1、2018 年北京市人大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 （5 分）已知集合 Px| x21，M a若 PM P，则 a 的取值范围是（ ）A （，1 B1 ，+）C1，1 D （， 1 1，+）2 （5 分）若| | |1， （ +2 ） ，则向量 与 的夹角为（ ）A30 B60 C120 D1503 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 8，则图中判断框内处可以填（ ）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 44 （5 分）如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为 1 的等腰直角三角形，那么这个几何体的表
2、面积为（ ）第 2 页（共 21 页）A B C D5 （5 分） “a+b0”的充分不必要条件是（ ）Aab Ba 2b 2 C 0 De aeb16 （5 分）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为 2个，现有一个这样的细菌和 200 个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）A6 秒钟 B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟7 （5 分）若双曲线 C： 1（ba0）与 C2： 1 的离心率分别为 e1和 e2，则下列说法正确的是（ ）Ae 12e 22 B + 1CC 1 与 C2 的渐近线相同 DC 1 与 C2
3、的有 8 个公共点8 （5 分）如图，点 P 在边长为 1 的正方形的边上，从原点 O 出发，沿逆时针方向作速度为 1 的匀速运动，记点 P 的运动时间为 x，点 P 到原点 O 的距离为 f（x） ，则关于函数f（x）的描述正确的是（ ）Af（x）为偶函数 Bf（x ）恰有一个零点Cf（x）的最小正周期是 4 Df（x ）在6 ，7上单调递增二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）若 ，则实数 a 的值为 10 （5 分）若曲线 C 的极坐标方程满足 （ ） （ +） ，则曲线 C 关于 对称
4、（请填写具体的对称中心或对称轴）11 （5 分）已知点 p（x，y ）满足条件 ，则点 P 到原点 O 的最大距离为 第 3 页（共 21 页）12 （5 分）函数 f（x ）sin（x+ ）+sinxsin（x+ ）sinx的最小正周期为 ，最大值为 13 （5 分）从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人、副队长 1 人、普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法 （用数字作答）14 （5 分） “现代五项”是由现代奥林扑克之
5、父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c （ab c，且 a，b，c N*） ，每位选手各项得分之和为最终得分在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加了“现代五项” ，甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，且乙的马术比赛获得了第一名则 a ，游泳比赛的第三名是 三、解答题（共 80 分）15 （13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 c2，C（）若ABC 的面积等于 ，求 a（）若 a ，求 sinB16 （13 分）
6、有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 50 分，没有出现音乐则扣除 150 分（即获得一150 分） 设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立（）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？（）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；（）许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析其中的道理17 （14 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，AB
7、C60，SAD 为正三角形侧面 SAD底面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、SB 的中点（）求证：AF平面 SEC（）求证：平面 ASB平面 CSB（）在棱 SB 上是否存在一点 M，使得 BD平面 MAC？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由第 4 页（共 21 页）18 （14 分）已知椭圆 的离心率为 ，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 （）求椭圆 W 的标准方程及焦点坐标；（）过椭圆 W 的右焦点作 x 轴的垂线，交椭圆于 A，B 两点，过椭圆上不同于点A，B 的任意一点 P，作直线 PA，PB 分别交 x 轴于 M，N 两点证明：点 M，N 的横坐标之积为定值19 （13
8、分）已知函数 f（x ）lnxax 2+x 在点（1，f （1） ）处的切线斜率为负值（I）讨论 f（x ）的单调性；（II）若 f（x）有两个极值点 x1，x 2，求证：f（x 1）+ f（x 2）32ln220 （13 分）若无穷数列a n满足：a 1 是正实数，当 n 2 时，|ana n1 |maxa 1，a 2，a n1 ，则称 an是“Y 数列 ”已知数列a n是“Y数列” （）若 a11，写出 a4 的所有可能值；（）证明：a n是等差数列当且仅当a n单调递减；（）若存在正整数 T，对任意正整数 n，都有 aT+na n，证明：a 1 是数列a n的最大项第 5 页（共 21
