1、,八年级 上册,新课标（RJ）,数 学,第十四章 整式的乘法与因式分解,章末复习,第十四章 整式的乘法与因式分解,章末复习,知识框架,归纳整合,素养提升,中考链接,知识框架,同底数幂 的乘法,幂的乘方,积的乘方,aman=am+n(m, n都是正整数),(ab)n=anbn (n为正整数),(am )n=amn(m, n都是正整数),整式乘法,单项式与单项式相乘,单项式与多项式相乘,多项式与多项式相乘,整式除法,同底数幂的除法,a man=am-n (a0, m, n都是正整数,并且mn),a0=1(a0),乘法公式,平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b2,完全平方公式： (ab)2
2、=a22ab+b2,因式分解,提公因式法,公式法,平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式： a22ab+b2=(ab)2,【要点指导】幂的运算的关键是指数的处理, 熟练掌握幂的运算性质, 才能灵活运用其解决问题. 幂的运算性质：(1)a m a n =am+n (m, n都是正整数)；(2)(a m ) n=amn (m,n都是正整数)；(3)(ab) n=an b n (n为正整数)；(4)a man=am-n (a0, m, n都是正整数,并且mn).,归纳整合,专题一 幂的运算,例1 下列运算正确的是( ). Aa2a3=a6 B(-a 3)2=-a6 C(ab)2
3、=ab2 D2a3a=2a 2,D,分析,相关题1-1 下列计算正确的是( ). Ax 4 x 4=x16 B(a3)2 a 4=a9 C (ab 2 ) 3 (-ab) 2 =-ab 4 D(a 6 ) 2(a4 ) 3=1,D,相关题1-2 下列计算正确的是( ). Aaa2=a2 B(ab) 3=ab3 C(a2) 3=a6 Da 10a2=a5,C,【要点指导】乘法公式是整式运算的重要内容, 应用极为广泛, 初中阶段学的乘法公式是最常用的乘法公式. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 完全平方公式：(a+b) 2=a2 +2ab+b2与(a-b) 2=a2-2ab+b2.运
4、用乘法公式进行多项式的运算与化简时, 要结合题目特点及幂的运算性质等灵活解决.,专题二 乘法公式的运用,例2 已知(a+b)2=7, (a-b)2=4, 求a2+b2 , ab的值.,解 由题意, 得a 2 +2ab+b 2 =7, a 2 -2ab+b 2 =4, 由+, 得2(a 2+b2 )=11, a 2+b2 = . 由-, 得4ab=3, ab= .,相关题2 茂名中考 计算： (1)(2x-3y)2； (2)(x+y)(x+y)(x2+y2)； (3)(x+y)2-(x-y)2.,解 (1)(2x3y)24x212xy9y2. (2)(xy)(xy)(x2y2)(x22xyy2)
5、(x2y2)(x2y2)22xy(x2y2)x42x2y2y42x3y2xy3. (3)解法一：原式x22xyy2(x22xyy2)x22xyy2x22xyy24xy. 解法二：原式(xyxy)(xyxy)4xy.,【要点指导】幂的运算性质、平方差公式、完全平方公式以及整式的运算法则、因式分解等都可以简化运算, 也可以解决某些求值问题, 要学会灵活运用它们进行简便运算或求值.,专题三 运用公式进行简便运算,例3 请用简便方法计算： (1)8.2201.9+4.6201.9-2.8201.9；(2),相关题3 用简便方法计算： (1)53524-465 2 4； (2)1012 -210199+
6、992.,解 (1)5352446524 4(53524652) 4(535465)(535465) 4100070 280 000.,(2)1012210199992 (10199)2 22 4.,【要点指导】在化简求值的过程中, 可根据算式特点灵活运用乘法公式及因式分解进行变形, 转化运算顺序, 使复杂的问题变得简单易解.,专题四 整式的化简求值,例4 先化简, 再求值：(a+b)(a-b)+a(2b-a), 其中a=1.5, b=-2.,解 (a+b)(a-b)+a(2b-a)=a 2-b2 +2ab-a 2=-b2 +2ab.把a=1.5, b=-2代入上式, 得原式=-(-2) 2
