专题2.7函数的图像_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(含解析)
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1、第二篇 函数及其性质专题 2.07 函数的图象【考试要求】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.【知识梳理】1.利用描点法作函数的图象步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3) 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4) 列表( 尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x) 的图象 yf (x)的图象; 关 于 x轴 对 称 yf(x) 的
2、图象 yf (x) 的图象; 关 于 y轴 对 称 yf(x) 的图象 yf (x)的图象; 关 于 原 点 对 称 ya x(a0,且 a1)的图象 ylog ax(a0,且 a1)的图象. 关 于 直 线 y x对 称 (3)伸缩变换yf(x) yf (ax). 纵 坐 标 不 变 各 点 横 坐 标 变 为 原 来 的 1a(a0)倍yf(x) yAf(x). 横 坐 标 不 变 各 点 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A(A0)倍(4)翻折变换yf(x) 的图象 y| f(x)|的图象; x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变yf(x) 的图象 yf
3、 (|x|)的图象. y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ,右 侧 不 变【微点提醒】记住几个重要结论(1)函数 yf(x)与 yf(2 ax )的图象关于直线 xa 对称.(2)函数 yf(x)与 y2bf(2 ax )的图象关于点(a,b) 中心对称.(3)若函数 yf(x )对定义域内任意自变量 x 满足:f (ax ) f(ax),则函数 yf(x) 的图象关于直线 xa 对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)函数 yf(1x )的图象,可由 yf (x )的图象向左平移 1 个单位得到.( )(2)函数 yf(x
4、)的图象关于 y 轴对称即函数 yf (x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称.( )(3)当 x(0,)时,函数 yf (|x|)的图象与 y| f(x)|的图象相同.( )(4)若函数 yf(x )满足 f(1x )f(1x),则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)yf(x )的图象向左平移 1 个单位得到 yf(1x) ,故(1)错.(2)两种说法有本质不同,前者为函数的图象自身关于 y 轴对称,后者是两个函数的图象关于 y 轴对称,故(2)错.(3)令 f(x)x,当 x(0 ,) 时,y |f(x)|x ,yf(|
5、x|)x,两函数图象不同,故(3) 错.【教材衍化】2.(必修 1P24A7 改编)下列图象是函数 y 的图象的是( )x2,x0 时,函数 g(x)log f(x)有意义,由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 时,x(2,8.2【考点聚焦】考点一 作函数的图象【例 1】 作出下列函数的图象:(1)y ;(2)y|log 2(x1)|;(12)|x| (3)yx 22|x| 1.【答案】见解析【解析】(1)先作出 y 的图象,保留 y 图象中 x0的部分,再作出 y 的图象中 x0 部分关于(12)x (12)x (12)x y 轴的对称部分,即得 y 的图象,如图实线部分 .(12)|x
6、| (2)将函数 ylog 2x 的图象向左平移一个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可得到函数y|log 2(x1)| 的图象,如图.(3)y 且函数为偶函数,先用描点法作出0,)上的图象,再根据对称性作出x2 2x 1,x0,x2 2x 1,x0,排除 A;当 x 时,y1,排除 B,选项 D 满足.法二 当 x1 时,f(1) 11sin 12sin 12,排除 A,C;又当 x 时,y,排除 B,而 D满足.(2)f(x)2x 2e |x|,x 2,2 是偶函数,又 f(2)8e 2(0,1),排除选项 A,B ;当 x0时,f(x)2x 2e x,f(x)4xe x,
7、所以 f(0)10,所以函数 f(x)在(0,2)上有解,故函数 f(x)在0,2上不单调,排除 C,故选 D.【规律方法】 1.抓住函数的性质,定性分析:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2) 从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.2.抓住函数的特征,定量计算:从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练 2】 (2018浙江卷)函数 y2 |x|sin 2x 的图象可能是( )【答案】 D【解析】 设 f(x)2 |x|sin 2x,其定义域为 R 且关于
8、坐标原点对称,又 f(x)2 |x| sin(2x) f (x),所以yf(x) 是奇函数,故排除选项 A,B;令 f(x)0,所以 sin 2x0,所以 2xk(kZ),即 x (kZ),故k2排除选项 C.故选 D.考点三 函数图象的应用 角度 1 研究函数的性质【例 31】 已知函数 f(x)x| x|2x,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数,递增区间是 (0,)B.f(x)是偶函数,递减区间是(,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是 (,0)【答案】 C【解析】 将函数 f(x)x|x| 2x 去掉绝对值得f(x) x2 2x,x0,
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