2020年中考数学一轮复习课件圆的性质及与圆有关的位置关系共261张
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1、中考数学 (安徽专用),第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系,1.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD 的长为 .,A组 中考题组,解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2. CBA=45,CDAB, CB= CD,CD= .,答案,解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键.,2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,A
2、C分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,3.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上 方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连
3、线垂直于AB),求 点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.30.66,cos 41.30.75,tan 41.30.88),解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直 线的距离即为线段CD的长.在RtAOD中,AD= AB=3,OAD=41.3, OD=ADtan 41.330.88=2.64,OA= =4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. (10分),思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的长,再通过解三
4、角形,求得AO和 OD的长,从而求出点C到弦AB所在直线的距离.,4.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (4分)(2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的
5、长为 . (10分),思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得 = ,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE的长.,5.(2015安徽,20,10分)在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC上,点Q在O上,且OPPQ. (1)如图1,当PQAB时,求PQ长; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.,解析 (1)OPPQ,PQAB,OPAB. 在RtOPB中,OP=OBtanABC=3tan 30= . (3分) 如图,连接OQ,在RtOPQ中,PQ= = = . (5分) (2)PQ2=OQ2-OP2=9-OP2, 当OP
6、最小时,PQ最大.此时,OPBC. (7分) OP=OBsinABC=3sin 30= . PQ长的最大值为 = . (10分),思路分析 (1)先在RtOPB中求出OP,连接OQ,再在RtOPQ中求出PQ;(2)因为OQ的长为定值3,所以当 OP最小时PQ最大,易知OPBC时OP最小,由此可求出PQ长的最大值.,方法指导 解决此类题目,需把动态问题转化为静态问题求解,先对点在运动变化过程中相伴随的数量关 系、图形位置关系等进行观察研究,然后画出大致图形,结合图形找出运动过程中的特殊点,代入求解即可.,考点一 圆的有关概念及性质,B组 20152019年全国中考题组,1.(2019吉林,5,2
7、分)如图,在O中, 所对的圆周角ACB=50,若P为 上一点,AOP=55,则POB的度 数为 ( )A.30 B.45 C.55 D.60,答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B.,2.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C 是 的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 ( )A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m,答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设
8、OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.,思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出.,3.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连 接BD,则DBC的大小为 ( )A.15 B.25 C.35 D.45,答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50, 根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50
9、,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,4.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( )A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP,C=30,AOB=60, OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5. PB=AB=OA=OP,OBAP, AP=2ABcos 30=25cos 30=25 =5 .故选D.,5.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点, = .若AOB=58,则BDC= 度.,答案 29,解析 连接OC(图略), = ,A
10、OB=BOC=58,又点D在圆上,BDC= BOC=29.,思路分析 连接OC,由 与 相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是其所对圆心角 的一半即可求得BDC的度数.,6.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,ABC=120,弦AC=2 ,弦BM平分ABC交AC 于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2)求证:AB+BC=BM.,解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC= ABC=60. 易知ACM=ABM=60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC, AO=CO,AOC=2AMC=120
11、, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=CH= AC= . 在RtAOH中,cosOAH= , 即 = ,AO=2. O的半径为2. (4分),(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形, CE=CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60. ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC=BM. (10分),7.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交 CE的延长线
12、于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求O的半径.,解析 (1)证明:BD是O的切线,OBD=90. CEOA,ACE=90. OBA+EBD=A+AEC=90. OA=OB,A=OBA, EBD=AEC. 又AEC=BED,BED=EBD,DB=DE. (2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6.过点D作DMAB于点M, DE=DB,BM= BE=3, 在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4. 易证OBE=BDM, 又BEO=DMB, RtOBERtBDM, = , OB= .,8.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的
13、直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH=1,OHD= 80,求BDE的大小.,解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF,F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1
14、)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1. 在RtABC中,AB= ,tanACB= = , ACB=60,CAB=30. 从而BC= AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20.,一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且 = =1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=D
15、H=1,AB= , CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x), 解得x=20,即BDE=20.,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( )A.55 B.70 C.110 D.125,答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP
16、=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B.,方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.,2.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等 于 ( )A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40
17、,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=O- DA+OAD=80.,3.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂 线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( )A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC,POD PBC, = , = ,PA=4,故选A.,思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外
18、一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB =90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,BD是直径,DCB=90, 又CAB=90,ABC=CBD, CABDCB, = ,即 = , BC= =2 .,5.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是O的直径,点C在O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若D=40,则BEC= 度.,答案 115,解析 如图,连接OC,AC,CD是O的切线,DCO=90, 1=90-D=50. OA=OC,2= (180-1)=65. BEC=180-2=18
19、0-65=115.,6.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作O,O 分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .,答案,解析 如图,连接OF.FG为O的切线,OFFG. RtABC中,D为AB中点, CD=BD,DCB=B. OC=OF,OCF=OFC,CFO=B, OFBD,ABFG.,O为CD的中点,F为BC的中点, CF BF BC 4. RtABC中,AB= =10, sin B= = , 在RtBGF中,FG=BFsin B 4 .,思路分析 连接OF,得OFFG,由
20、OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,所以OFBD,所以AB FG.在RtABC中求出sin B,再在RtBFG中,利用FG=BFsin B求得FG.,7.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A, D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. (1)求证:BC是O的切线; (2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长; (3)若BE=8,sin B= ,求DG的长.,解析 (1)证明:如图,连接OD. AD为BAC的平分线,BAD=CAD, OA=OD,ODA=OAD, ODA=
21、CAD,ODAC. 又C=90,ODC=90, ODBC,BC是O的切线. (2)连接DF. 由(1)可知,BC为O的切线. FDC=DAF,CDA=CFD, AFD=ADB, 又BAD=DAF,ABDADF, = ,AD2=ABAF,AD2=xy,AD= .(3)连接EF. 在RtBOD中,sin B= = , 设圆的半径为r, = , r=5,AE=10,AB=18.,AE是直径,AFE=90,又C=90, EFBC,AEF=B, sinAEF= = , AF=AEsinAEF=10 = , AFOD, = = = , DG= AD, AD= = = , DG= = .,思路分析 (1)连
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