1、基础巩固练( 一)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019江西九校高三联考)已知集合 A 0，Bx |ylg (2x1)，x|1 xx则 A B( )A(0,1 B0,1C. D.(12，1 (12， )答案 C解析 集合 A 0x|0 ，x|1 xx x| 12AB ca Ba cbCbac Da bc答案 D解析 因为 a2 0.1201,0ln 1bc.故选 D.4(2019安庆高三上学
2、期期末)函数 f(x) 的部分图象大致是 ( )x sinx|x| 1答案 B解析 函数 f(x)的定义域是 R，关于原点对称，且 f(x) x sinx| x| 1f (x)，函数 f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D，当x sinx|x| 1x0 时，f(x) 1 1，排除 A，故选 B.x sinxx 1 x 1 sinx 1x 1 sinx 1x 15(2019厦门科技中学高三开学考试)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”如图，已知直线 x 2 交抛物线 y24x 于 A，B 两点，点
3、A，B 在 y 轴上的射影分别为 D，C ，从长方形 ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A. B. C. D.12 13 23 25答案 B解析 在抛物线 y24x 中，取 x2，可得 y2 ，S 矩形 ABCD8 ，由2 2阿基米德理论可得弓形面积为 4 2 ，则阴影部分的面积为 S843 12 2 1623 .由几何概型的概率计算公式可得，点位于阴影部分的概率为21623 823 .故选 B.82382 136(2019北京高考 )设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是AB AC “| | |”的( )AB AC BC A充分而不必要
4、条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 因为点 A，B，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知 ，所以| | |等价于| | |，因模为正，故不BC AC AB AB AC BC AB AC AC AB 等号两边平方得 2 22| | |cos 2 22| | |cos(为 与AB AC AB AC AC AB AC AB AB 的夹角) ，整理得 4| | |cos0，故 cos0，即 为锐角又以上推理过AC AB AC 程可逆，所以“ 与 的夹角为锐角”是“| | |”的充分必要条AB AC AB AC BC 件故选 C.7(2019北京北大附中一模)
5、已知平面区域 ：Error!夹在两条斜率为 的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距34离为 m.若点 P(x，y)，则 zmx y 的最小值为( )A. B3 C. D695 245答案 A解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分，平面区域 夹在两条斜率为 的平行直线之间，且两条平行直线间的最34短距离为 m，则 m .令 zmx y xy ，则 y xz，由|32 18|5 125 125 125图可知，当直线 y x z 过 B(2,3)时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值125为 3 .故选 A.245 958(2019济南市一模 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
6、为( )A80 B48 C32 D16答案 B解析 根据三视图可知原几何体为四棱锥PABCD，ABBC4， PC3，其表面积为44 34 34 45 4548.故选 B.12 12 12 129(2019绍兴市适应性试卷)袋中有 m 个红球，n 个白球，p 个黑球(5nm1，p4)，从中任取 1 个球(每个球取到的机会均等)，设 1 表示取出红球个数， 2 表示取出白球个数，则( )AE( 1)E(2)，D( 1)D(2)BE( 1)E(2)，D( 1)D(2)DE( 1)0 ， b0)的一个焦点 F 与抛x2a2 y2b2物线 C2：y 22px (p0)的焦点相同，它们交于 A，B 两点，
7、且直线 AB 过点 F，则双曲线 C1 的离心率为( )A. B. C. 1 D22 3 2答案 C解析 抛物线 C2：y 22px( p0)的焦点为 ，由题意可得 c ，即(p2，0) p2p2c，由直线 AB 过点 F，结合对称性可得 AB 垂直于 x 轴，令 xc ，代入双曲线的方程，可得 y ，即有 2p4c，由 b2c 2a 2，可得b2a 2b2ac22aca 20，由 e ，可得 e22e10，解得 e1 (负值舍去)，故ca 2选 C.12(2019四川省泸州市二诊)已知函数 f(x)(e xa)(xa 2)(aR)，则满足 f(x)0 恒成立的 a 的取值个数为 ( )A0
