1、第 1 页 共 17 页北师大版八年级数学上第四章一次函数导学案知识点：函数的概念定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量 ，此时也称 y 是 x 的函数例 1：求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1) ； (2) 2x 2x例 2：圆柱底面半径为 5cm，则圆柱的体积 V（cm 3）与圆柱的高 h（cm）之间的函数关系式为 ，它是 函数知识点：一次函数的概念定义：一次函数：若两个变量 x、y 间的关系可以表示成 （k、b 为常数，k0）形式，则称 y 是 x 的一次函数（ x
2、 是自变量，y 是因变量） 特别地，当 b0 时，称 y 是 x 的_正比例函数是一次函数的特殊情况例 1：有下列函数：yx2；y ；yx 2（x +1）(x2)；y2，2x其中不是一次函数的是 （填序号）例 2：要使 y（m 2）x n1 n 是关于 x 的一次函数，则 m、n 应满足_例 3：已知 y=(k1) 是正比例函数，则 k= 【变式练习】1、若函数 y = (k1)x k 21 是正比例函数，则 k 的值为（ ）A0 B1 C 1 D12、若 是正比例函数，则 b 的值是（ ）3bA. 0 B. C. D. 223323.下列关于 x 的函数中，是一次函数的是（ ）221.3()
3、.y=+x1Cy=- D(3)-第 2 页 共 17 页考点：正比例函数的图象和性质例 1 已知正比例函数 y = kx ( k0 ) 的图象过第二、四象限，则（ ）Ay 随 x 的增大而减小 By 随 x 的增大而增大C当 x0 时，y 随 x 的增大而减小D不论 x 如何变化，y 不变例 2 已知 是正比例函数，且 y 随 x 的增大而减小，则 m 的值为_.32)1(m【变式练习】1、正比例函数 ，当 m 时，y 随 x 的增大而增大.(35)yx2、函数 y = (k 1)x ，y 随 x 增大而减小，则 k 的范围是 ( )A. B. C. D.0111考点：一次函数的图象和性质 第
4、 3 页 共 17 页总结：一次函数的图象一次函数 y=kx+b 的图象是经过点(0 ，b)，（ ，0）的一条直线k正比例函数 y=kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如下表所示例 1：已知函数 y=(m3) x ，当 m_时，y 随 x 的增大而增大；当 m_时，y 随32x 的增大而减小例 2：已知正比例函数 y=(3k1)x，y 随着 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（ ）Ak 0 Ck 113第 4 页 共 17 页OYX例 3：如图，表示一次函数 ymxn与正比例函数 ymnx（ ， 为常数，且 mn0）图象的是（ ）【变式练习】1、两个一次函数 y1= mxn，y 2
5、= nxm，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）2、已知函数 ，当 时，y 的取值范围是（ ）21xy1xA. B. C. D.355253y253y3、若关于 x 的函数 是一次函数，则 m= ，n .1()mynx4、若 m 0，则一次函数 y= mx + n 的图象不经过（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限考点：直线的平移:例 1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象y2x 与 y2x3 观察 y2x 与 y2x3 两条直线，它们有什么样的位置关系? 请回答：两条直线 与 平行，那么 _ ， _1bk2bkxy1k21b2直线的平移: 左“+”右“”
6、，上 “+”下“”bkxy向左（右）平移 p 个单位 bpxky)(向上（下）平移 p 个单位 xyxy xyxyCD第 5 页 共 17 页点的平移同样按照“左+ 右 ，上+下 ”平移几个单位就加上或者减去几例 2：直线 y2x 与直线 y2x4 的位置关系是_函数 y2x4 图象可以由函数 y2x 的图象向_平移_个单位得到【变式练习】1、下列说法是否正确，为什么? （1）直线 y = 3x1 与 y =3x 1 平行；（2）直线 与 重合；22（3）直线 y=x 3 与 y=x 平行；（4）直线 与 相交.115.02、将直线 y3x 向下平移 5 个单位，得到直线 ；将直线 yx5 向
7、上平移 5 个单位，得到直线 .考点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入： （1）设一次函数表达式为 y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组） ；（3）求出 k 与 b 的值；（4）将 k、b 的值带入 y=kx+b，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（1，3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0） ，由题意可知， 解 此函数的关系式为 y= ,321k.35,4b 354x例 1：已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解析式为多少? 第 6 页 共 17 页例 2：已知弹簧的长度 y
