第7章锐角三角函数小结与思考 同步分层训练（含答案）

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1、小结与思考类型之一锐角三角函数的概念1.ABC在网格中的位置如图7-X-1所示(每个小正方形的边长为1),ADBC于点D,下列选项中,错误的是()图7-X-1A.sin=cos B.tanC=2C.sin=cos D.tan=12.2019杭州 在RtABC中,若AB=2AC,则cosC=.3.2019淮安 如图7-X-2,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tanHAP=.图7-X-2类型之二特殊角的三角函数4.2019淮阴区一模 在RtABC中,C=90,BC=3,AB=6,则A的度数为()A.30 B.40 C.45

2、 D.605.2018吴江区期末 满足tan=33的锐角的度数是.6.已知为锐角,且cos(90-)=22,则=.7.计算:2sin30+4cos30tan60-cos245.类型之三解直角三角形8.在ABC中,AB=12,AC=39,B=30,则ABC的面积是.9.已知RtABC中,C=90,请根据下列条件解直角三角形:(1)A=30,a=43;(2)a=62,c=12.10.如图7-X-3,在ABC中,AD是边BC上的高,C=30,BC=2+3,tanB=12,求AD的长.图7-X-311.如图7-X-4,在RtABC中,C=90,点D在BC边上,ADC=45,BD=2,tanB=34.(

3、1)求AC和AB的长;(2)求sinBAD的值.图7-X-4类型之四锐角三角函数的实际应用12.如图7-X-5,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉线BC的长度为(A,D,B在同一条直线上)()图7-X-5A.hsin B.hcos C.htan D.hcos13.2019徐州 如图7-X-6,无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45,测得该建筑底部C处的俯角为17,若无人机的飞行高度AD为62 m,则该建筑的高度BC为m.(参考数据:sin170.29,cos170.96,tan170.31)图7-X-614.2019连云港 如图7-X-7,海上观察哨所B位

4、于观察哨所A正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53的方向上,位于哨所B南偏东37的方向上.(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C之间的距离;(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截.(结果保留根号,参考数据:sin37=cos5335,cos37=sin5345,tan3734,tan764)图7-X-715.2019泰州 某体育看台侧面的示意图如图7-X-8所示,观众区AC的坡度i为12,顶端C离水平地面AB的高度为10

5、m,从顶棚的D处看E处的仰角=1830,竖直的立杆上C,D两点间的距离为4 m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m.求:(1)观众区的水平宽度AB;(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18300.32,tan18300.33,结果精确到0.1 m)图7-X-816.2018连云港 如图7-X-9,水坝的横截面是梯形ABCD,ABC=37,坝顶DC=3 m,背水坡AD的坡度i(即tanDAB)为10.5,坝底AB=14 m.(1)求坝高;(2)如图,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使得AE=2DF,EFBF,求DF的长.参考数据:sin3

6、735,cos3745,tan3734 图7-X-9教师详解详析1.C解析 根据图中的直角三角形及三角函数的定义,得sin=cos=222=12=22,tanC=21=2,sin=cos(90-),故选C.2.0或55解析 若C=90,则cosC=0;若A=90,设AC=x,则AB=2x,所以BC=(2x)2+x2=5x,所以cosC=ACBC=x5x=55.综上所述,cosC的值为0或55.故答案为0或55.3.43解析 如图,连接PB交CH于点O.H是AB的中点,HB=12AB=32.将CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,HP=HB,PB=2BO=2HBBCHC=2322(32)2+2

7、2=2352=125.HP=HB=12AB,APB是直角三角形,tanHAP=PBPA=PBAB2-PB2=12532-(125)2=12595=43.4.A5.306.457.解:原式=212+4323-222=1+6-12=132.8.213或153解析 (1)如图,过点A作ADBC,垂足为D.图在RtABD中,AB=12,B=30,AD=12AB=6,BD=ABcosB=1232=63.在RtACD中,CD=AC2-AD2=(39)2-62=3,BC=BD+CD=63+3=73,SABC=12BCAD=12736=213.(2)如图,过点A作ADBC,交BC的延长线于点D.图由(1)知,

8、AD=6,BD=63,CD=3,则BC=BD-CD=53,SABC=12BCAD=12536=153.9.解:(1)B=60,b=12,c=83.(2)A=B=45,b=62.10.解:设AD=x,则BD=2x,CD=3x.由题意,得2x+3x=2+3,所以x=1,即AD=1.11.解:(1)在RtABC中,tanB=ACBC=34,可设AC=3x,BC=4x.BD=2,DC=BC-BD=4x-2.ADC=45,AC=DC,即4x-2=3x,解得x=2,则AC=6,BC=8,AB=AC2+BC2=10.(2)如图,过点D作DEAB于点E.由tanB=DEBE=34,可设DE=3a,则BE=4a

9、.DE2+BE2=BD2,且BD=2,(3a)2+(4a)2=22,解得a=25(负值舍去),DE=3a=65.AD=AC2+DC2=62,sinBAD=DEAD=210.12.B13.262解析 过点A作AEBC于点E,则四边形ADCE为矩形.在RtACD中,AD=62,ACD=EAC=17,AE=CD=ADtan17=620.31=200(m).AEBE,BAE=45,BE=AE=200 m,BC=CE+BE=AD+BE=62+200=262(m).14.解:(1)在ABC中,ACB=180-B-BAC=180-37-53=90.在RtABC中,sinB=ACAB,AC=ABsin37=2

10、535=15(海里).答:观察哨所A与走私船所在的位置C之间的距离为15海里.(2)过点C作CMAB于点M,由题意易知,D,C,M在一条直线上.在RtAMC中,CM=ACsinCAM=1545=12(海里),AM=ACcosCAM=1535=9(海里).在RtAMD中,tanDAM=DMAM,DM=AMtan76=94=36(海里),AD=AM2+DM2=92+362=917(海里),CD=DM-CM=36-12=24(海里).设缉私艇的速度为x海里/时,则有2416=917x,解得x=617.经检验,x=617是原方程的解.答:当缉私艇的速度为617海里/时时,恰好在D处成功拦截.15.解:

11、(1)观众区AC的坡度i为12,顶端C离水平地面AB的高度为10 m,AB=2BC=20(m),答:观众区的水平宽度AB为20 m.(2)作CMEF于点M,DNEF于点N,则四边形MFBC,MCDN为矩形,MF=BC=10(m),MN=CD=4(m),DN=MC=BF=AB+AF=23(m),在RtEND中,tanEDN=ENDN,则EN=DNtanEDN7.59(m),EF=EN+MN+MF=7.59+4+1021.6(m),答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6 m.16.解:(1)如图,作DMAB于点M,CNAB于点N.由题意,得tanDAB=DMAM=2,设AM=x,则DM=2x.四边形DMNC是矩形,DM=CN=2x.在RtNBC中,tan37=CNBN=2xBN=34,BN=83x,x+3+83x=14,解得x=3,DM=6.答:坝高为6 m.(2)如图,作FHAB于点H.设DF=y,则AE=2y,EH=3+2y-y=3+y,BH=14+2y-(3+y)=11+y.EFBF,EFH+BFH=90.FHAB,EHF=FHB=90,BFH+FBH=90,EFH=FBH,EFHFBH,FHBH=EHFH,即611+y=3+y6,解得y=-7+213或y=-7-213(舍去),DF=213-7.答:DF的长为(213-7)m.