1、1 变化的快慢与变化率,第三章 变化率与导数,学习目标 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的平均变化率,观察图形，回答下列问题：,思考1 怎样理解从点A到点B自变量x的增量、函数值y的增量？,答案 (1)自变量的增量：用x表示，即xx2x1，表示自变量相对于x1的“增加量” (2)函数值的增量：用y表示，即yf(x2)f(x1)，也表示为f(x1x)f(x1)，表示函数值在x1的“增加量” (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值
2、的增量就是0.,思考2 函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？,答案 (1)yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然,梳理 函数的平均变化率的定义及作用 (1)定义：对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为 . 其中自变量的变化 称作自变量的改变量，记作 ，函数值的变化称作函数值的改变量，记作 .这样，函数的平均变
3、化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 . (2)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢,x2x1,x,f(x2)f(x1),y,知识点二 瞬时变化率,思考 瞬时速度与平均速度有何区别？,答案 瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢,梳理 瞬时变化率的定义及作用 (1)定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设,xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是,.而当 时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬,时变化率 (2)作用：刻画函数在 变化的快慢,x趋于0,一点处,思考辨析 判断正误 对
4、于函数yf(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记xx2x1，yf(x2)f(x1)，则 1.x可正，可负，可为零.( ),题型探究,类型一 函数的平均变化率,解答,例1 求函数yf(x)x2在x分别从1到1x,2到2x,3到3x的平均变化率，当x都为 时，哪一点附近的平均变化率最大？,解 在x1附近的平均变化率为,在x2附近的平均变化率为,在x3附近的平均变化率为,由于k1k20)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为sv0t gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度.,故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0gt0.,解答,反思与感悟 1.求瞬时速度的步骤 (1)
5、求位移改变量ss(t0t)s(t0).,(1)在表达式中，可把x作为一个数来参加运算.,跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,解答,解 质点M在t2时的瞬时速度即为函数s(t)在t2处的瞬时变化率. 质点M在t2附近的平均变化率,4a8，得a2.,达标检测,1.已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数 A.在x0处的变化率 B.在区间x0，x1上的平均变化率 C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对,答案,解析,1,2,3,4,5,2.一
6、物体的运动方程是s(t)32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2,1,2,3,4,5,答案,解析,3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)4t216t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为 A.t1 B.t2 C.t3 D.t4,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，,令8t0160，解得t02.,4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,5.设函数f(x)3x22在x01,2,3附近x取 时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小.,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解 函数在x0，x0x上的平均变化率为6x03x.,k16130.57.5；,k26230.513.5；,k36330.519.5，所以k1k2k3.,1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢. 2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.,规律与方法,
