1、考点规范练 24 等比数列及其前 n 项和一、基础巩固1.已知等比数列a n满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2= ( )14A.2 B.1 C. D.12 182.已知数列a n的前 n 项和 Sn=Aqn+B(q0),则“ A=-B”是“数列a n是等比数列”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设首项为 1,公比为 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn,则( )23A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an4.已知数列a n是等比数列,S n 为其前 n 项和,若 a1+a2+a3
2、=4,a4+a5+a6=8,则 S12=( )A.40 B.60 C.32 D.505.等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列 ,则a n前 6 项的和为( )A.-24 B.-3 C.3 D.86.设数列a n是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,S n 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为 . 7.若等差数列a n和等比数列b n满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = . 228.在等比数列a n中,a n0,a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3= . 9.在公差不为零的等差数列a n中,a 1=1,a2,
3、a4,a8 成等比数列 .(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,Tn=b1+b2+bn,求 Tn.210.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列 bn是等比数列,且 b1b2=b3,2b1=a5.(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)求数列|a n|的前 n 项和 Tn.11.在数列a n中,S n 为数列a n的前 n 项和,且 Sn=1+kan(k0,且 k1).(1)求 an;(2)当 k=-1 时,求 + 的值.21+22 2二、能力提升12.设等差数列a n的公差 d0,且 a2=-d,若 ak 是 a6 与 ak+6
4、 的等比中项,则 k=( )A.5 B.6 C.9 D.1113.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 an= Sn+2 成立.若 bn=log2an,则 b1 008=( )34A.2 017 B.2 016 C.2 015 D.2 01414.设等比数列a n满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an 的最大值为 . 15.在数列a n中,a 1=2,an+1= an(nN *).+12(1)证明:数列 是等比数列,并求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,若数列b n的前 n 项和是 Tn,求证:T n0,a20,a50,a60,a70,an0
5、.故当 n5 时,T n=Sn=10n-n2;当 n6 时,T n=2S5-Sn=n2-10n+50.于是 Tn=10-2,5,2-10+50,6.11.解 (1) S1=a1=1+ka1, a1= .11-又 an=Sn-Sn-1(n2), an= an-1(n2),-1 an= =- .11-(-1)-1 -1(-1)(2) 在数列a n中,a 1= ,q= , 是首项为 ,公比为 的等比数列.11- -1 2 (11-)2 (-1)2当 k=-1 时,等比数列 的首项为 ,公比为 ,2 14 14 + .21+22 2=141-(14)1-14=131-(14)12.C 解析 因为 ak
6、 是 a6 与 ak+6 的等比中项,所以 =a6ak+6.2又等差数列a n的公差 d0,且 a2=-d,所以a 2+(k-2)d2=(a2+4d)a2+(k+4)d,所以(k-3) 2=3(k+3),解得 k=9 或 k=0(舍去),故选 C.13.A 解析 在 an= Sn+2 中,令 n=1 得 a1=8,34 an= Sn+2 成立,34 an+1= Sn+1+2 成立,34两式相减得 an+1-an= an+1,34 an+1=4an,又 a10, 数列a n为等比数列, an=84n-1=22n+1, bn=log2an=2n+1, b1 008=2 017,故选 A.14.64
7、 解析 由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得 ,1+3(1+3)=105解得 q= ,a1=8,12所以 a1a2an=8n ,抛物线 f(n)=- n2+ n 的对称轴为 n=- =3.5,(12)1+2+(-1)=2-122+72 12 72 722(-12)又 nN *,所以当 n=3 或 n=4 时,a 1a2an 取最大值为 =26=64.2-1232+73215.证明 (1)由题设得 ,+1+1=12又 =2,11所以数列 是首项为 2,公比为 的等比数列, 12所以 =2 =22-n,an=n22-n= . (12)-1 42(2)由(1)知 bn
8、= ,4-= 424-42=12-1因为对任意 nN *,2n-12 n-1,所以 bn .12-1所以 Tn1+ + =2 2.12+122+123 12-1 (1-12)16.(1)证明 an+1=an+6an-1(n2), an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2) .又 a1=5,a2=5, a2+2a1=15, an+2an-10(n2), =3(n2),+1+2+2-1 数列a n+1+2an是以 15 为首项,3 为公比的等比数列.(2)解 由(1)得 an+1+2an=153n-1=53n,则 an+1=-2an+53n, an+1-3n+1=-2(an-3n).又 a1-3=2, an-3n0, an-3n是以 2 为首项,- 2 为公比的等比数列. an-3n=2(-2)n-1,即 an=2(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.