7、+21.5(-2)=-4-6=-10.,相关题4 福州中考先化简, 再求值：(x+2) 2 +x(2-x), 其中x= ,【要点指导】常用的因式分解方法有两种：一是提公因式法, 二是公式法. 其中提公因式法是最基本的方法, 因此在因式分解时, 若多项式有公因式, 则应先提取公因式, 再考虑用其他方法分解. 若多项式是二项式, 则考虑利用提公因式或运用平方差公式来分解；若多项式是三项式,则考虑利用提公因式或完全平方公式来分解. 最后检查分解是否彻底.,专题五 因式分解的运用技巧,例5 将下列各式分解因式： (1)-3x2+6xy-3y2； (2)4xy2-4x2y-y3； (3)(a 2 +1)
8、2-4a(a2 +1)+4a2； (4)(x 2+y2)2-4x2y2.,分析,解 (1)-3x 2 +6xy-3y 2 =-3(x 2 -2xy+y 2 )=-3(x-y) 2 . (2)4xy 2 -4x 2 y-y 3 =-y(4x2 -4xy+y 2 )=-y(2x-y) 2 . (3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a 2=(a2 +1-2a) 2 =(a2-2a+1) 2 =(a-1) 2 2 =(a-1) 4 . (4)(x 2+y2 ) 2-4x2 y 2=(x2+y2 +2xy)(x 2+y2 -2xy)=(x+y) 2 (x-y) 2 .,相关题5 把下列各式分解因式：
9、 (1)0.49p2-144； (2)(2x+y)2-(x+2y)2； (3)y2+y+ ； (4)(m+n)2 -4m(m+n)+4m 2,解 (1)0.49p2144 (0.7p)2122 (0.7p12)(0.7p12) (2)(2xy)2(x2y)2 (2xy)(x2y)(2xy)(x2y) (3x3y)(xy) 3(xy)(xy),素养提升,【要点指导】在求某个式子的值时, 由已知条件无法直接求出所含字母的值或求所含字母的值比较麻烦时, 可将所求的式子或已知条件适当变形, 整体代入求值. 把一个式子作为一个整体参与运算的过程, 是整体思想方法在本章中运用的体现.,专题一 整体思想在化
10、简求值中的应用,例1 已知x2-2x=1, 求(x-1)(3x+1)-(x+1)2的值.,分析 先化简所求式, 再把x2-2x=1两边同乘2整体代入.,相关题 1-1 已知a+b=3,ab=-2,则 (a+1)(b+1)=_, a2+ab+ b2=_ .,2,相关题 1-2 菏泽中考已知4x=3y, 求(x-2y) 2 -(x-y)(x+y)-2y 2的值.,解：(x2y)2(xy)(xy)2y2x24xy4y2(x2y2)2y24xy3y2y(4x3y) 4x3y，原式0.,【要点指导】数形结合思想就是把数和形结合起来考查, 把图形性质的问题转化为数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化为
11、图形性质的问题, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 化难为易, 获得简便解决问题的方法,专题二 利用数形结合解决问题,例2 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图14-Z-1所示). 如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1, 直角三角形的两直角边分别为a, b, 那么(a+b) 2 的值是_.,25,分析 由图14-Z-1可知, 小正方形的边长恰好是两直角边的差, 则 小正方形的面积为(a-b) 2 =1, 而大正方形的面积与小正方形的面积之差恰好是4个直角三角形的面积, 即4 ab=13-1=12. 又(a-b) 2
12、=a2 -2ab+b 2 ,(a+b) 2=a2 +2ab+b 2 , 则(a+b) 2 =(a-b) 2 +4ab=1+46=25.,解：(1)(2ab)(a2b)2a25ab2b2. (2)如图所示：,中考链接,母题1 (教材P104习题14.1第1题) 下面的计算对不对？如果不对, 应当怎样改正？ (1)b 3 b 3 =2b3 ； (2)x 4 x 4=x16 ； (3)(a 5 ) 2=a7 ； (4)(a 3 ) 2 a 4=a9 ； (5)(ab 2 ) 3 =ab 6 ； (6)(-2a)2 =-4a 2 .,考点：同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项
