC 的面积【分析】 （1）设顶点式 y=a（x 3） 2+5，然后把 A 点坐标代入求出 a 即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到 B（5，3） ，再确定出 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解【解答】解：（1）设抛物线的
29、解析式为 y=a（x 3） 2+5，将 A（1，3 ）代入上式得 3=a（13） 2+5，解得 a= ，12抛物线的解析式为 y= （x 3） 2+5，12（2）A（1，3）抛物线对称轴为：直线 x=3B（5，3） ，令 x=0，y= （x3） 2+5= ，则 C（0，） ，12 12 12ABC 的面积= （51）（3 ）=512 12【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常
30、设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解17 （2018 南京）已知二次函数 y=2（x1） （x m3） （m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？【分析】 （1）代入 y=0 求出 x 的值，分 m+3=1 和 m+31 两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标，令其大于 0 即可求出结论【解答】 （1）证
31、明：当 y=0 时，2（x 1） （xm3）=0，解得：x 1=1， x2=m+3当 m+3=1，即 m=2 时，方程有两个相等的实数根；当 m+31，即 m2 时，方程有两个不相等的实数根不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）解：当 x=0 时，y=2（x 1） （xm3）=2m+6，该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2m+6，当 2m+60，即 m3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程 2（x1） （x m3）=0 有解证出该函数的图象与
32、 x 轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18 （2018 云南）已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象经过 A（0，3） ，316B（4， ）两点92（1）求 b，c 的值（2）二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的316坐标；若没有，请说明情况【分析】 （1）把点 A、B 的坐标分别代入函数解析式求得 b、c 的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与 x 轴有交点，由题意得到方程 x2+ x+3=0，通过解该方程求得 x 的值即
33、为抛物线与 x 轴交点横坐标316 98【解答】解：（1）把 A（0，3） ，B （4， ）分别代入 y= x2+bx+c，得92 316，29463cbc解得 ；8（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y= x2+ x+3316 98= （ ） 24（ ）3= 0，98 316 22564所以二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点316 x2+ x+3=0 的解为：x 1=2，x 2=8316 98公共点的坐标是（2，0）或（8，0） 【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系19 （2018 昆明）如图，抛物
34、线 y=ax2+bx 过点 B（1，3） ，对称轴是直线x=2，且抛物线与 x 轴的正半轴交于点 A（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当 y0 时，自变量 x 的取值范图；（2）在第二象限内的抛物线上有一点 P，当 PABA 时，求PAB 的面积【分析】 （1）将函数图象经过的点 B 坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数 a 和 b；（2）将 AB 所在直线的解析式求出，利用直线 AP 与 AB 垂直的关系求出直线AP 的斜率 k，再求直线 AP 的解析式，求直线 AP 与 x 轴交点，求点 P 的坐标，将PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积【解答】解：（
35、1）由题意得 ，解得 ，23ab41ba抛物线的解析式为 y=x24x ，令 y=0，得 x24x=0 ，解得 x=0 或 4，结合图象知，A 的坐标为（4，0） ，根据图象开口向上，则 y0 时，自变量 x 的取值范图是 0x4；（2）设直线 AB 的解析式为 y=mx+n，则 ，解得 ，043nm41ny=x4，设直线 AP 的解析式为 y=kx+c，PA BA，k=1，则有4+c=0，解得 c=4， ，解得 或2xy51yx04又当 x=4，y=0 时，P 为（4 ，0） ，不在第二象限，故舍去点 P 的坐标为（ 1，5 ） ，PAB 的面积=858 2233 255 2=15【点评】本
36、题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键20 （2017 石景山区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y=ax24ax+4a3（a0）的顶点为 A（1）求顶点 A 的坐标；（2）过点（0，5）且平行于 x 轴的直线 l，与抛物线 y=ax24ax+4a3（a0）交于 B，C 两点当 a=2 时，求线段 BC 的长；当线段 BC 的长不小于 6 时，直接写出 a 的取值范围【分析】 （1）配方得到 y=ax24ax+4a3=a（x2） 23，于是得到结论；（2）当 a=2 时，抛物线为 y=2x28x+5，如
37、图令 y=5 得到 2x28x+5=5，解方程即可得到结论；令 y=5 得到 ax24ax+4a3=5，解方程即可得到结论【解答】解：（1）y=ax 24ax+4a3=a（x2） 23，顶点 A 的坐标为（2，3） ；（2）当 a=2 时，抛物线为 y=2x28x+5，如图令 y=5，得2x28x+5=5，解得，x 1=0， x2=4， 线段 BC 的长为 4，42aa令 y=5，得 ax24ax+4a3=5，解得，x 1= ，x 2= ，2a+22aa 2a 22aa线段 BC 的长为 ，42aa线段 BC 的长不小于 6， 6，42aa0a 89【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数
