1、2018 年北京市人大附中高考数学三模试卷(文科)一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1 (5 分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )Ai 2 B (1+i) 2 Ci(1+i ) D (1+i) (1i)2 (5 分)已知 a ,b ,c ,则( )Abac Babc Cbca Dc ab3 (5 分)设 aR,则“a1”是直线“ax+y10 与直线 ax+(a2)y+50 垂直”的( )A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件4 (5 分)为了得到函数 ylog 2 的图象,可将函数 y
2、log 2x 的图象上所有的点的( )A纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度B纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度C横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度D横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度5 (5 分)设非零向量 , 满足| + | |则( )A B| | | C D| | |6 (5 分)设 m、n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则( )A若 mn,n,则 m B若 m, ,则 mC若 m ,n,n,则 m D若 mn,n,则 m7 (5 分)某几何体的三视图如图所示
3、,则该几何体的体积为( )第 2 页(共 19 页)A12 B18 C24 D308 (5 分)已知函数 f(x )lnx+ln (2x) ,则( )Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cy f(x)的图象关于直线 x1 对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9 (5 分)已知 (0, ) ,tan 2,则 cos( ) 10 (5 分)能够说明命题 p:x R,x 2+2ax+a0 是假命题的一个实数 a 是 11 (5 分)设双曲线 的虚轴长为 2,焦距为 ,则双曲线的渐近线方程为 12 (5 分)已知 O
4、 为坐标原点, F 为抛物线 C:y 24x 的焦点,P 为抛物线 C 上一点,若|PF|4,则POF 的面积为 13 (5 分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒若一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 14 (5 分)天干地支纪年法,源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子” ,第二年为“乙丑” ,
5、第三年为“丙寅” ,以此类推排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌” ,第 3 页(共 19 页)“乙亥” ,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子” ,以此类推已知 2017 年为丁酉年,那么到改革开放 100 年时,即 2078 年为 年三、解答题(共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15 (13 分)若函数 的部分图象如图所示求:() 和 ;()f(x)在区间 上的取值范围16 (13 分)设数列a n满足 ()求 a1,a 2 及a n的通项公式;()求数列 的前 n 项和17 (13 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶
6、 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25) ,需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4第 4 页(共 19 页)以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸
7、奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元) ,当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率18 (13 分)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PDPC 4,AB 6,BC3(1)证明:BC平面 PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点 C 到平面 PDA 的距离19 (14 分)已知椭圆 的离心率为 ,以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 ()求椭圆 W 的标准方程及焦点坐标;()过椭圆 W 的右焦点作 x 轴的垂线,交椭圆于 A,B 两点,过椭圆上不同于点
8、A,B 的任意一点 P,作直线 PA,PB 分别交 x 轴于 M,N 两点证明:点 M,N 的横坐标之积为定值20 (14 分)设函数 f(x )x 4+ax3+2x2+b(xR) ,其中 a,bR(1)当 a 时,讨论函数 f(x )的单调性;(2)若函数 f(x )仅在 x0 处有极值,求 a 的取值范围;(3)若对于任意的 a2,2,不等式 f(x)1 在1,0上恒成立,求 b 的取值范围第 5 页(共 19 页)2018 年北京市人大附中高考数学三模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1
9、 (5 分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )Ai 2 B (1+i) 2 Ci(1+i ) D (1+i) (1i)【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解:i 21, (1+i) 22i,i (1+i)i 1, (1+i) (1i)2只有(1+i) 2 为纯虚数,故选:B【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题2 (5 分)已知 a ,b ,c ,则( )Abac Babc Cbca Dc ab【分析】b ,c ,结合幂函数的单调性,可比较 a,b,c,进而得到答案【解答】解:a ,b ,c ,综上可得:bac,故选:A【点评】本题考查的知