8、（厘米）在一定的限度内是所挂物质量 x（千克）的一次函数现已测得不挂重物时弹簧的长度是 6 厘米，挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度是 7.2 厘米，求这个一次函数的关系式例 3：一次函数 y3x b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24，求 b.例 4. 若一次函数 y=kx+b 的图象经过（0，1）和（1，3）两点，则此函数的解析式为_. 例 5、若正比例函数 y = kx 的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_. 例 6. 直线 y2x 8 与 x 轴和 y 轴的交点的坐标分别是_、_.例 7、已知一次函数的图象经过 A(2，3) ，B(1，3)两点 .(1)求这个一次函数的
9、解析式；(2)试判断点 P(1，1)是否在这个一次函数的图象上；(3)求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积.【变式练习】1. 油箱中存油 20 升，油从油箱中均匀流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间 t(分钟）的函数关系是（ ）第 7 页 共 17 页AQ0.2t BQ 200.2t Ct=0.2Q Dt=200.2Q2. 若正比例函数的图象经过（l ，5）那么这个函数的表达式为_，y 的值随 x 的减小而_3. 若一次函数 y=kx3 经过点(3，0) ，则 k= ，该图象还经过点( 0， ）和（ ，2）4. 一某市市内出租车行程在 4km 以内（含
10、4km）收起步费 8 元，行驶超过 4km 时，每超过 1 km，加收 180 元，当行程超出 4km 时收费 y 元与所行里程 x(km）之间的函数关系式 5. 小李以每千克 0.8 元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价 0.4 元，全部售完销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图 l63 所示，那么小李赚了（ ）A32 元 B36 元 C38 元 D44 元6. 直线 y= x 4 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B， O 为原点，则 AOB 的面积为（ ）43A12 B24 C6 D107.一次函数的图象如图 l6 42 所示，那么这个一
11、次函数的表达式是（ ）Ay 2x2 By2x2 Cy 2x 2 Dy2x2 考点：一次函数的应用例 1. 如果每盒圆珠笔有 12 支，售价 6 元，那么圆珠笔的售价 y（元）与圆珠笔的支数 x(支）之间的关系式是（ ）Ay= x By =2x Cy=6x Dy=12 x12例 2. 幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量 C（件）关于时间 t（月）的函数图象如图l643 所示，则该工厂对这种产品来说（ ）A1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4、5 两月每月生产总量逐月减小Bl 月至 3 月生产总量逐月增加，4、5 两月生产总量与 3 月持平Cl 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4、
12、5 两月均停止生产Dl 月至 3 月每月生产总量不变，4、5 两月均停止生产例 3. 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回设汽车从甲地出发 x(h)时，汽车与甲地的距离为 y(km)，y 与 x 的函数关系如图所示根据图像信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同? 请说明理由；(2)求返程中 y 与 x 之间的函数表达式；(3)求这辆汽车从甲地出发 4h 时与甲地的距离第 8 页 共 17 页【变式练习】1、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为 300 米小军先走了一段路程，爸爸才开始出发图 l644 中两条线段分别表示小军和爸爸离开山
13、脚登山的路程 S(米）与登山所用的时间 t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时） 根据图象，下列说法错误的是（ ）A爸爸登山时，小军已走了 50 米 B爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前面C小军比爸爸晚到山顶D爸爸前 10 分钟登山的速度比小军慢， 10 分钟后登山的速度比小军快2. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发. 该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量 x(度) 与相应电费 y(元)之间的函数图像如图所示. 月用电量为 100 度时，应交电费 元； 当 x100 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； 月用电量为 260 度时，应交电费多少
14、元?基础练习1. 下列函数是一次函数的是 y=2x；y=3+4x；y=0.5；y=ax（a0 的常数） ；xy =3；2x+3y1=0；2. 若函数 y=(m2) x+5 是一次函数，则 m 满足的条件是_3已知 y 与 x1 成正比例，且 x=2 时，y7（1）写出 y 与 x 之间的函数关系：_；（2）y 与 x 之间是_函数关系4已知一次函数 ykx5 的图象经过点（1，2） ，则 k_，图象不经过_象限6.如果直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，那么有（ ）Ak 0，b 0 Bk 0，b0 Ck 0，b0 Dk0，b07. 已知函数：y= x，y=73x，y=3x1，y =3x2，
