1、2.2.1 双曲线及其标准方程,第二章 2.2 双曲线,学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 双曲线的定义,观察图形，思考下列问题：,答案 |MF1|MF2|常数(常数|F1F|或|F2F|)且0常数|F1F2|.,思考1 图中动点M的几何性质是什么？,答案 以F1或F2为端点的两条射线,思考2 若|MF1|MF2|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？,梳理 平面内到两个定点F1，F2的距离的 等于定值2a(大于0且小于|F1F
2、2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距,差的绝对值,双曲线的焦点,两焦点间的距离,知识点二 双曲线的标准方程,思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？,答案 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关,思考2 如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|OB|b吗？,答案 以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.,梳理,a2b2,思考辨析 判断正误 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两
3、定点间距离)的点的轨迹是双曲线( ),(3)在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.( ),题型探究,类型一 求双曲线的标准方程,解答,例1 求下列双曲线的标准方程,解得20或7(舍去)，,(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解答,解 因为双曲线经过点M(0,12)， 所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，所以c13，所以b2c2a225.,解答,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0),反思与感悟 待定系数法求方程的步骤 (1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式， 若不知
4、道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0),(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值 (4)结论：写出双曲线的标准方程,跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程,解答,解得a25或a230(舍),解答,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0),解答,类型二 双曲线的定义及应用,答案,4a2m,解析,解析 由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a. 又|AF2|BF2|AB|， 所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB| 4a2|AB|4a2m.,解析,答案,由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|
5、PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,引申探究 本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积,解答,解 由双曲线方程知a3，b4，c5， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36. 在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100. 将代入得|PF1|PF2|32，,反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一： 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|
6、PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；,特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系,跟踪训练2 已知双曲线的方程是 ，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点),解答,解 设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，,因为|PF1|PF2|2a8，|PF1|10，,解析,类型三 与双曲线有关的轨迹问题,答案,例3 已知圆C1
7、：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与 圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_,解析 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B， 根据两圆外切的条件 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|2， 这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且20且k20，3k2,答案,5.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a3，c4，焦点在x轴上；,1,2,3,4,5,解答,解 由题设知，a3，c4， 由c2a2b2，得b2c2a242327. 因为双曲线的焦点在x轴上，,(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6).,1,2,3,4,5,解答,解 由已知得c6，且焦点在y轴上， 因为点A(5,6)在双曲线上，,则a4，b2c2a2624220.,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,规律与方法,
