1、2018 年天津市和平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 UR， A x|x1，B x|x2，则集合 U（AB）等于（ ）A x|x1 Bx|x2 C x|1x2 D x|1x22 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z3x+y 的最大值为（ ）A6 B5 C4 D33 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S41，则判断框内可填入（ ）Ak5？ Bk6？ Ck7？ Dk 8？4 （5 分）设 xR，则“x sin x0”是“x0”的（ &nbs
2、p;）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知抛物线 x24by 的准线与双曲线 （a0，b0）的左、右支分别交于 B、C 两点，A 为双曲线的右顶点， O 为坐标原点，若BOC2AOC，则双曲线的渐近线方程为（ ）第 2 页（共 24 页）Ay By2x Cy Dy 6 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的函数，它的图象上任意一点 P（x 0，y 0）处的切线方程为 y（x 02+x02）x +（y 0x 03x 02+2x0） ，那么函数 f（x ）的单调递减区间为（ ）A （2，1） B （1，2） C （，2
3、） D （1，+）7 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 ， 2 ，G 为线段 EF 上的一点，且 ， ，则 的值为（ ）A B C D8 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x） ，则关于 x 的方程 6f（x ） 2f （x）10 的实根的个数为（ ）A6 B7 C8 D9二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上.9 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数 的虚部为 10 （5 分）在ABC 中，AB3，cos A ，B C，则 BC 边长为
4、 11 （5 分）已知直线 l 的方程为 x+y60，M 为圆 x2+y24x+30 上的任意一点，设点M 到直线 l 的距离为 d，则 d 的最大值为 12 （5 分）如图，已知正四面体 ABCD 的高为 2 ，则它的内切球的体积为 第 3 页（共 24 页）13 （5 分）已知 xy0，x+y3，则 + 的最小值为 14 （5 分）已知 f（x ） 规定 fn（x） （其中nN*） ，则 f5（ ）的值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字
5、说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）在一次有 1000 名高中生参加的物理、化学、生物三科竞赛中，每人只能参加其中的一科，各科参赛人数如下表：物理 化学 生物男生 400 200 100女生 200 50 50（）在所有参赛的学生中，用分层抽样的方法抽取 n 人，已知从生物学科的参赛者中抽取了 6 人，求 n 的值及从化学学科的参赛者中抽取的人数；（）在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取 6 人看作一个总体，从中任意选取 2 人，求 2 人中必有女生的概率16 （13 分）已知函数 f
6、（x ） sin（x+ ）sin xsin（ ）cos（ ） （）求函数 f（x ）的最小正周期及单调递减区间；（）将函数 yf（x）的图象向左平移 个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x）的图象，若 g（） ，且 （） ，求 sin（ ）的值17 （13 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CC 1平面 ABC，ACBC ，D 在线段B1C1 上，B 1D3DC 1，AE3EC，AC BC CC 14第 4 页（共 24 页）（）求证：BCAC 1；（）求证：DE平面 A1ABB1；（）求直线 ED 与平面 C1CBB1 所成角的正弦
7、值18 （13 分）已知数列a n满足条件 a11，a 23，且 an+2（1） n（a n1）+2an+1， nN*（）求数列a n的通项公式；（）设 bn ，S n 为数列b n的前 n 项和，求证： Sn 19 （14 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为 ，过椭圆的右焦点的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点（I）求椭圆的方程；（）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D，与直线 l 交于 N，当 时，求直线 l 的斜率的取值范围；（）在椭圆上是否存在定点 M，使得对任意斜率等于 且与椭圆交于 P、Q 两点的直线（P、Q 两
8、点均不在 x 轴上） ，都满足 kPM+kQM0（其中 kPM 为直线 PM 的斜率，k QM为直线 QM 的斜率）？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由20 （14 分）已知函数 f（x ）ln （x+a） ，其中 aR，且 a0（）求 f（x）的单调区间；（）若 f（x） 0 恒成立，求 a 的取值范围；（）若存在ax 10，x 20，使得 f（x 1）f （x 2）0，求证：x 1+x20第 5 页（共 24 页）第 6 页（共 24 页）2018 年天津市和平区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5