38、的顶点坐标，正确的作出图象是解题的关键5、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21 （2018 扬州） “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围【分析】 （1）可用待
39、定系数法来确定 y 与 x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量 单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出 w 与 x 的函数关系式，进而利用所获利润等于 3600 元时，对应x 的值，根据增减性，求出 x 的取值范围【解答】解：（1）由题意得： ，15034bk解得： 701bk故 y 与 x 之间的函数关系式为：y=10x +700，（2）由题意，得10x+700240，解得 x46，设利润为 w=（x30）y=（x30） （ 10x+700） ，w=10x2+1000x21000=10（ x50） 2+
40、4000，100 ，x50 时，w 随 x 的增大而增大，x=46 时，w 大 =10（4650） 2+4000=3840，答：当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840 元；（3）w150= 10x2+1000x21000150=3600，10（x50 ） 2=250，x50=5，x1=55， x2=45，如图所示，由图象得：当 45x55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3600 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点22 （2018 乐山）已
41、知关于 x 的一元二次方程 mx2+（15m）x5=0（m0） （1）求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线 y=mx2+（15m）x 5=0 与 x 轴交于 A（x 1，0） 、B （x 2，0）两点，且|x 1x 2|=6，求 m 的值；（3）若 m0，点 P（a， b）与 Q（a+n，b ）在（ 2）中的抛物线上（点 P、Q不重合） ，求代数式 4a2 n2+8n 的值【分析】 （1）直接利用=b 24ac ，进而利用偶次方的性质得出答案；（2）首先解方程，进而由|x 1x 2|=6，求出答案；（3）利用（2）中所求得出 m 的值，进而利用二次函数对称轴得出
42、答案【解答】 （1）证明：由题意可得：= （15m ） 24m（5）=1+25m210m+20m=25m2+10m+1=（ 5m+1） 20，故无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx 2+（15m）x5=0 ，解得：x 1= ，x 2=5，1m由|x 1x 2|=6，得| 5|=6，1m解得：m=1 或 m= ；111（3）解：由（2）得，当 m0 时，m=1，此时抛物线为 y=x24x5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q 关于 x=2 对称， =2，即 2a=4n ，a+a+n24a 2 n2+8n=（4n） 2n 2+8n=16【点评】此题主要考查了抛物线与 x
43、 轴的交点以及根的判别式，正确得出方程的根是解题关键6、 （本大题共 12 分）23 （2018 郴州）如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3 ，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 BC，PB，PC ，设PBC 的面积为 S求 S 关于 t 的函数表达式；求 P 点到直线 BC
44、 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标【分析】 （1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，由点 A、B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分 t=2 和 t2 两种情况考虑：当 t=2 时，由抛物线的对称性可得出此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形，再根据点 C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点 P、M 的坐标；当 t2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合 CEPE 可得出此时不存在符合题意的点 M；（3）过点 P 作 PFy 轴，交 BC 于点 F，由点 B、C 的坐标利用待定系数法可
45、求出直线 BC 的解析式，根据点 P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表达式；利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论【解答】解：（1）将 A（ 1，0） 、B（3，0）代入 y=x2+bx+c，解得： ，039cb2cb抛物线的表达式为 y=x2+2x+3（2）在图 1 中，连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0）两点，抛
46、物线的对称轴为直线 x=1当 t=2 时，点 C、P 关于直线 l 对称，此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形抛物线的表达式为 y=x2+2x+3，点 C 的坐标为（ 0，3 ） ，点 P 的坐标为（2，3） ，点 M 的坐标为（ 1，6） ；当 t2 时，不存在，理由如下：若四边形 CDPM 是平行四边形，则 CE=PE，点 C 的横坐标为 0，点 E 的横坐标为 0，点 P 的横坐标 t=120=2又t2，不存在（3）在图 2 中，过点 P 作 PFy 轴，交 BC 于点 F设直线 BC 的解析式为 y=mx+n（m0） ，将 B（3，0） 、C （0，3）代入 y=mx+n，解得： ，nm1n直线 BC 的解析式为 y=x+3点 P 的坐标为（ t，t 2+2t+3） ，点 F 的坐标为（t，t +3） ，PF=t 2+2t+3（t +3）= t2+3t，S= PFOB= t2+ t= （t ） 2+ 12 32 92 32 32 2
