1、考点规范练 36 立体几何中的向量方法一、基础巩固1.直线 l 的方向向量 s=(-1,1,1),平面 的法向量为 n=(2,x2+x,-x),若直线 l平面 ,则 x 的值为( )A.-2 B.- C. D.2 2 22.已知平面 的一个法向量为 n=(1,- ,0),则 y 轴与平面 所成的角的大小为( )3A. B. C. D.6 3 4 563. 如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,AB= ,AF=1,M 在 EF 上,且 AM 平面 BDE,则点 M 的坐标为( )2A.(1,1,1
2、) B.(23, 23,1)C. D.(22, 22,1) (24, 24,1)4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上,且 ,N 为 B1B 的中点,则| |为( )=121 A. a B. a C. a D. a216 66 156 1535. 如图,过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是( )A.30 B.45C.60 D.906.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.2
3、2 155 64 637.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影, P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC 所成的角为 . 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,且 =(2,-1,-4), =(4,2,0), =(-1,2,-1).对于结 论: APAB; APAD; 是平面 ABCD 的法向量; .其中正确的是 .(填序号) 9. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD底面ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 AB
4、CD 内的轨迹为 .(填序号) 10. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2, AC=CD= .5(1)求证:PD 平面 PAB.(2)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM平面 PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.11. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC= 90,E 是 PD 的中点.12(1)证明:直线 CE平面 PAB;(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45,求二面角 M-AB-
5、D 的余弦值.二、能力提升12. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC,则( )23 13A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直B.EFA 1D,EFACC.EF 与 BD1 相交D.EF 与 BD1 异面13. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面A1BD 所成的角为 ,则 sin 的取值范围是( )A.33,1B.63,1C.63,223D.223,114. 如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边
6、AB,二面角 C-AB-D 的余弦值为 ,M,N 分别是33AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值等于 . 15. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,BAC= 90,点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面 BDE;(2)求二面角 C-EM-N 的正弦值;(3)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ,求线段 AH 的长.721三、高考预测16. 如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形,平面 AEF平面 EFCB,EFBC,BC=4,
7、EF=2a,EBC=FCB=60,O 为 EF 的中点.(1)求证:AO BE;(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值 ;(3)若 BE平面 AOC,求 a 的值.考点规范练 36 立体几何中的向量方法1.D 解析 当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1 (x2+x)+1(-x)=0,解得 x= .22.B 解析 可知 y 轴的方向向量为 m=(0,1,0),设 y 轴与平面 所成的角为 ,则 sin =|cos|. cos= =- ,|=- 321 32 sin = , = .32 33.C 解析 设 M(x,x,1).由已知得 A( ,0),B(0, ,0),D( ,
8、0,0),E(0,0,1),则 =(x- ,x- ,1), =(2, 2 2 2 2 2 ,- ,0), =(0,- ,1).2 2 2设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c),则 ,即 2- 2=0,- 2+=0.解得 =,=2.令 b=1,则 n=(1,1, ).2又 AM平面 BDE,所以 n =0,即 2(x- )+ =0,得 x= .2 222所以 M .(22, 22,1)4.A 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N .(,2)设 M(x,y,z), 点 M 在 AC1 上,且 ,=121 (x-a,y,
9、z)= (-x,a-y,a-z).12 x= a,y= ,z= ,得 M .23 3 3 (23,3,3) | |=(-23)2+(-3)2+(2-3)2= a.2165.B 解析 (方法一)建立如图 所示的空间直角坐标系,不难求出平面 APB 与平面 PCD 的法向量分别为 n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角的余弦值为 ,故所求的二面12|1|2|=22角的大小是 45.图 图 (方法二) 将其补成正方体.如图 ,不难发现平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角就是平面 ABQP 和平面 CDPQ 所成的二面角,其大小为 45.6.C 解
10、析 取 B1C1 的中点 D1,以 A1 为原点,A 1D1,A1A 所在直线为 x 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 C1( ,1,0),A(0,0,2), =( ,1,-2),平面 BB1C1C 的一个法向量为 n=(1,0,0).3 1 3所以 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .|1|1|=38=647.30 解析 如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P .(0,-2,2)则 =(2a,0,0), =(a,a,0). =(-,-2,2
11、),设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos= .|= 222=12 =60, 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90-60=30.8. 解析 因为 =0, =0,所以 ABAP,ADAP,则 正确.又 不平行,与 所以 是平面 ABCD 的法向量,则 正确.因为 =(2,3,4), =(-1,2,-1),= 所以 不平行,故 错误 .与 9. 解析 以 D 为原点,DA,DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 M(x,y,0),设正方形边长为 a,则 P ,C(0,a,0),(2,0, 32)则 MC= ,2+(-)2MP=