9、 分）已知全集 UR， A x|x1，B x|x2，则集合 U（AB）等于（ ）A x|x1 Bx|x2 C x|1x2 D x|1x2【分析】进行并集、补集的运算即可【解答】解：AB x|x1 ，或 x2 ； U（AB ）x |1x 2故选：D【点评】考查描述法表示集合的概念，以及并集和补集的运算2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z3x+y 的最大值为（ ）A6 B5 C4 D3【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中 z 的几何意义，求出直线z3x+y 的最大值即可【解答】解：作出可行域如图，由 z3x+y 知，y 3x +z，所以
10、动直线 y3x +z 的纵截距 z 取得最大值时，目标函数取得最大值由 得 A（2，1）结合可行域可知当动直线经过点 A（2，1）时，目标函数取得最大值 z3215故选：B第 7 页（共 24 页）【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题3 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S41，则判断框内可填入（ ）Ak5？ Bk6？ Ck7？ Dk 8？【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出 S41，确定跳出循环的k 的值，从而得判断框的条件【解答】解：模拟程序的运行，可得k1，S1执行循环体，k2，S5不满足判断框内的条
11、件，执行循环体，k3，S11不满足判断框内的条件，执行循环体，k4，19第 8 页（共 24 页）不满足判断框内的条件，执行循环体，k5S29不满足判断框内的条件，执行循环体，k6，S41由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 41，可得判断框内的条件应该为 k6？故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题4 （5 分）设 xR，则“x sin x0”是“x0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】构造函数 f（x ）xsinx ，求出函
12、数的导数判断函数的单调性，结合函数充分条件和必要条件的定义判断即可【解答】解：设 f（x ）xsinx ，则 f（x）1cosx0，则 f（x）是增函数，当 x0 时，f（ x）f（0） 0sin0 0，此时 xsin x 成立，即“xsin x0”是“x0”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质进行转化判断是解决本题的关键5 （5 分）已知抛物线 x24by 的准线与双曲线 （a0，b0）的左、右支分别交于 B、C 两点，A 为双曲线的右顶点， O 为坐标原点，若BOC2AOC，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay By2x Cy Dy
13、 【分析】根据抛物线的准线方程求出 C 的坐标，再根据BOC2AOC，可得BOC2AOC90，即可得到 b a，问题得以解决【解答】解：抛物线 x24by 的准线为 yb，抛物线 x24by 的准线与双曲线 （a0，b0）的左、右支分别交于第 9 页（共 24 页）B、C 两点，OBOC，设 C 的坐标为（x 0，b） ， 1，x 0 a，CD a，BOC2AOC，BOC2AOC90，b a， ，双曲线的渐近线方程为 y x，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质和抛物线的准线方程以双曲线的渐近线方程，考查了转化能力，属于中档题6 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的函数，它的图象
14、上任意一点 P（x 0，y 0）处的切线方程为 y（x 02+x02）x +（y 0x 03x 02+2x0） ，那么函数 f（x ）的单调递减区间为（ ）A （2，1） B （1，2） C （，2） D （1，+）【分析】由题意，结合点斜式方程可得，f（x ）的导数 f （x） ，令导数小于 0，运用二第 10 页（共 24 页）次不等式的解法，计算即可得到所求减区间【解答】解：由图象上任意一点 P（x 0，y 0）处的切线方程为 y（x 02+x02）x+（y 0x 03x 02+2x0） ，则 f（x）的导数为 f（x ） x2+x2，令 f（x）0 ，解得：2x1，故选：A
15、【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题7 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 ， 2 ，G 为线段 EF 上的一点，且 ， ，则 的值为（ ）A B C D【分析】利用向量的加减法法则用 . 表示 ，结合 得 ， 的值，则答案可求【解答】解：如图， + ，则 故选：D【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题8 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x） ，则关于 x 的方程 6f（x ） 2f （x）10 的实根的个数第 11 页（共 24 页）为（ &nb
16、sp;）A6 B7 C8 D9【分析】先设 tf（x） ，求出方程 6f（x ） 2f （x）10 的解，利用函数的奇偶性作出函数在 x0 时的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：设 tf（x） ，则关于 x 的方程 6f（x） 2f（x）10，等价6t2t10，解得 t 或 t ，当 x0 时，f（ 0）0，此时不满足方程若 1x2，则 0x 11，即 f（x） f（x 1） 4（x1） 24（x1）+12x 26x+ ，若 2x3，则 1x 12，即 f（x） f（x 2） 2（x1） 26（x1）+ x 25x+ ，作出当 x0 时，f（x） 的图象如图：当 t 时，f（x） 对应