15、y= ，y= 中，正比例函数有（ x3 3x第 9 页 共 17 页）A B C D8 （1）当 m= 时，y = 是一次函数 mx12（2）我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2 滴水，每滴水约 0.05 毫升李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开 x小时后水龙头滴了 y 毫升水则 y 与 x 之间的函数关系式是 （4）设圆的面积为 s，半径为 R，那么下列说法正确的是（ ）AS 是 R 的一次函数 BS 是 R 的正比例函数 CS 是 的正比例函数 D以上说法都不正确29已知一次函数 y=(m2) xm m 4 的图象经过点（0，2），则
16、 m 的值是( )A2 B2 C2 或 3 D310直线 y=x +2 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 直线 y=x1 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 直线 y=4x2 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 直线 y= 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 312. 在下列四个函数中， y的值随 值的增大而减小的是（ ） 2 36 25x 37yx13、直线 和 的位置关系是 ，直线 可以521,1xyxyy112看作是直线 向 平移 个单位得到的14. 将直线 y2x 3 向下平移 5 个单位，得到直线 15. 直线 ykx4 平行
17、于直线 y2x ，则直线 的解析式为 ；4ykx16电话每台月租费 28 元，市区内电话（三分钟以内）每次 0.20 元，若某台电话每次通话均不超过 3 分钟，则每月应缴费 y（元）与市内电话通话次数 x 之间的函数关系式是（ ）Ay 28x0.20 By 0.20x 28x Cy0.20x28 Dy280.20x17某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果 x（千克）与销售的金额 y 元的关系如下表：x（千克） 1 2 3 4 5 y（元） 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 第 10 页 共 17 页（1）写出 y 与 x 的函数关系式：_；（2）该商贩要想使
18、销售的金额达到 250 元，至少需要卖出多少千克的苹果? 18如图 24，某游客为爬上 3 千米的山顶看日出，先用 1 小时爬了 2 千米，休息 0.5 小时后，再用 1 小时爬上山顶，游客爬山所用时间 t（小时）与山高 h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）19一次函数 的图象与 y 轴的交点坐标是_，与 x 轴的交点坐标是321xy_一般的，一次函数 ykxb 与 y 轴的交点坐标是_，与 x 轴的交点坐标是_20依据给定的条件，求一次函数的解析式（1）已知一次函数的图象如图 45 所示，求此一次函数的解析式，并判断点（6，5）是否在此函数图象上图 45（2）已知一次函数 y2x b 的
19、图象与 y 轴的交点到 x 轴的距离是 4，求其函数解析式21依据给定的条件，求一次函数解析式：yax7 经过一次函数 y43x 和 y2x1 的交点第 11 页 共 17 页22、已知函数 ykxby的 图 象 与 轴交点的纵坐标为 5，且当 x=1 时，y=2，则此函数的解析式。23. 已知 y1 与 成正比例，且 x2 时，y 5，写出 y 与 x 之间的函数关系式。x24如图 34，居室窗户的高 90cm，活动窗拉开的最大距离是 80cm如果活动窗拉开 xcm 时，窗户的通风面积是 ycm2（1）试确定这个函数的解析式并指出自变量 x 的取值范围；（2）画出这个函数的图象图 3425某
20、班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：砝码的质量( x 克) 0 50 100 150 200 250 300 400 500指针位置( y 厘米 ) 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5（1）求出 y 与 x 的函数关系式；第 12 页 共 17 页（2）y 关于 x 的函数图象是（ ）图 6526气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空 11km 处，每升高 1km，气温下降 6高于 11km 时，气温几乎不再变化，设地面的气温为 38，高空中 xkm 的气温为 y当0x11 时，求 y 与 x 之间的关系式27我国很多城市水资源缺
21、乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水 4 吨以内（包括 4吨）和用水 4 吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格） ，某用户每月应交水费 y（元）是用水量 x（吨）的函数，其函数图象如图 66 所示（1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；（2）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；（3）若某用户该月交水费 12.8 元，求该户用了多少吨水图 66提高练习第 13 页 共 17 页xyO 32a1ykb第 2 题图图(1)2O 5 xA BCPD图(2)第 9 题图1一次函数的图象过点 A（5，3）且平行于直线 y=3x ，则这个函数的解析式为_.212. 一次函数 与