12、.(-2)2+2+(- 32)2由 MP=MC,得 x=2y,所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y= x 的一部分.1210.(1)证明 因为平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,ABAD,AB平面 ABCD,所以 AB平面 PAD.所以 ABPD .又因为 PAPD,PAAB=A,所以 PD平面 PAB.(2)解 存在.取 AD 的中点 O,连接 PO,CO.因为 PA=PD,所以 POAD.又因为 PO平面 PAD,平面 PAD平面 ABCD,所以 PO平面 ABCD.因为 CO平面 ABCD,所以 POCO.因为 AC=CD,所以 COAD .故 P
13、O,CO,OA 两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0), C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).=(0,-1,1), =(2,1,0), =(0,1,1). 设平面 PCD 的一个法向量 n=(x,y,z),则 =0,=0,即 2+=0,+=0,令 x=1,得 y=-2,z=2.所以平面 PCD 的一个法向量 n=(1,-2,2).设 M 是棱 PA 上一点,则存在 0,1,使得 = ,因此点 M(0,1-,), =(-1,-,).因为 BM平面 PCD,所以要使 BM平面 PCD,当且仅当 n=0,即(-1,- ,)
14、(1,-2,2)=0,所以- 1+4=0,解得 = .所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM平面 PCD,此时 .14 =1411.(1)证明 取 PA 的中点 F,连接 EF,BF.因为 E 是 PD 的中点 ,所以 EFAD,EF= AD.12由BAD= ABC= 90得 BCAD,又 BC= AD,所以 EF BC,四边形 BCEF 是平行四边形,CEBF,12又 BF平面 PAB,CE平面 PAB,故 CE平面 PAB.(2)解 由已知得 BAAD,以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空 间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,
15、0,0),C(1,1,0),P(0,1, ), =(1,0,- ), =(1,0,0).3 3设 M(x,y,z)(0|=sin 45, ,|(-1)2+2+2=22即(x-1) 2+y2-z2=0. 又 M 在棱 PC 上,设 = ,则x=,y=1,z= . 3 3由 解得 (舍去),=1+22,=1,=- 62 =1- 22,=1,=62, 所以 M ,从而 .(1-22,1, 62) =(1- 22,1, 62)设 m=(x0,y0,z0)是平面 ABM 的法向量,则=0,=0,即 (2- 2)0+20+60=0,0=0, 所以可取 m=(0,- ,2).6于是 cos= .|=105因
16、此二面角 M-AB-D 的余弦值为 .10512.B 解析 以点 D 为坐标原点 ,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E ,F ,B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1), =(-1,1,0),(13,0,13) (23,13,0) 1 =(-1,-1,1),=(13,13,-13),1=- =0,从而 EFBD 1,EFA 1D,EFAC.故选 B.131,1=13.B 解析 以 D 为坐标原点 ,DA,DC,DD1
17、所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设 DC=DA=DD1=1,则 D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O ,并设点 P(0,1,t)且 0t1.(12,12,0)则 =(-1,0,-1), =(0,1,-1).=(-12,12,),1 1设平面 A1BD 的法向量为 n=(x0,y0,z0),则有 1=0,1=0,即 -0-0=0,0-0=0,取 x0=1,y0=-1,z0=-1, n=(1,-1,-1). sin =|cos|= (0t 1),|-1-|32+12 sin2= ,0t1.2+2+13(2+12)令 f(t)= ,0t
18、1,2+2+13(2+12)则 f(t)= =- ,22+-1-3(2+12)2 (2-1)(+1)3(2+12)2可知当 t 时,f (t)0;0,12)当 t 时,f(t)0.12,1又 f(0)= ,f =1,f(1)= ,23(12) 89 f(t)max=f =1,(12)f(t)min=f(0)= .23 sin 的最大值为 1,最小值为 .63 sin 的取值范围为 .63,114. 解析 过 C 点作 CO平面 ABDE,垂足为 O,取 AB 中点 F,连接 CF,OF,则CFO 为二面角 C-16AB-D 的平面角,设 AB=1,则 CF= ,OF=CFcos CFO= ,O
19、C= ,32 12 22则 O 为正方形 ABDE 的中心,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 E ,M ,(0,-22,0) (24,0, 24)A ,N ,(22,0,0) (0, 24, 24),=(24, 22, 24),=(- 22, 24, 24)cos= .,|=1615.解 如图,以 A 为原点,分别以 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.,依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明: =(0,2,0), =(2,0,-2),
20、设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则 =0,=0,即 2=0,2-2=0.不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1).又 =(1,2,-1),可得 n=0. 因为 MN平面 BDE,所以 MN平面 BDE.(2)易知 n1=(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量.设 n2=(x,y,z)为平面 EMN 的法向量,则 2=0,2=0.因为 =(0,-2,-1), =(1,2,-1), 所以 -2-=0,+2-=0.不妨设 y=1,可得 n2=(-4,1,-2).因此有 cos= =- ,12|1|2| 421于是 sin= .10521所以,二面角 C-EM-N 的正弦值为 .1
21、0521(3)依题意,设 AH=h(0h4),则 H(0,0,h),进而可得 =(-1,-2,h), =(-2,2,2). 由已知,得|cos |= ,|= |2-2|2+523=721整理得 10h2-21h+8=0,解得 h= 或 h= .85 12所以,线段 AH 的长为 .85或 1216.(1)证明 因为AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AOEF .又因为平面 AEF平面 EFCB,AO平面 AEF,所以 AO平面 EFCB,所以 AOBE.(2)解 取 BC 中点 G,连接 OG.由题设知 EFCB 是等腰梯形,所以 OGEF.由(1)知 AO平面 EFCB,又 O
22、G平面 EFCB,所以 OAOG.如图建立空间直角坐标系 Oxyz,则 E(a,0,0),A(0,0, a),3B(2, (2-a),0), =(-a,0, a), =(a-2, (a-2),0).3 3 3设平面 AEB 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,即 -+3=0,(-2)+3(-2)=0.令 z=1,则 x= ,y=-1.3于是 n=( ,-1,1).3平面 AEF 的一个法向量为 p=(0,1,0).所以 cos = =- .| 55由题知二面角 F-AE-B 为钝角 ,所以它的余弦值为- .55(3)解 因为 BE平面 AOC,所以 BEOC,即 =0.因为 =(a-2, (a-2),0), =(-2, (2-a),0), 3 3所以 =-2(a-2)-3(a-2)2.由 =0 及 0a2,解得 a= .43