9、页）2018 年北京市人大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 （5 分）已知集合 Px| x21，M a若 PM P，则 a 的取值范围是（ ）A （，1 B1 ，+）C1，1 D （， 1 1，+）【分析】通过解不等式化简集合 P；利用 PMPMP；求出 a 的范围【解答】解：Px| x21，Px|1x 1PMPMPaP1a1故选：C【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件 PMPMP 是解题关键2 （5 分）若| | |1， （ +2 ） ，则向量 与 的夹角为（ ）A30 B60 C120
10、 D150【分析】利用向量的垂直，推出关系式，通过数量积转化求解向量的夹角即可【解答】解：| | |1， （ +2 ） ，可得 0，即：1+2cos 0，所以 120故选：C【点评】本题考查向量的夹角的求法，向量的数量积的应用，是基本知识的考查3 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 8，则图中判断框内处可以填（ ）第 6 页（共 21 页）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 4【分析】模拟程序的运行，可得当 S8，k4 时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 8，由此可得图中判断框内处可以填 k4？【解答】解：模拟程序的运行，可得k1，S1满足判断框
11、内的条件，执行循环体，S2，k2满足判断框内的条件，执行循环体，S4，k3满足判断框内的条件，执行循环体，S8，k4此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 8由此可得图中判断框内处可以填 k4？故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为 1 的等腰直角三角形，那么这个几何体的表面积为（ ）第 7 页（共 21 页）A B C D【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由勾股定理求出棱长，由三角形面
12、积公式求出几何体的表面积【解答】解根据三视图可知几何体是一个三棱锥，直观图如图所示：PA平面 ABC，PA1，且ABC 是等腰直角三角形，ABAC 1，BAC90 ，由勾股定理得，PBPCBC ，所以该几何体的表面积 S3 11+ ，故选：D【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力5 （5 分） “a+b0”的充分不必要条件是（ ）Aab Ba 2b 2 C 0 De aeb1【分析】由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案【解答】解：a+b0ab第 8 页（共 21 页）ab 是 a+b0 的充要条件，故 A 错误；
13、由 ab，可得 a2b 2，反之，由 a2b 2，不一定有 ab，a 2b 2 是 ab，即 a+b0 的必要不充分条件，故 B 错误； a+b0，反之，由 a+b0，不一定有 ，如 ab0， 是 a+b0 的充分不必要条件；故 C 正确；eaeb1e a+b1a+b0， e aeb1 是 a+b0 的充要条件，故 D 错误故选：C【点评】本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为 2个，现有一个这样的细菌和 200 个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）A6 秒钟
14、B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟【分析】由题意可得 1+2+22+23+2n1 200，解不等式可得【解答】解：1+2+2 2+23+2n1 200， 200，2 n201，解得 n8，即至少需 8 秒细菌将病毒全部杀死，故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题7 （5 分）若双曲线 C： 1（ba0）与 C2： 1 的离心率分别为 e1和 e2，则下列说法正确的是（ ）Ae 12e 22 B + 1CC 1 与 C2 的渐近线相同 DC 1 与 C2 的有 8 个公共点【分析】通过双曲线的性质分别表示出 e1 和 e2，判断选项的正误即可第 9 页（共 2
15、1 页）【解答】解：由题意双曲线 C： 1（ba0）与 C2： 1 的离心率分别为 e1 和 e2，得：e1 1，e 2 1，显然 e12e 22；故选：A【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质，通过求解离心率的平方从而解决了问题，是解决问题常用的手段，属于基本知识的考查8 （5 分）如图，点 P 在边长为 1 的正方形的边上，从原点 O 出发，沿逆时针方向作速度为 1 的匀速运动，记点 P 的运动时间为 x，点 P 到原点 O 的距离为 f（x） ，则关于函数f（x）的描述正确的是（ ）Af（x）为偶函数 Bf（x ）恰有一个零点Cf（x）的最小正周期是 4 Df（