17、 3 个交点函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，由 f（x） ，可得当 x0 时，f（x） ，此时函数图象对应 4 个交点，t 时，函数图象对应 4 个交点，综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根，故选：B第 12 页（共 24 页）【点评】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上.9 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数 的虚部为 2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，复数 的虚部为2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形
18、式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）在ABC 中，AB3，cos A ，B C，则 BC 边长为 【分析】根据题意，利用余弦定理求得 BC 边长的值【解答】解：ABC 中，cAB3，cosA ，BC，bc 3；a 2b 2+c22bc cosA3 2+32233 6，解得 a ，则 BC 边长为 故答案为： 【点评】本题考查了等腰三角形和余弦定理的应用问题，是基础题11 （5 分）已知直线 l 的方程为 x+y60，M 为圆 x2+y24x+30 上的任意一点，设点M 到直线 l 的距离为 d，则 d 的最大值为 2 +1 【分析】求出圆的圆心与
19、半径，利用圆心到直线的距离加上半径求解即可第 13 页（共 24 页）【解答】解：圆 x2+y24x +30 化为：（x 2） 2+y21 ，圆心（2，0） ，半径为：1直线 l 的方程为 x+y60，M 为圆 x2+y24x+30 上的任意一点，设点 M 到直线 l 的距离为 d，d 的最大值为： 2 故答案为：2 +1【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力12 （5 分）如图，已知正四面体 ABCD 的高为 2 ，则它的内切球的体积为 【分析】作出正四面体的图形，球的球心位置为 O，说明 OE 是内切球的半径，再求表面积D【解答】解：如图 O 为正四面体
20、ABCD 的内切球的球心，正四面体的高 AE4；所以 OE 为内切球的半径，OE AE ，则其内切球的半径是 R ，内切球的体积 V ；故答案为： 【点评】本题考查正四面体的内切球半径的求法，内切球的半径是正四面体的高的 ，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养第 14 页（共 24 页）13 （5 分）已知 xy0，x+y3，则 + 的最小值为 【分析】由题意可得 x0，y0，由柯西不等式可得（ y+1）+ （x +2） （ + ） + 2，即可得到所求最小值【解答】解：xy0，x+y3，可得 x0，y 0，由柯西不等式可得（y+1 ） +（x+2）（
21、+ ） + 2（x+y） 29 ，可得 + ，当 ，即有 x ，y 时，+ 的最小值为 ，故答案为： 【点评】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简变形能力、以及运算能力，属于中档题14 （5 分）已知 f（x ） 规定 fn（x） （其中nN*） ，则 f5（ ）的值为 360 【分析】由分段函数、分段数列的解析式，结合 n 的变化、x 的变化，化简整理即可得到所求值【解答】解：f（x ） ，fn（x） （其中 nN*） ，可得 f5（ ）f（f 4（ ） ） ，第 15 页（共 24 页）f4（ ）f（f 3（ ） ） ，f3（ ）f（f 2（ ） ） ，f2（ ）f（f 1（ ） ）
22、 ，f1（ ）f（ ） ，f（f 1（ ） ）f（ ） 3，f（f 2（ ） ）f（3） ，f（f 3（ ） ）f（ ）20119，f（f 4（ ） ）f（19）19 21360即 f5（ ）360故答案为：360【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分段数列的运用，注意 n 的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）在一次有 1000 名高中生参加的物理、化学、生物三科竞赛中，每人只能参加其中的一科，各科参赛人数如下表：物理 化学 生物男生 40
23、0 200 100女生 200 50 50（）在所有参赛的学生中，用分层抽样的方法抽取 n 人，已知从生物学科的参赛者中抽取了 6 人，求 n 的值及从化学学科的参赛者中抽取的人数；（）在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取 6 人看作一个总体，从中任意选取 2 人，求 2 人中必有女生的概率【分析】 （）利用分层抽样法，结合频率、频数与样本容量的关系，计算即可；（）利用分层抽样和列举法求出基本事件，计算所求的概率【解答】解：（）用分层抽样法抽取 n 人，从生物学科的参赛者中抽取了 6 人，则 ，第 16 页（共 24 页）解得
24、n40；则从化学学科的参赛者中抽取的人数为 40 10；（）在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取 6 人，其中男生 4 人，记为 A、B、C 、D，女生 2 人，记为 e，f；从这 6 人中任选 2 人，基本事件为AB、AC、AD 、 Ae、Af、BC、BD 、Be 、Bf、 CD、Ce、Cf、De 、Df、ef 共 15 种，这 2 人中必有女生的基本事件为Ae、 Af、Be、Bf、Ce、Cf、De、Df、ef 共 9 种，故所求的概率为 P 【点评】本题考查了分层抽样法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题16 （13 分）已知函数 f（x ） sin（x+ ）sin xsin（ ）