13、. 考情：幂的运算性质是中考的热点考题, 难度不大, 但是容易混淆出错. 策略：正确理解同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项的法则.,链接1 盘锦中考下列运算正确的是( ). A3x+4y=7xy B(-a) 3 a 2=a5 C(x3y)5=x8y5 Dm 10m7=m3,D,分析 A项, 3x, 4y不是同类项, 不能合并, 此选项错误； B项, (-a) 3 a 2=-a5 , 此选项错误； C项, (x 3y) 5=x15 y 5 , 此选项错误； D项, m 10 m 7=m3 , 此选项正确.,母题2 (教材P105习题14.1第7题) 求值：x 2 (x
14、-1)-x(x 2 +x-1), 其中x=,考点：整式的加、减、乘、除、乘方等运算法则和运算顺序. 考情：整式的化简求值是中考中重要的考点, 常以解答题的形式出现. 策略：(1)先化简, 后求值；(2)先算乘方, 再算乘除, 最后算加减；(3)同一级运算, 按从左到右的顺序进行；(4)如有括号, 先算括号里的运算, 一般按照小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.,链接2 吉林中考某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)时出现了错误, 他的解答过程如下： 原式=a 2 +2ab-(a 2-b2 ) (第一步) =a2 +2ab-a 2-b2 (第二步) =2ab-b2. (第三步) (1)
15、该同学的解答过程从第_步开始出现错误, 错误原因是_； (2)请写出正确的解答过程.,二,去括号时括号内的第二项没有变号,(2)原式=a2+2ab-(a2-b2) =a2 +2ab-a 2+b2 =2ab+b2.,母题3 (教材P112习题14.2第4题) 先化简, 再求值： (2x+3y) 2 -(2x+y)(2x-y), 其中x=,考点：乘法公式. 考情：利用乘法公式计算求值,多用于求图形面积与多项式的值. 策略：熟练掌握乘法公式及其变化形式, 并能灵活运用乘法公式对式子进行恒等变形.,链接3 泉州中考若a,b是正数, a-b=1,ab=2,则a+b=( ). A-3 B3 C3 D9,B
16、,C,分析 方法一：按照图形剪拼的方法, 观察探索出剩余部分拼成的长方形一边长为3, 另一相邻边的长是由原正方形的边长m+3与剪出的正方形的边长m的和, 即(m+3)+m=2m+3 方法二：设拼成的长方形另一相邻边长为x,则3x=(m+3) 2-m2 , 解得x=2m+3,母题4 (教材P119习题14.3第5题) 分解因式： (1)(a-b)2 +4ab； (2)(p-4)(p+1)+3p； (3)4xy2-4x2y-y3 ； (4)3ax2 -3ay2.,考点：因式分解的方法. 考情：因式分解的概念与方法是中考的重要考点, 分值不大, 难度较小, 多以选择题或填空题的形式出现. 策略：熟练
17、掌握提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式).,链接5 菏泽中考 分解因式：3a 2 -12ab+12b2=_.,3(a-2b) 2,链接6 宿迁中考已知实数a, b满足ab=1,a+b=2, 求式子a 2 b+ ab 2 的值,解 原式=ab(a+b). 当ab=1, a+b=2时, 原式=12=2.,母题5 (教材P122活动1) 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： 1515=12100+25=225, 2525=23100+25=625, 3535=34100+25=1225, 你能写出一般的规律吗？你能用本章所学知 识证明你的结论吗？,考点：整式的运算法则. 考情：规律探究型问题是中考重要题型, 创新性强, 是近几年中考的热点. 策略：根据试验操作猜想规律, 最后得出更一般的结论.,链接7 岳阳中考图14-Z-4中各圆中的三个数字之间都有相同的规律, 据此规律, 第n个圆中, m=_(用含n的式子表示).,9n2-1,分析 24=8, 57=35, 810=80, , 由2, 5, 8, 知第n个数为2+3(n-1), 由4, 7, 10, 知第n个数为4+3(n-1), 第n个圆中, m=2+3(n-1)4+3(n-1)=(3n-1)(3n+1)=9n2 -1,谢 谢 观 看！,