16、x ）在6 ，7上单调递增【分析】根据题意求出 f（x ）是分段函数，再根据函数解析式判断选项中的命题是否正确【解答】解：当 0x1 时，f （x）x；当 1x2 时，f（x） ；当 2x3 时，f（x） ；当 3x4 时，f（x）4x；点 P 到原点 O 的距离 f（x） ，第 10 页（共 21 页）则函数 f（x）的定义域不关于原点对称，f（x）不是偶函数，A 错误；点 P 是重复运动的，f（x）的零点有无数个，B 错误；由 f（x）的解析式知 f（x ）是以 4 为周期的函数，最小正周期为 4，C 正确；f（x）在6 ，7上的函数与在2，3 上的函数性质相同，是减函数，D 错误故选：C
17、【点评】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，是中档题二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）若 ，则实数 a 的值为 1 【分析】把已知等式变形，整理后利用复数相等的条件列式求得 a 值【解答】解：由 ，得（a+i） （1ai ）2i 22，即 2a+（1a 2）i2， ，即 a1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题10 （5 分）若曲线 C 的极坐标方程满足 （ ） （ +） ，则曲线 C 关于 （0，0） 对称 （请填写具体的对称中心或对称轴）【分析】直接利用极坐标的值，根据极角的关系求出结果【解答】解：若曲线 C 的极坐标
18、方程满足 （ ） （+） ，则曲线 C 原点对称即：原点（0，0）故答案为：（0，0）【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程的应用11 （5 分）已知点 p（x，y ）满足条件 ，则点 P 到原点 O 的最大距离为 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得答案第 11 页（共 21 页）【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（5，3） ，由图可知，当 P 与 A 重合时，点 P 到原点 O 有最大距离为 故答案为： 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12 （5 分）函数 f（x ）sin（x+ ）+sinxsin（x+ ）sinx的最小正周期
19、为 ，最大值为 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和最值得出结论【解答】解：函数 f（x ）sin（x+ ）+sinxsin（x+ ）sinx sin 2x + + cos2x+ sin2x （ cos2x+ sin2x） cos（2x ）故它的最小正周期为 ，最大值为 ，故答案为：； 【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性和最值，属于中档题第 12 页（共 21 页）13 （5 分）从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人、副队长 1 人、普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 1
20、68 种不同的选法 （用数字作答）【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，先从 4 男 2 女共 6 名学生选出 4 人，要求至少有 1 名女生，由排除法分析可选选法数目，在选出的 4 人中任选 1 人，作为队长，剩余 3 人中选出 1 人作为副队长，剩下 2 人作为队员；由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：，先从 4 男 2 女共 6 名学生选出 4 人，要求至少有 1 名女生，有 C64C 4414 种情况，在选出的 4 人中任选 1 人，作为队长，剩余 3 人中选出 1 人作为副队长，剩下 2 人作为队员，有 C41C3112 种情况，则有 1412168
21、 种不同的选法；故答案为：168【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先选取，再进行排列14 （5 分） “现代五项”是由现代奥林扑克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c （ab c，且 a，b，c N*） ，每位选手各项得分之和为最终得分在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加了“现代五项” ，甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，且乙的马术比赛获得了第一名则 a 5 或 4 ，游泳比赛的第三名是 乙 【分析】甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，得 5（a+b+c）22+9+9 a+b+c
22、8，即每个项目三个名次总分是 8 分每个项目的三个名次的分值情况只有两种：5 分、2 分、1 分；4 分、3 分、1 分；在各种情况下，对甲乙丙的得分合理性一一判定即可【解答】解：甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，5（a+b+c）22+9+9，a+b+c8，即每个项目三个名次总分是 8 分每个项目的三个名次的分值情况只有两种：5 分、2 分、1 分；4 分、3 分、1 分；对于情况 5 分、 2 分、1 分：乙的马术比赛获得了第一名，5 分，即 a5，余下四个项目共得 4 分，只能是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得 7 分不可能，第 13 页（共