25、cos（ ） （）求函数 f（x ）的最小正周期及单调递减区间；（）将函数 yf（x）的图象向左平移 个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x）的图象，若 g（） ，且 （） ，求 sin（ ）的值【分析】 （）利用诱导公式，二倍角、辅助角公式化简即可求函数 f（x）的最小正周期及单调递减区间；（）根据三角函数的平移变化规律求解 g（x） ，通过 g（） ，且 （） ，利用三角恒等式公式化简即可求 sin（ ）的值【解答】解：函数 f（x ） sin（x+ ）sin xsin（ ）cos（ ） 化简 f（x） cosxsinx（sin cosxco
26、s sinx） （cos cosx+sin sinx） sin2x（ cosx） 2+ sin2x cos2x sin2x sin2x + （ cos2x）第 17 页（共 24 页） sin2x cos2xsin（2x ） （）函数 f（x ）的最小正周期 T ；令 2x ，kZ得： x +k函数 f（x）的单调递减区间为 ， ， kZ（）函数 yf（x）的图象向左平移 个单位，可得 ysin（2x ） ；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 ysin（x+ ） ，即 g（x）sin（x+ ） ，可得 g（）sin（+ ） ，（ ） ，+ （， ）则 cos（+ ）
27、 ，那么：sin（ ）sin（ + ）sin（ + ）cos +cos（ + ）sin 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式化简函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握公式的变形应用属于中档题17 （13 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CC 1平面 ABC，ACBC ，D 在线段B1C1 上，B 1D3DC 1，AE3EC，AC BC CC 14（）求证：BCAC 1；（）求证：DE平面 A1ABB1；（）求直线 ED 与平面 C1CBB1 所成角的正弦值第 18 页（共 24 页）【分析】 （）推导出 BCCC 1，从而 BC平面 ACC1A1，由此能
28、证明 BCAC 1（）过 E 作 EFBC，交 AB 于 F，连结 B1F，过 F 作 FGEC，交 BC 于 G，连结B1G，则四边形 EFGC 是平行四边形，推导出四边形 EFB1D 是平行四边形，从而DEB 1F，由此能证明 DE 平面 A1ABB1；（）以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 ED 与平面 C1CBB1 所成角的正弦值【解答】证明：（）在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CC 1平面 ABC，ACBC ，BCCC 1，又 ACCC 1 C，BC平面 ACC1A1，AC 1平面 ACC1A1，BC
29、AC 1（）过 E 作 EFBC，交 AB 于 F，连结 B1F，过 F 作 FGEC，交 BC 于 G，连结B1G，则四边形 EFGC 是平行四边形，D 在线段 B1C1 上，B 1D3 DC1，AE3EC，ACBC CC 14C 1DCEFGBG1， EF DB1，四边形 EFB1D 是平行四边形，DEB 1F，DE平面 A1ABB1，B 1F平面 A1ABB1，DE平面 A1ABB1；解：（）以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，E（1，0，0） ，D（0，1，4） ，（1，1，4） ，平面 C1CBB1 的法向量 （1，0，0）
30、，第 19 页（共 24 页）设直线 ED 与平面 C1CBB1 所成角为 ，则 sin 直线 ED 与平面 C1CBB1 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18 （13 分）已知数列a n满足条件 a11，a 23，且 an+2（1） n（a n1）+2an+1， nN*（）求数列a n的通项公式；（）设 bn ，S n 为数列b n的前 n 项和，求证： Sn 【分析】 （）根据题意，由数列的递推公式，分 n 为奇数、n 为偶数 2 种情况讨论
31、，分析 an+2 与 an 的关系，综合即可得答案；（）根据题意，由（）的结论，分析可得 bn ，利用错位相减法分析可得Sn1 ，据此用分析法证明 Sn 即可得结论【解答】解：（）根据题意，数列a n满足 an+2（ 1） n（a n1）+2an+1，nN*第 20 页（共 24 页）当 n 为奇数时，a n+2（a n1）+2 an+1a n+2，又由 a11，则 ann，当 n 为偶数时，a n+2（a n1）+2 an+13a n，又由 a23，则 an（ ） n ，则 an ，（）证明：设 bn ，则 bn ；则 Sn + + + ，则有 Sn + + + ，可得： Sn +2（ +
32、+ ） ，变形可得：S n1 ，若证明 Sn 则需要证明 1 ，即证明 3n2 n+1， （n1）即证明 3n2 n1，显然成立；故有 Sn 【点评】本题考查数列的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式19 （14 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为 ，过椭圆的右焦点的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点（I）求椭圆的方程；（）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D，与直线 l 交于 N，当 时，求直线 l 的斜率的取值范围；（）在椭圆上是否存在定点 M，使得对任意斜率等于 且与椭圆交于 P、Q 两点的直第 21 页（
