人教A版高中数学选修1-1学案:2.3.1 抛物线及其标准方程
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1、2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点 1 抛物线的定义把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.【预习评价】 (正确的打“”,错误的打“”)(1)若点 P 到点 F(1,0) 的距离和直线 x2 的距离相等,则点 P 的轨迹是抛物线.( )(2)若点 P 到点 F(1,0) 的距离和直线 xy10 的距离相等,则点 P 的轨迹是抛物线.( )(3)若点 P 到点 F(1,0) 的距离比到直线 x2 的距
2、离小 1,则点 P 的轨迹是抛物线.( )提示 (1)由抛物线的定义可知(1) 正确.(2)由于定点 F(1,0)在直线 xy10 上,所以点 P 的轨迹不是抛物线,即(2)错误.(3)由题意知点 P 到点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等,故点 P 的轨迹是抛物线,(3)正确.答案 (1) (2) (3)知识点 2 抛物线标准方程的几种形式图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y2 2px(p0) (p2,0)xp2y2 2px(p0) ( p2,0)xp2x2 2py(p0) (0,p2)yp2x2 2py(p0) (0, p2)yp2【预习评价】准线为 x1 的抛物线的标准方程为
3、 _.解析 由题知抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上, 1,即 p2,故抛物线的方p2程 y24x答案 y 2 4x题型一 求抛物线的标准方程【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(2,0);(2)准线为 y1;(3)过点 A(2,3);(4)焦点到准线的距离为 .52解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上,且 2,p2p4,抛物线的标准方程为 y28x .(2)焦点在 y 轴正半轴上,且 1,p2p2,抛物线的标准方程为 x24y .(3)由题意,抛物线方程可设为 y2mx(m0)或 x2ny(n0),将点 A(2,3)的坐标代入,得 32m2 或 22n3 ,m 或
4、n .92 43所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.92 43(4)由焦点到准线的距离为 ,可知 p .52 52所求抛物线的标准方程为y25x 或 y25x 或 x25y 或 x25y.规律方法 求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出 p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在 x 轴上的抛物线方程可设为 y2 ax(a0),焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x2ay(a0).【训练 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3,4);(2)焦点在直线 x3y150 上.解 (1)方法一 点(3,
5、4) 在第四象限,设抛物线的标准方程为 y22px (p0)或 x22p 1y (p10).把点(3 ,4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p 1y,得(4) 22p 3,3 22p 1(4),即 2p ,2p 1 .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94方法二 点(3,4) 在第四象限,抛物线的方程可设为 y2ax (a0)或x2by (b0).把点(3 ,4)分别代入,可得 a ,b .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94(2)令 x0 得 y5;令 y0 得 x15.抛物线的焦点为(0,5)或(15,0).所求抛
6、物线的标准方程为 x220y 或 y260x.考查方向 题型二 抛物线定义的应用方向 1 利用抛物线的定义求轨迹(方程)【例 21】 动点 M 的坐标满足方程 5 |3 x4y12|,则动点 M 的轨x2 y2迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.以上都不对解析 把方程 5 |3 x4y12|转化为 ,x2 y2 x2 y2|3x 4y 12|5设动点 M(x,y),上式可看作动点 M 到原点的距离等于动点 M 到直线3x4y120 的距离,所以动点 M 的轨迹是以原点为焦点,以直线3x4y120 为准线的抛物线 .答案 C方向 2 利用抛物线的定义求最值【例 22】 如图,已知抛物线
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- 人教 高中数学 选修 2.3 抛物线 及其 标准 方程
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