10、识点是指数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档3 (5 分)设 aR,则“a1”是直线“ax+y10 与直线 ax+(a2)y+50 垂直”的( )A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】对 a 分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出第 6 页(共 19 页)【解答】解:当 a2 时,直线 ax+y10 的斜率为2,直线 ax+(a2)y+50 斜率不存在,故不垂直,当 a2 时直线 ax+y10 的斜率为a,直线 ax+(a2)y+50 的斜率为 ,若两直线垂直,则a 1,解得 a2(舍去)或 a1,“a1”是“
11、ax+y 10 与直线 ax+(a2)y +50 垂直”的充分不必要条件故选:B【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的应用4 (5 分)为了得到函数 ylog 2 的图象,可将函数 ylog 2x 的图象上所有的点的( )A纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度B纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度C横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度D横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度【分析】把给出的函数 ylog 2 变形为 y ,从而看到
12、函数自变量和函数值的变化【解答】解:函数 ylog 2 ,所以要得到函数 ylog 2 的图象,可将函数 ylog 2x 的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度故选:A【点评】本题考查了函数的图象与图象变化,解答此类问题的关键是看自变量 x 发生了什么变化,然后再根据“左加右减”的原则,是易错题5 (5 分)设非零向量 , 满足| + | |则( )A B| | | C D| | |【分析】由已知得 ,从而 0,由此得到 【解答】解:非零向量 , 满足| + | |,第 7 页(共 19 页) ,解得 0, 故选:A【点评】本题考查两个向量的关系的判断
13、,是基础题,解题时要认真审题,注意向量的模的性质的合理运用6 (5 分)设 m、n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则( )A若 mn,n,则 m B若 m, ,则 mC若 m ,n,n,则 m D若 mn,n,则 m【分析】根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论【解答】解:A若 mn,n ,则 m 或 m 或 m,故 A 错误B若 m, ,则 m 或 m 或 m,故 B 错误C若 m ,n,n,则 m ,正确D若 mn,n, ,则 m 或 m 或 m ,故 D 错误故选:C【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定理和性
14、质定理7 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A12 B18 C24 D30【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断三棱柱的高及消去的第 8 页(共 19 页)三棱锥的高,判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算【解答】解:由三视图知:几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:三棱柱的高为 5,消去的三棱锥的高为 3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形,几何体的体积 V 345 34330624故选:C【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据
15、所对应的几何量是解题的关键8 (5 分)已知函数 f(x )lnx+ln (2x) ,则( )Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cy f(x)的图象关于直线 x1 对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称【分析】由已知中函数 f(x )lnx+ln (2x) ,可得 f( x)f (2x) ,进而可得函数图象的对称性【解答】解:函数 f(x )lnx+ln (2x) ,f(2x) ln(2x )+lnx ,即 f(x)f(2x ) ,即 yf(x)的图象关于直线 x1 对称,故选:C【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键
16、二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)第 9 页(共 19 页)9 (5 分)已知 (0, ) ,tan 2,则 cos( ) 【分析】根据同角的三角函数的关系求出 sin ,cos ,再根据两角差的余弦公式即可求出【解答】解:(0, ) ,tan 2,sin 2cos,sin 2+cos2 1,解得 sin ,cos ,cos( )coscos +sinsin + ,故答案为:【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式,考查了学生的运算能力,属于基础题10 (5 分)能够说明命题 p:x R,x 2+2ax+a0 是假命题的一个实数 a 是 【分析】若命题 p:xR
17、,x 2+2ax+a0 是假命题,则命题p:xR,x 2+2ax+a0是真命题,结合二次函数的图象和性质,可得答案【解答】解:若命题 p:x R,x 2+2ax+a0 是假命题则命题p:x R,x 2+2ax+a0 是真命题,即4a 24a0,解得:a(0,1) ,故答案为: (答案不唯一, (0,1)上任意数均可)【点评】本题考查的知识点是命题的否定,二次函数的图象和性质,难度中档11 (5 分)设双曲线 的虚轴长为 2,焦距为 ,则双曲线的渐近线方程为 y x 【分析】利用双曲线的简单性质,转化求解即可【解答】解:双曲线 的虚轴长为 2,a1, ,则 b,第 10 页(共 19 页)双曲线