23、 21 页）故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名刚好符合丙得分，由此可得游泳比赛的第三名是乙对于情况 4 分、 3 分、1 分：乙的马术比赛获得了第一名，4 分，即 a4，余下四个项目共得 5 分，只能是三个第三名，一个第二名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得 7 分不可能，故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下两个第三名，三个第二名刚好符合丙得分，由此可得游泳比赛的第三名是乙故答案为：5 或 4，乙【点评】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题三、解答题（共 80 分）15 （13 分）在AB
24、C 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 c2，C（）若ABC 的面积等于 ，求 a（）若 a ，求 sinB【分析】 （）根据三角形的面积公式和余弦定理组成方程组求得 a、b 的值；（）由正弦、余弦定理，即可求得 sinB 的值【解答】解：（）ABC 中，c2，C ，则ABC 的面积为 absinC ab ，ab4 ；又 c2a 2+b22abcosCa 2+b2ab4，由解得 ab2；（）若 a ，则c2a 2+b22abcosC +b22 b 4，9b212b200，第 14 页（共 21 页）解得 b 或 b （不合题意，舍去） ；由正弦定理 ，求得 sinB 【点评】
25、本题考查了三角形面积公式和正弦、余弦定理的应用问题，是基础题16 （13 分）有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 50 分，没有出现音乐则扣除 150 分（即获得一150 分） 设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立（）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？（）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；（）许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析其中的道理【分析】 （）
26、利用对立事件概率公式能求出玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率（）设每盘游戏获得的分数为 X，则 X 可能取值为150，10，20，50，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列（）由 X 的分布列，求出 E（X） ，由每盘游戏得分的平均数是 ，得负分，利用概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了【解答】解：（）每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是：p1 ，（）设每盘游戏获得的分数为 X，则 X 可能取值为150，10，20，50，P（X150） ，P（X10） ，P（X20） ，P（X50）
27、，X 的分布列为：第 15 页（共 21 页）X 150 10 20 50P（）X 的分布列为：X 150 10 20 50PE（X） ，每盘游戏得分的平均数是 ，得负分，由概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17 （14 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC60，SAD 为正三角形侧面 SAD底面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、SB 的中点（）求证：AF平面 SEC（）求证：平面
28、 ASB平面 CSB（）在棱 SB 上是否存在一点 M，使得 BD平面 MAC？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （I）取 SC 中点 G，构造平行四边形 AFGE，得出 AFEG 即可证明结论；（II）通过证明平行四边形 AFGE 为矩形得出 AFFG，再根据 AFSB 即可得出 AF平面 SBC，从而结论得证；（III）根据余弦定理计算 BE，SB，cos SBD，根据 cos SBD 计算 BM 的值，从而得出 的值第 16 页（共 21 页）【解答】 （I）证明：取 SC 中点 G，连结 FG，AF，EG，F，G 分别是 SB，SC 的中点，FGBC，FG BC，底面 A
29、BCD 是菱形，E 是 AD 的中点，AEBC，AE BC，FGAE，FGAE，四边形 AFGE 是平行四边形，AFEG ，又 AF平面 SEC，EG 平面 SEC，AF平面 SEC（II）证明：SAD 是等边三角形， E 是 AD 的中点，SEAD ，底面 ABCD 是菱形，ABC60，ACD 是等边三角形，又 E 是 AD 的中点，ADCE，又 SECEE ，AD平面 SEC，ADEG ，又四边形 AFGE 是平行四边形，四边形 AFGE 是矩形，AFFG ，又 SAAB，F 是 SB 的中点，AFSB ，又 FGSB F，FG平面 SBC，SB 平面 SBC，AF平面 SBC，又 AF平
30、面 ASB，平面 ASB平面 CSB（III）假设棱 SB 上存在点 M，使得 BD平面 MAC，连结 MO，BE ，则 BDOM，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC60，SAD 为正三角形，BE ，SE ，BD2OB2 ，SD2，SEAD，侧面 SAD底面 ABCD，侧面 SAD底面 ABCDAD，第 17 页（共 21 页）SE平面 ABCD，SEBE， SB ，cosSBD ， ，BM 【点评】本题考查了空间线面位置的判断，考查空间距离的计算与应用，属于中档题18 （14 分）已知椭圆 的离心率为 ，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 （）求椭圆 W 的标准方程及焦点坐标；