22、 的图象如图，则下列结论：1ykxb2yxa ； ；当 时， 中，正确的个数是( )0ka12yA0 B1 C2 D33已知一次函数图象经过点（2，3） ，且与 y 轴交点的纵坐标为 4，则这个函数的表达式是_4、一束光线从 y 轴上点 A（0，1）出发，经过 x 轴上点 C 反射后经过点 B（3，3） ，则光线从 A 点到 B 点经过的路线长是 ；直线 BC 的解析式为 5. 若 ab0，bc0，则直线 y= x 不通过（ ）ab cbA.第一象限 B.第一象限 C.第三象限 D.第四象限6. 已知一次函数 y= x+m 和 y= x+n 的图象都经过点 A（2，0）且与 y 轴分别交于 B
23、、C 两点，32 12那么ABC 的面积是（ ） A2 B3 C4 D67已知函数 的图象如图，则 的图象可能是( )ykxb2ykxb9. 如图(1)，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止设点 P 运动的路程为 ，ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函x数图象如图(2)所示，则BCD 的面积是( )A3 B4 C5 D610. 如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程 s (米)与时间 t (秒) 之间的函数关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD，下列说法正确的是 ( )A乙比甲先到终点B乙测试的速度随时间增加而增大
24、第 7 题图第 14 页 共 17 页1 2 3 412ysO 1 2 3 412ysO s 1 2 3 412ysO1 2 3 412yOA. B. C. D.Q PRM N(图 1) (图 2)4 9yxOC比赛到 29.4 秒时，两人出发后第一次相遇D比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快11. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是( )A12 分钟 B15 分钟 C25 分钟 D27 分钟
25、12、如右图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 AB的边上有一动点 P沿CDA运动一周，则 P的纵坐标 y与点 P走过的路程 s之间的函数关系用图象表示大致是( )13、如图 1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 MNPQRNP 方向运动至点 处停止设点 运动的路程为 ，Qx的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图 2 所示，则当R yx时，点 应运动到( )9xA 处 B 处 C 处 D 处NPQ14. 求函数 与 x 轴、 y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积 .32y15、已知两直线 y1=2x3，y 2=6x （1）在同一坐标系中作出它们的图象 （2）求它们
26、的交点 A 的第 15 页 共 17 页坐标 （3）根据图象指出 x 为何值时，y 1y 2；x 为何值时，y 1y 2 （4）求这两条直线与 x 轴所围成的ABC 的面积16、已知一次函数 y=kx+b 的图像经过点 A(0，2) 和点 B( a，3) 且点 B 在正比例函数 y=3x 的图像上.(1) 求 a 的值；(2) 求一次函数的解析式.17. 如图，直线 l1、l 2 相交于点 A，l 1 与 x 轴的交点坐标为( 1，0)，l 2 与 y 轴的交点坐标为(0，2)，结合图象解答下列问题：(1)求出直线 l2 表示的一次函数表达式；(2)当 x 为何值时，l 1、l 2 表示的两个
27、一次函数的函数值都大于 0?18. 已知直线 y=x2 与直线 y= x2 交于 C 点，直线 y= x+2 与 x 轴交点为 A，直线 y= x+223 23与 x 轴交点为 B求ABC 的面积第 16 页 共 17 页19有一长方形 AOBC 纸片放在如图 3-3 所示的坐标系中，且长方形的两边的比为 OA：AC 2：1.（1）求直线 OC 的解析式；（2）求出 x5 时，函数 y 的值；（3）求出 y5 时，自变量 x 的值；（4）画这个函数的图象；（5）根据图象回答，当 x 从 2 减小到3 时，y 的值是如何变化的? 图 3320如图 51，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为
28、指距某项研究表明，一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数下表是测得的指距与身高的数据：指距 d(cm) 20 22身高 h(cm) 160 178（1）求出 h 与 d 之间的函数关系式（不要求写出自变量 d 的取值范围） ；（2）某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是多少 ? 第 17 页 共 17 页图 5121某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量 V（万米 3）与污水处理时间 t（天）的关系如图 52 所示，（1）由图象求出剩余污水量 V（万米 3）与污水处理时间 t（天）之间的函数解析式；（2）污水处理连续 10 天，剩余污水还有多少万立方米? （3）按照图中的规律，若想将全部污水处理干净，需要连续处理污水多少天? （4）平均一天可处理污水多少万立方米? 图 52
