1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 317 页)A 组 基础对点练1已知点 A(0，2)，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，F 是椭圆 Ex2a2 y2b2 32的右焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l的方程解析：(1)设 F(c,0)，由条件知， ，得 c .2c 233 3又 ，所以 a2，b 2a 2c 21.ca 32故 E 的方程为 y 21.x24(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x 1， y1)，Q(x 2，y 2)，将 ykx
2、2 代入 y 21 得x24(14k 2)x216kx120.当 16(4k 23)0，即 k2 时，x 1,2 .34 8k24k2 34k2 1从而|PQ | |x1x 2| .k2 14k2 1 4k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d ，2k2 1所以OPQ 的面积 SOPQ d|PQ| .12 44k2 34k2 1设 t，则 t0，S OPQ .4k2 34tt2 4 4t 4t因为 t 4，当且仅当 t2，4t即 k 时等号成立，且满足 0，72所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y x2 或 y x2.72 722(2016高考北京卷 )已知椭圆 C： 1(
3、a b0)的离心率为 ，A (a,0)，x2a2 y2b2 32B(0，b)，O(0,0) ，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值解析：(1)由题意得 Error!解得 a2，b1.所以椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设 P(x0，y 0)，则 x 4y 4.20 20当 x00 时，直线 PA 的方程为y (x2)y0x0 2令 x0，得 yM ，2y0x0 2从而|BM|1y M| .|1 2y0x
4、0 2|直线 PB 的方程为 y x1.y0 1x0令 y0，得 xN ，x0y0 1从而|AN|2x N| .|2 x0y0 1|所以|AN|BM| |2 x0y0 1|1 2y0x0 2|x20 4y20 4x0y0 4x0 8y0 4x0y0 x0 2y0 2 | 4.|4x0y0 4x0 8y0 8x0y0 x0 2y0 2|当 x00 时， y01，|BM|2，| AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值3已知椭圆 E： 1 的右焦点为 F(c,0)且 abc0，设短轴的一个端点x2a2 y2b2为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为 ，过原点和 x 轴不重合的直
5、线与椭圆 E 相32交于 C，G 两点，且| | |4.GF CF (1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A，B 且使得24 成立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由OP PA PB 解析：(1)由椭圆的对称性知| | |2a4，GF CF a 2.又原点 O 到直线 DF 的距离为 ，32 ，bc ，bca 32 3又 a2b 2c 24，a bc0，b ，c1.3故椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件故可设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 l 的方程
6、为 yk(x 2)1，代入椭圆方程得(34k 2)x28k(2k 1)x16k 216k80，x1x 2 ，8k2k 13 4k2x1x2 ，16k2 16k 83 4k232(6k3)0，k .12 24 ，OP PA PB 即 4(x12)(x 22)( y1 1)(y21)5，4(x12)(x 22)(1k 2)5，即 4x1x22(x 1x 2)4(1k 2)5，4 (1k 2)4 5，解得 k ，16k2 16k 83 4k2 28k2k 13 4k2 4 4 4k23 4k2 12k 不符合题意，舍去，12存在满足条件的直线 l，其方程为 y x.124(2018广西柳州摸底 )已
7、知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点 P(4，a)到焦点的距离为 5.(1)求该抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线上一点 M(b,4)，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME，且MDME，判断直线 DE 是否过定点？并说明理由解析：(1)由题意设抛物线方程为 y22px(p0) ，其准线方程为 x ，p2P(4，a) 到焦点的距离等于 P 到准线的距离，4 5，p2.p2抛物线 C 的方程为 y24x.(2)由(1)可得点 M(4,4)，可得直线 DE 的斜率不为 0，设直线 DE 的方程为 xmyt，联立Error!得 y24my4t 0，则 16m 216t