33、共 24 页）线（P、Q 两点均不在 x 轴上） ，都满足 kPM+kQM0（其中 kPM 为直线 PM 的斜率，k QM为直线 QM 的斜率）？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （I）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方程可得 a，b，c，即可得到所求椭圆方程；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，中点 N（x 0，y 0） ，设直线 AB：yk（x1） ，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、弦长公式和不等式的解法，即可得到所求斜率范围；（）在椭圆上假设存在定点 M，满足题意，可取直线 PQ 的方程为 y x，
34、代入椭圆方程解得交点 P，Q，可得直线 PM 和直线 QM 的斜率，再由椭圆方程可得 M 的坐标；下面证明任意斜率为 的直线与椭圆交于 P（x 3，y 3） ，Q（x 4，y 4） ，设直线方程为 y x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理即可得到定点 M 成立【解答】解：（I）椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，可得 e ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为 ，可得 b2c ，又 a2b 2c 2，解得 a2，b ，c1，则椭圆方程为 + 1；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，中点 N（x 0，y 0） ，设直线 AB：yk （x1）
35、，代入椭圆方程 3x2+4y212，可得（3+4k 2）x 28k 2x+4k2120，即有 x1+x2 ，x 1x2 ，可得中点 N（ ， ） ，AB 的垂直平分线的方程为 y+ （x ） ，第 22 页（共 24 页）可得 D（ ，0） ，弦长|AB| |x1x 2| ，|DN| ，由 ，可得 ，解得直线 l 的斜率范围是 k 1 或1k ；（）在椭圆上假设存在定点 M，满足题意，可取直线 PQ 的方程为 y x，代入椭圆方程 3x2+4y212 ，可得 P（ ， ） ，Q（ ， ） ，设 M（s，t） ，可得 kPM+kQM + 0，化简可得 2st3，又 + 1，解得 M（1， ）或
36、M（1， ） ，下面证明任意斜率为 的直线与椭圆交于 P（x 3，y 3） ，Q（x 4，y 4） ，设直线方程为 y x+m，代入椭圆方程可得 x2+mx+m230，可得 x3+x4 m，x 3x4m 23，先考虑 M（1， ） ，可得 kPM+kQM +第 23 页（共 24 页） +1+ + 1+（m1）1+（m1） 1 0，同理可得 M（1， ） ，也有 kPM+kQM0 成立综上可得，椭圆上存在定点 M（1， ）或 M（1， ） ，使得 kPM+kQM0 成立【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的运用，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，直线的斜率公式，考查存
37、在性问题解法，注意先取特殊直线求得定点，再验证，考查化简整理的运算能力，属于难题20 （14 分）已知函数 f（x ）ln （x+a） ，其中 aR，且 a0（）求 f（x）的单调区间；（）若 f（x） 0 恒成立，求 a 的取值范围；（）若存在ax 10，x 20，使得 f（x 1）f （x 2）0，求证：x 1+x20【分析】 （）先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于 0 从而确定出函数f（x）的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域；（）讨论 a0，取 xe a，证明不合题意；a0，令 h（x） f（x） ，求出导数和单调区间，可得所求范围；（）设 g（x）f（x）f
38、（x ） ，求得导数 g（x） ，判断符号，然后利用单调性，问题得以证明【解答】解：（）f（x ）定义域为（a，+） ，其导数 f（x） ，当 a 0 时， f（x ）0，函数 f（x）在（a，+）上是增函数；当 a 0 时，在区间（ a，0）上，f（x）0；在区间（ 0，+）上，f （x）0，f（x）在区间（ a，0）上是增函数，在（0，+）是减函数；第 24 页（共 24 页）（）当 a0 时，则 x 取适当的数能使 f（x） ，比如取 xea，能使 f（ea） 1 （ea）2 1 （ea） ，a0 不合题意；当 a0 时，令 h（x） f （x） ，则 h（x） ln（x+a） ，问题化
39、为求 h（x）0 恒成立时 a 的取值范围由于 h（x） ，在区间（a， ）上，h（x）0；在区间（ ，+）上，h（x）0，h（x）的最小值为 h（ ） ，所以只需 h（ ）0，即 （ ）ln（ +a） 0，ln 1，0a ；（）证明：由于 f（x ）0 存在两个异号实根 x1，x 2，ax 10，x 20，构造函数：g（x）f（x）f（x ） ，ax0，g（x）ln（ ax）ln（ x+a）+ ，g（x） + 0，g（x）在ax 0 为减函数，又ax 10，g（x 1）g（0）0，f（x）f（x ）0，f（x 1）0，f（x 1） 0f（x 2） ，x 1+x20【点评】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度
