1、专题 17 平面向量与其它知识点综合一、本专题要特别小心：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二 【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题三 【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几
2、何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算
3、得到数量积 ab 0，尽量用坐标运算.四 【题型方法】（一）向量与三角形的综合例 1.在 ABC中，已知 sin:si1:2ABC，且12ABCS，则 BCA的值是（ ）A2 B 2C 2D 2【答案】C【解析】在 中，设内角 ,A所对边为 ,abc，根据正弦定理，可知 sinisinabcABC,已知 i:sni1:2BC，所以 :1:2abc，显然 ABC是等腰三角形，即 ,2， 2ACSb，因此有1,abc，所以 cos()cos()cos()2424ABCBbabb，故本题选 C.练习 1. 已知 ， 6A， 3C， N是边 B上的点，且 NC， O为 AB的外心，ANO的值为（ ）A
4、8 B10 C18 D9【答案】D【解析】因为 2NC，所以 2ANBAN，因此123ABC；取 AB， 中点分别为 ,DE，则 O， EC；因此218O，219A所以26333NABCBO.故选 D练习 2.已知向量 sin,cosmACA， ，, sin2mB.且 AC、 、 分别是VABC的三边 abc、 、 所对的角.（1）求 ；（2）若 4， ，求 VABC的面积.【答案】 （1） 3B（2）【解析】 （1） mnsicosinsi2AB， sin2icosBB为 C的内角，则 0,0， co1，13（2）由余弦定理，得：22cosacbB，即：22cs3ac24ac， ，22()1
5、6， 41sini32ABCSs练习 3. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 , ,=2（1）求角 的大小；（2）若 在 边上，且 ， ，且 ，求 ,=2=0 =26.=43 |2+|2【答案】 （1） ；（2）9.23【解析】 （1）因为 acosB-c= ，2由正弦定理得：sinAcosB-sinc= ，所以 sinAcosB-（sinAcos B+cosAsinB）= ，12 12所以 cosA=- ，又 0A，故 A= 12 23（2）由 b-c=2 ，a=4 ，A= ，由余弦定理得：（4 ） 2=b2+c2-2bccos ，6 323 3 23即 b2+c2+bc=48，又 b-c
6、=2 ，所以 b2+c2=40，bc=8，6又 M、D 在 BC 边上，且 =2 ， =0，所以 2 = ， +所以 4 2= 2 2 =b2+c2-bc=32，所以 2=8，+2 由三角形面积公式得：= | ，12| 12|所以| |= =1，所以| |2=1，所以| |2+| |2=9，故答案为： 98 3243 （二）向量几何意义的灵活应用例 2. 设 O、A、B 是平面内不共线的三点，记 ，若 P 为线段 AB 垂直平分线上任意一点，=， =且 当 时,则 等于 （ ）=， |=2,|=1 ()A B C D3 052 32【答案】D【解析】设 是线段 的中点， 根据题意，得 +， ，
7、() (+) +与 互相垂直 因此 ， =0, () 又 中， 是 边上的中线 12(+) =12(+)=12(+)()=12(22)| 2， | 1，() =12(2212) 32.故选：D练习 1. 如图， 是边长为 2 的等边三角形，点 分别是 的中点. , ,（）连接 并延长到点 ，使得 ，求 的值; =2|（）若点 为边 上的动点， 多长时， 最小，并求最小值 | 【答案】 （） 见解析|=192 （ ）【解析】() 如图，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系， , ,则(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(12, 32) ，设 ，=(12, 32)
8、(,)=2,(12, 32)=2(12, 32)=34， =334， =(34,334)=+=(1,0)+(34,334)=(74,334)|=192()设 ，=(1,3)=(,3),(01)设 ，得(,),=,(+1,)=(,3) (1,3)则=(1, 3),=(32,32 3)=(1, 3)(32,32 3)=424+32=4(12)2+12当 时， 取最小值，此时=12 |=1练习 2. 如图在AOB 中，D 是边 OB 的中点，C 是边 OA 上靠近 O 的三等分点，AD 与 BC 交于 M 点设= ， = （1）用 ， 表示 ； （2）过点 M 的直线与边 OA，OB 分别交于 E，