8、0.(*)设 D(x1，y 1)，E(x 2，y 2)，则 y1y 24m，y 1y24t. (x 14，y 14)(x 24，y 24)MD ME x 1x24( x1x 2)16y 1y24(y 1y 2)16 4 16y 1y24( y1y 2)16y214y24 (y214 y24) (y 1y 2)23y 1y24(y 1y 2)32y1y2216t 216m 212t16m320，即 t212t3216m 216m，得(t6) 24(2m1) 2，t6 2(2m1) ，即 t4m8 或 t4m4，代入(*)式检验知 t4m8 满足 0，当 t4m4 时，直线 DE 过点 M，不合题
9、意，舍去直线 DE 的方程为 xmy4m8m( y4)8.直线过定点(8 ，4)B 组 能力提升练1(2017高考浙江卷 )如图，已知抛物线 x2y，点 A ，B ，抛物线( 12，14) (32，94)上的点 P(x，y) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.( 12 b0)，x2a2 y2b2则 e ，c 1，故 a22，b 21，ca 22椭圆 C 的标准方程为 y 21.x22(2)由(1)知 A(0,1)，当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC：xx 0，设 B(x0，y 0)，则 C(x0，y 0)，kABkAC ，不合题意，故直线 BC 的斜率存y0 1x0 y0 1x
10、0 1 y20x20 12x20x20 12 14在设直线 BC 的方程为 ykx m(m1)，并代入椭圆方程，得(1 2k2)x24kmx2(m 21)0，由 (4km )28(12k 2)(m21)0，得 2k2m 2 10.设 B(x1，y 1)，C(x 2，y 2)，则 x1，x 2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x 2 ，x 1x2 ，4km1 2k2 2m2 11 2k2由 kABkAC ，y1 1x1 y2 1x2 14得 4y1y24( y1y 2)4x 1x2，即(4k 21)x 1x24k (m1)(x 1x 2)4( m1) 20，整理得 (m1)(m3)0，又因为
11、 m1，所以 m3，此时直线 BC 的方程为 ykx3.所以直线 BC 恒过一定点(0,3)3(2017湘中名校联考 )如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： 1(ab0，y0)和y2a2 x2b2部分抛物线 C2：yx 21( y0)连接而成，C 1与 C2的公共点为 A，B，其中C1的离心率为 .32(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C 2分别交于点 P，Q(均异于点 A，B )，是否存在直线l，使得以 PQ 为直径的圆恰好过点 A？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)在 C1，C 2的方程中，令 y0，可得 b1，且 A(1,0)，B(1
12、,0)是上半椭圆 C1的左、右顶点设 C1的半焦距为 c，由 及 a2c 2b 21，ca 32得 a2，a 2，b1.(2)存在由(1)知，上半椭圆 C1的方程为 x 21( y0)易知，直线 l 与 x 轴y24不重合也不垂直，设其方程为 yk (x1)( k 0)，代入 C1的方程，整理得(k 24)x 22k 2xk 240.(*)设点 P 的坐标为( xP，y P)，直线 l 过点 B，x 1 是方程 (*)的一个根由根与系数的关系，得 xp ，从而 yp ， 点 P 的坐标为k2 4k2 4 8kk2 4.(k2 4k2 4， 8kk2 4)同理，由Error!得点 Q 的坐标为(
13、k 1，k 22k)以 PQ 为直径的圆恰好过点 A，APAQ， 0，即 k4(k2) 0.AP AQ 2k2k2 4k 0， k4(k 2)0，解得 k .83经检验，k 符合题意83故直线 l 的方程为 8x3y 80.4已知焦距为 2 的椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F1，上顶点为3x2a2 y2b2D，直线 DF1与椭圆 C 的另一个交点为 H，且|DF 1|7|F 1H|.(1)求椭圆的方程；(2)点 A 是椭圆 C 的右顶点，过点 B(1,0)且斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别交直线 x3 于 M，N 两点，线段 MN 的
14、中点为 P.记直线 PB 的斜率为 k，求证：kk为定值解析：(1)椭圆 C 的焦距为 2 ， F1( ，0)，又 D(0，b)，|DF 1|7|F 1H|，3 3点 H 的坐标为 ，( 837， b7)则 1，解得 a24，则 b2a 231，64349a2 149椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)证明：根据已知可设直线 l 的方程为 yk(x1)由Error!得(4k 21)x 28k 2x4k 240.设 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .直线 AE，AF 的方程8k24k2 1 4k2 44k2 1分别为y (x2)，y (x2)，y1x1 2 y2x2 2令 x3，则 M ， N ，(3，y1x1 2) (3，y2x2 2)P .(3，y1x2 2 y2x1 22x1 2x2 2 )kk k4 kx1 1x2 2 kx2 1x1 2x1 2x2 2 k24 2x1x2 3x1 x2 4x1x2 2x1 x2 4 k248k2 8 24k2 16k2 44k2 14k2 4 16k2 16k2 44k2 1 k24 44k2 .14