8、B1 C2 D3答案 B解析 f( x)(e xa)(xa 2)0，当 a0 时，f(x )(e xa)(xa 2)0 化为 exx0，则 x0，与 xR 矛盾；当 a0 时，e xa0，则 xa 20，得 xa 2，与 xR 矛盾；当 a0 时，令 f(x)0，得 xln a 或 xa 2，要使 f(x)0 恒成立，则a 2ln a，作出函数 g(a)a 2与 h(a)ln a 的图象如图，由图可知，a 的取值个数为 1 个故选 B.第卷 (非选择题，共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019济南市 3 月模拟)已知平面向量 a，b 满足 a(
9、1， )，3|b| 3，a(a b) ，则 a 与 b 夹角的余弦值为_ 答案 23解析 a(1， )，|a| 2.3 12 32a(ab) ，a(ab)0，即 a2ab0.设 a，b 之间的夹角为 ，则 |a|2|a| b|cos0，423cos0，cos .2314(2019广东省百校联盟联考)在 6 的二项展开式中含 x4 项的系(x 1x 1)数为_答案 21解析 6C 6C 5C 4，故该二项展(x 1x 1) 06(x 1x) 16(x 1x) 26(x 1x)开式中含 x4项的系数为 C C C C 21.06 16 26 0415(2019辽宁省辽南协作体一模)ABC 的内角
10、A，B ，C 的对边分别为a，b，c，且 ABC 的面积为 ，若 6cosAcosC1，b3，则b23sinBABC _.答案 3解析 ABC 的面积为 acsinB，b23sinB 12b2 acsin2B，32由正弦定理可得，sin 2B sinAsinCsin2B，32sinAsinC ，236cosAcosC1，可得 cosAcosC ，16cosABCcos( AC)cos( AC)sinAsinCcosAcosC .23 16 12ABC(0，)，ABC .316(2019昆明高三质量检测)经过抛物线 E：y 2 4x 的焦点 F 的直线 l 与E 相交于 A， B 两点，与 E
11、的准线交于点 C.若点 A 位于第一象限，且 B 是 AC的中点，则直线 l 的斜率等于_答案 2 2解析 解法一：如图，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 P，D，过B 作 AP 的垂线，垂足为 M，根据抛物线的定义及题中条件知|AM|PM|BD|.设|BD|m，则| AP|AF |2m，| BF|m，|AM| m ，所以在 RtABM 中，|AB|AF|BF |3m，所以 cosBAM ，所以 kltanBAM2 .13 2解法二：如图，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 P，D，过 B 作AP 的垂线，垂足为 M，根据抛物线的定义及题中条件知|AM| PM|BD|.根据抛物线
12、中焦点弦的性质知， 1 1|BD |1|AF| 1|BF| 2p 1|AF| 1|BF| 1|AP| 1|BD| 12|BD| 1|BD| 32|BD| 32，所以|AF|AP|2|BD |3，| AB| 3 ，32 92|BM| 3 ，(92)2 (32)2 2所以 kltanBAM 2 .3232 2三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 江苏高考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c .(1)若
13、a3c，b ，cosB ，求 c 的值；223(2)若 ，求 sin 的值sinAa cosB2b (B 2)解 (1)因为 a3c ，b ，cos B ，223由余弦定理，得 cosB ，a2 c2 b22ac即 ，解得 c2 .所以 c .23 3c2 c2 2223cc 13 33(2)因为 ，sinAa cosB2b由正弦定理 ，得 ，asinA bsinB cosB2b sinBb所以 cosB2sinB.从而 cos2B (2sinB)2，即 cos2B4(1cos 2B)，故 cos2B .45因为 sinB0，所以 cosB 2sinB0，从而 cosB .255因此 sin
14、cos B .(B 2) 25518(本小题满分 12 分)(2019 朝阳二模)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播比赛现场有 5 名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照7,8)，8,9) ，9,10分组，绘成频率分布直方图如下：专家 A B C D E评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7(1)求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于 9 的概率；(2)从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9