9、F设 =p ， =p ，求 + 的值12【答案】(1) 5.=15+25.(2)【解析】 （1）设 ，=+则 ， ，=(1)+=(1)+=+12 三点共线， 共线，从而, ,12(x1)=y又 C，M，B 三点共线， 共线，同理可得BM， BC13(y1)=x联立，解得 ，故 =15=25 OM=15+25（2） .=15+25=(15)+25= 共线， ，整理得 , (15p)q=25p 1p+2q=5练习 3. 如图,M 是矩形 ABCD 的边 CD 上的一点,AC 与 BM 交于点 N,BN= BM.23(1)求证:M 是 CD 的中点;(2)若 AB=2,BC=1,H 是 BM 上异于
10、点 B 的一动点,求 的最小值.【答案】 （1）见解析；（2）0【解析】(1)设 =m =n ,由题意知 )= +m )= ,=23=23(+23(23+23又 +n +n( )=(1-n) +n ,=+=+ =m ,即 M 是 CD 的中点 .23=1-,23=, 解得 =12,=13. =12(2)AB=2,BC=1,M 是 CD 的中点, MB= ,ABM=45,2 =( ) =-( ) =- -| |2+=-| | |cos(180-ABH)-| |2 =| | |cos 45-| |2 = |-| |2=- ,2|(|- 22)2+12又 0354实数 的取值范围是 ( 354 ,+
11、)练习 2. 已知向量 ，函数 ，=( 3,1),=(,21)()=+12（1）若 ，求 的值；0,4,()=33 2（2）在 中，角 对边分别是 ，且满足 ，当 B 取最大值时， ， , , 22 3 =1面积为 ，求 的值34 +【答案】 （1） （2）22+36 +=2【解析】 （1）向量 ，=( 3,1),=(,21)则：函数 = = = ()=+12 3+21+12 322122sin(26)因为 ，所以 ，0， 4， ()=33 266,3， (26)=33所以 ， = = ，(26)=63 2=(26)6(26)6+(26)6 22+36（2）在 中，角 对边分别是 ， , ,且
12、满足 ，整理得： 22 322+222 2 3整理得： ，所以： ，=2+222 32 00,0)以 AC 为直径的半圆方程为 ，(4)2+2=16(0,0)设 ， ， ， ，(2+2,2) (4+4,4) 00254=12+(12)(22)又 ， ，1=1+2 2=2+2所以 .=12+212=(2+1)12=5综上， 为定值 5.（） =12+12=(2+1)12+2(1+2)+4=(2+1) 51+2+2 61+2+4=1221+2+9=1.2=2=2所以直线 的方程为 或 . =2+2 = 2+2（五）向量与圆锥曲线综合例 5. 已知椭圆 ， 为其左、右焦点, 为椭圆 上除长轴端点外的
13、任一点， 为:22+22=1(0)1,2 内一点，满足 , 的内心为 ，且有 （其中 为实数） ，则椭圆 的离12 3=1+212 =12 心率 =_【答案】12【解析】设 ， ，(0,0) 3=1+2=2 ，G 为 的重心， G 点坐标为 =23 12 (03,03) ， 轴，I 的纵坐标为 =12 03在 中， ， 12 |1|+|2|=2,|12|=212=12|12|0|又 I 为 的内心， I 的纵坐标 即为内切圆半径1203由于 I 把 分为三个底分别为 的三边，高为内切圆半径 的小三角形，12 1203 ，12=12(|1|+|12|+|2|)|03| 12|12|0|=12(|
14、1|+|12|+|2|)|03|即 ， ，122|0|=12(2+2)|03| 2=椭圆 C 的离心率 =12练习 1. 已知椭圆 2:(0)xyab的右焦点为 F，离心率为32，且椭圆 C的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为 5（1）求椭圆 C的标准方程；（2）已知点 ,PQ是直线 xt上的不同两点，点 P为椭圆 C上一点，若点 ,PQ满足 2OPQ，点 M在直线 23上，且 2OM，直线 l过点 Q且垂直于直线 M，其中 为坐标原点，求证：点 F在直线 l上【答案】(1) 214xy(2)见证明【解析】 （1）设椭圆 C的焦距为 2c，因为椭圆 的离心率为3，所以3a，即 2ca，又 2
15、2bc，所以1ba，因为椭圆 的上顶点到椭圆 的左、右顶点的距离之和为 5，所以 5a，即221()5a，解得 2a，所以 1b，故椭圆 C的标准方程为214xy（2）由题可设 1,Pty， (,)Qt， (3,)Mm，显然 12y，因为 2O，即 0OPQ，所以 121(,)(0,)tyy，即 2121()(yy，即 21y因为 QM，所以 ,(3,ttm ，即 ,)(3,)2ttm，所以 11(23)()ttym，即2114y，因为点 P在椭圆 C上，所以214ty，即21t，所以 1326ty，由（1）可知 (3,0)F，则 (3,)Q，所以 1 126230QOMtymty，所以 ，所以直线 与直线 OM垂直，故点 F在直线 l上