31、（）过椭圆 W 的右焦点作 x 轴的垂线，交椭圆于 A，B 两点，过椭圆上不同于点A，B 的任意一点 P，作直线 PA，PB 分别交 x 轴于 M，N 两点证明：点 M，N 的横坐标之积为定值【分析】 （）由题以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 求出 a，通过离心率求出 c，然后求解 b，即可求出椭圆方程以及焦点坐标（）M，N 两点的横坐标之积为定值，且定值为 3设点 A（x 1，y 1） ，B（x 1，y 1）（y 10） ，P（ x0，y 0） （y 0y 1，x 0x 1） ，则 PA 方程为：PB 方程为： 求出 M 坐标，N的坐标，然后求解点 M，N 的横坐标之积为定值【解答】
32、（本小题满分 14 分）解：（）由题以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 知 ，第 18 页（共 21 页）又因为离心率 ，所以 c1则 b2a 2c 22，所以椭圆 W 的标准方程为 ，焦点坐标为（1，0） ；（）证明：M，N 两点的横坐标之积为定值，且定值为 3设点 A（x 1，y 1） ，B（x 1，y 1） （y 10） ，P（x 0，y 0） （y 0y 1，x 0x 1） ，则 PA 方程为： PB 方程为： 联立得 ， 所以又因为 ， ，点 M，N 的横坐标之积为定值 3【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力19 （13 分）已
33、知函数 f（x ）lnxax 2+x 在点（1，f （1） ）处的切线斜率为负值（I）讨论 f（x ）的单调性；（II）若 f（x）有两个极值点 x1，x 2，求证：f（x 1）+ f（x 2）32ln2【分析】 （I）f（x ） 2ax +1，由题意可得：f （1）12a+10，可得：a0f（x） ，令 g（x）2ax 2+x118a，0，解得a 时，由0，解得0a 时，对 a 分类讨论即可得出单调性（II）f（x）有两个极值点 x1，x 2，x 1，x 2 满足2ax2x+10， 0a ， x 1+10，2 x 2+10，x 1+x2 ，x 1x2第 19 页（共 21 页）可得：f（x
34、1）+f（x 2） lnx1 +x1lnx 2 +x2ln（x 1x2） +x1 +x2ln（x 1x2）+ +1ln + +1，令 g（t）lnt +t+1，t （4，+ ） 利用导数研究其单调性即可得出【解答】 （I）解：f（x ） 2ax +1，由题意可得：f（1）12a+10，可得：a0f（x） ，令 g（x）2ax 2+x118a，由0，解得 a 时，f （x ）0，此时函数 f（x）在（0，+）上单调递减由0，解得 0a 时，f（x ） 其中 x1 ，x 2 0x 1x 2可得：函数 f（x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递增，在（x 2，+）上单调递减（
35、II）证明：f（x ）有两个极值点 x1，x 2，x 1，x 2 满足 2ax2x+10，0a ，x 1+10，2 x 2+10，x 1+x2 ，x 1x2 f（x 1）+f（x 2）lnx 1 +x1lnx 2 +x2ln（x 1x2） +x1+x2ln（x 1x2）+ +1ln + +1，令 g（t）lnt+ t+1，t （4，+ ） g（t） + 0，g（t）在 t（4，+）上单调递增，g（t）g（4）32ln2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （13 分）若无穷数列a n满足：a 1 是正
36、实数，当 n 2 时，第 20 页（共 21 页）|an an 1|maxa 1，a 2，a n1 ，则称 an是“Y 数列 ”已知数列a n是“Y数列” （）若 a11，写出 a4 的所有可能值；（）证明：a n是等差数列当且仅当a n单调递减；（）若存在正整数 T，对任意正整数 n，都有 aT+na n，证明：a 1 是数列a n的最大项【分析】 （）根据 a11，写出 a4 的所有可能值即可；（）当a n是等差数列时，得到a n单调递减，当a n单调递减时，推出a n是等差数列即可；（）假设 a1 不是数列a n的最大项，设 i 是使得 aia 1 的最小正整数，根据第二数学归纳法证明即
37、可【解答】 （）解：a 11 时，a 42，0，2，8；（）证明：|a 2a 1|a 1， a 20 或 2a1，当a n是等差数列时，假设 a22a 1，则 a32a 2a 13a 1，此时|a 3a 2|a 1，而 maxa1，a 22a 1，矛盾，故 a20，于是公差 da 2a 1a 10，故a n单调递减，当a n单调递减时，对任意 n2，maxa1，a 2， an1 a 1，又|a n an1 | an1 a n，故 ana n1 a 1，从而a n是等差数列；（）证明：假设 a1 不是数列a n的最大项，设 i 是使得 aia 1 的最小正整数，则|a i+1 ai|maxa 1
38、，a 2，a ia i，因此 ai+1 是 ai 的倍数，假设 ai+1，a i+2，a i+k1 都是 ai 的倍数，第 21 页（共 21 页）则|a i+ka i+k1 |maxa 1，a 2，a i+k1 max ai，a i+1，a i+k1 ，故 ai+k 是 ai 的倍数，假设 ai+1，a i+2，a i+k1 都是 ai 的倍数，则|a i+ka i+k1 |maxa 1，a 2，a i+k1 max a1，a i+1，a i+k1 ，因此，a i+k 也是 ai 的倍数，由第二数学归纳法可知，对任意 ni，a n 都是 ai 的倍数，又存在正整数 T，对任意正整数 n，都有 aT+na n，故存在正整数 mi，a ma 1，故 ai 是 a1 的倍数，但 aia 1，故 a1 不是 ai 的倍数，矛盾，故 ai 是数列a n的最大值【点评】本题考查了等差数列的问题，考查充分必要条件的证明以及新定义问题，是一道综合题