15、分的人数；从场外观众中随机选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数，试求E(X)与 E(Y)的值；(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数 作为该选手的最终得分x方案二：分别计算专家评分的平均数 1 和观众评分的平均数 2，用x x作为该选手最终得分x1 x22请直接写出 与 的大小关系xx1 x22解 (1)由题图知 a0.3，某场外观众评分不小于 9 的概率是 .12(2)X 的可能取值为 2,3.P(X2) ，P (X3) .C24C1C35 35 C34C35 25所以 X 的分布列为X 2 3P 35 25所以 E(X
16、)2 3 .35 25 125由题意可知，Y B ，所以 E(Y)np .(3，12) 32(3) b0)的离心率是 ，过点 P(0，1) 作斜率为 k 的直线 l，椭圆 Ex2a2 y2b2 53与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时|AB| 3 .3(1)求椭圆 E 的方程；(2)当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M(m,0)，使得AMB 是以 AB 为底的等腰三角形，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由解 (1)由已知椭圆过点 ，可得Error!(332，1)解得 a29，b 24，所以椭圆 E 的方程为 1.x29 y24(2)设 A(x1，y
17、 1)，B (x2，y 2)，AB 的中点 C(x0，y 0)，由Error!消去 y 得(49k 2)x218kx 270，显然 0，且x1x 2 ， 18k4 9k2所以 x0 ，y 0kx 01 .x1 x22 9k4 9k2 44 9k2当 k0 时，设过点 C 且与 l 垂直的直线方程为y ，1k(x 9k4 9k2) 44 9k2将 M(m,0)代入，得 m .54k 9k若 k0，则 9k2 12，4k 4k9k若 k0 时，令 f(x )ln a，令 f( x)0，得 x0 时，f (x)的最大值为 aln aa，无最小值(3)证明：要证 f(x)x，即证(a1)x e x，令
18、 F(x)e x(a1) x，当 a1 时，F( x)e x0，(a1)xe x成立；当 1ln (a1)时，F(x)0，F(x)在区间 (，ln (a1) 上单调递减，在区间(ln (a1) ，)上单调递增，F(x) F(ln (a1)e ln (a1) (a1)ln (a1)( a1)1ln (a1) 10,1ln (a1) 1 ln (1e) 10，F(x) 0，即 (a1)xe x成立，故原不等式成立(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019福建漳州第二次质量监测)在
19、直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数) ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin .(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0,02)解 (1)曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，转换为直角坐标方程为(x 2)2( y4) 24，转换为极坐标方程为 2 4cos8 sin160.(2)曲线 C2的极坐标方程为 4sin.转换为直角坐标方程为 x2y 24y0，所以Error!整理出公共弦的直线方程为 xy 40，故Error!解得Error!或 Error
20、!所以 C1与 C2交点的极坐标为 ， .(22，4) (4，2)23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019福建漳州第二次质量监测)已知 f(x)| xa|( aR)(1)若 f(x)|2 x1|的解集为0,2，求 a 的值；(2)若对任意 xR，不等式 f(x)|xa| 3a2 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)不等式 f(x)|2x 1|，即|xa| |2x1|，两边平方整理，得 3x2(2 a4) x1a 20，由题意知 0 和 2 是方程 3x2(2a4) x1a 20 的两个实数根，即Error!解得 a1.(2)因为 f(x)|x a|xa| |xa|( xa)(xa)|2|a|，所以要使不等式 f(x)|x a|3a2 恒成立，只需 2|a|3a2，当 a0 时，不等式化为 2a3a2，得 0a2；当 a0 时，不等式化为2a3a2，得 a0.综上所述，a 的取值范围是(，2