18、的渐近线方程为: 故答案为: 【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力12 (5 分)已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y 24x 的焦点,P 为抛物线 C 上一点,若|PF|4,则POF 的面积为 【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标,利用|PF| 4 求得 P 点的横坐标,代入抛物线方程求得纵坐标,代入三角形面积公式计算【解答】解:由抛物线方程得:抛物线的准线方程为:x1,焦点 F(1,0) ,又 P 为 C 上一点,|PF|4,x P3,代入抛物线方程得:|y P|2 ,S POF |0F|yP| 故答案为: 【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性
19、质,熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键13 (5 分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒若一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 【分析】求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯,即可求出至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率【解答】解:红灯持续时间为 40 秒,至少需要等待 15 秒才出现绿灯,一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯,至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 故答案为 【点评】本题考查概率的计算,考查几何概型,考查学生的计算能力,比较基础14 (5 分)天干地支纪年法,源于中国中国自古便有十天干与
20、十二地支十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子” ,第二年为“乙丑” ,第三年第 11 页(共 19 页)为“丙寅” ,以此类推排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌” ,“乙亥” ,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子” ,以此类推已知 2017 年为丁酉年,那么到改革开放 100 年时,即 2078 年为 戊戌 年【分析】由题意可得数列天干是以 10 为等差的等差数列,地支是以 12 为
21、公差的等差数列,以 2017 年的天干和地支分别为首项,即可求出答案【解答】解:天干是以 10 为构成的等差数列,地支是以 12 为公差的等差数列,从 2017 年到 2078 年经过 61 年,且 2017 年为丁酉年,以 2017 年的天干和地支分别为首项,则 61106 余 1,则 2078 的天干为戊,61125 余 1,则戊的地支为戌,故答案为:戊戌【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用,属于中档题三、解答题(共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15 (13 分)若函数 的部分图象如图所示求:() 和 ;()f(x)在区间 上的取值范围【分析】 (
22、)由函数 f(x )的部分图象求得 T、 和 的值;()写出 f(x )的解析式,根据三角函数的图象与性质,第 12 页(共 19 页)即可求得 f(x)在区间 上的取值范围【解答】解:()由函数 f(x )的部分图象知,又 ,4 ;又 ,f(x)的图象过点 ,即 ;又 , ;()由()知, ,当 时, x1;f(x)在区间 上的取值范围是 第 13 页(共 19 页)【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,是基础题16 (13 分)设数列a n满足 ()求 a1,a 2 及a n的通项公式;()求数列 的前 n 项和【分析】 ()根据数列的递推公式可得:(2n1)a n2,即可求出
23、通项公式,()利用裂项求和,即可求出【解答】解:()a 1+3a2+(2n1)a n2n,当 n1 时,a 12,当 n2 时,a 1+3a24,a 2 ,a 1+3a2+(2n1)a n 2n,n2 时,a 1+3a2+(2n 3)a n1 2(n1) ,得:( 2n1)a n 2,a n ,又 n1 时,a 12 满足上式, ;第 14 页(共 19 页)()由(): ,【点评】本题考查了数列的递推公式和求和公式,考查了运算能力和转化能力,属于中档题17 (13 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价
24、格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25) ,需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元)
25、 ,当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率【分析】 (1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间20,25)和最高气温低于 20 的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率(2)当温度大于等于 25时,需求量为 500,求出 Y900 元;当温度在20,25)时,需求量为 300,求出 Y300 元;当温度低于 20时,需求量为 200,求出Y100 元,从而当温度大于等于 20 时,Y0,由此能估计估计 Y 大于零的概率【解答】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间20
26、, 25)和最高气温低于 20 的天数为 2+16+3654,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶,如果最高气温位于区间20, 25) ,需求量为 300 瓶,如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶,第 15 页(共 19 页)六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p (2)当温度大于等于 25时,需求量为 500,Y4502900 元,当温度在20,25)时,需求量为 300,Y3002(450300)2300 元,当温度低于 20时,需求量为 200,Y400(450200)2100 元,当温度大于等于
27、20 时,Y0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于 20的天数有:90(2+16)72,估计 Y 大于零的概率 P 【点评】本题考查概率的求法,考查利润的所有可能取值的求法,考查函数、古典概型等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题18 (13 分)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PDPC 4,AB 6,BC3(1)证明:BC平面 PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点 C 到平面 PDA 的距离【分析】 (1)利用四边形 ABCD 是长方形,可得 BCAD,根据线面平行的判定定理
28、,即可得出结论;(2)利用平面与平面垂直的性质定理得出 BC平面 PDC,即可证明 BCPD ;(3)利用等体积法,求点 C 到平面 PDA 的距离【解答】 (1)证明:因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BCAD,因为 BC平面 PDA,AD平面 PDA,所以 BC平面 PDA;(2)证明:因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BCCD,第 16 页(共 19 页)因为平面 PDC平面 ABCD,平面 PDC平面 ABCDCD,BC面 ABCD,所以 BC平面 PDC,因为 PD平面 PDC,所以 BCPD;(3)解:取 CD 的中点 E,连接 AE 和 PE,因为 PDPC,所以 PEC
29、D,在 Rt PED 中,PE 因为平面 PDC平面 ABCD,平面 PDC平面 ABCDCD,PE平面 PDC,所以 PE平面 ABCD由(2)知:BC平面 PDC,由(1)知:BCAD,所以 AD平面 PDC,因为 PD平面 PDC,所以 ADPD 设点 C 到平面 PDA 的距离为 h因为 VCPDA VPACD ,所以 ,所以 h ,所以点 C 到平面 PDA 的距离是 【点评】本题考查平面与平面垂直的性质,线面垂直与线线垂直的判定,考查三棱锥体积等知识,注意解题方法的积累,属于中档题19 (14 分)已知椭圆 的离心率为 ,以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 第 17 页(共 1
30、9 页)()求椭圆 W 的标准方程及焦点坐标;()过椭圆 W 的右焦点作 x 轴的垂线,交椭圆于 A,B 两点,过椭圆上不同于点A,B 的任意一点 P,作直线 PA,PB 分别交 x 轴于 M,N 两点证明:点 M,N 的横坐标之积为定值【分析】 ()由题以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 求出 a,通过离心率求出 c,然后求解 b,即可求出椭圆方程以及焦点坐标()M,N 两点的横坐标之积为定值,且定值为 3设点 A(x 1,y 1) ,B(x 1,y 1)(y 10) ,P( x0,y 0) (y 0y 1,x 0x 1) ,则 PA 方程为:PB 方程为: 求出 M 坐标,N的坐标,然
31、后求解点 M,N 的横坐标之积为定值【解答】 (本小题满分 14 分)解:()由题以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 知 ,又因为离心率 ,所以 c1则 b2a 2c 22,所以椭圆 W 的标准方程为 ,焦点坐标为(1,0) ;()证明:M,N 两点的横坐标之积为定值,且定值为 3设点 A(x 1,y 1) ,B(x 1,y 1) (y 10) ,P(x 0,y 0) (y 0y 1,x 0x 1) ,则 PA 方程为: PB 方程为: 联立得 , 所以又因为 , ,第 18 页(共 19 页)点 M,N 的横坐标之积为定值 3【点评】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用
32、,考查转化思想以及计算能力20 (14 分)设函数 f(x )x 4+ax3+2x2+b(xR) ,其中 a,bR(1)当 a 时,讨论函数 f(x )的单调性;(2)若函数 f(x )仅在 x0 处有极值,求 a 的取值范围;(3)若对于任意的 a2,2,不等式 f(x)1 在1,0上恒成立,求 b 的取值范围【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,结合二次函数的性质求出满足条件的 a 的范围即可;(3)根据函数的单调性得到 ba2 在 a2,2上恒成立所以 b22,求出b 的范围即可【解答】解:(1)f(x )4x 3+3ax2+
33、4xx(4x 2+3ax+4) 当 a 时,f(x )x(4x 210x+4)2x(2x 1) (x2) 令 f(x)0 ,得 x10,x 2 ,x 32当 x 变化时,f(x) ,f(x )的变化情况如表:x (,0)0 (0, ) ( ,2) 2 (2,+)f(x) 0 + 0 0 +f(x) 极小值 极大值 极小值 所以 f(x)在( 0, )和(2,+)上是增函数,在(,0)和( ,2)上是减函数(2)f(x) x(4x 2+3ax+4) ,显然 x0 不是方程 4x2+3ax+40 的根由于 f(x)仅在 x0 处有极值,则方程 4x2+3ax+40 有两个相等的实根或无实根,9a 2640,解此不等式,得 a 这时,f(0)b 是唯一极值因此满足条件的 a 的取值范围是 第 19 页(共 19 页)(3)由(2)知,当 a2,2时,4x 2+3ax+40 恒成立所以 当 x0 时,f(x)0,f(x )在区间(,0上是减函数因此函数 f(x)在 1,0上的最大值是 f(1) 又因为对任意的 a2,2,不等式 f(x)1 在1,0上恒成立,所以 f(1)1,即 3a+b1于是 ba2 在 a2,2上恒成立所以 b22,即 b4因此满足条件的 b 的取值范围是(,4【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题