1、2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点 1 抛物线的定义把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)若点 P 到点 F(1，0) 的距离和直线 x2 的距离相等，则点 P 的轨迹是抛物线.( )(2)若点 P 到点 F(1，0) 的距离和直线 xy10 的距离相等，则点 P 的轨迹是抛物线.( )(3)若点 P 到点 F(1，0) 的距离比到直线 x2 的距
2、离小 1，则点 P 的轨迹是抛物线.( )提示 (1)由抛物线的定义可知(1) 正确.(2)由于定点 F(1，0)在直线 xy10 上，所以点 P 的轨迹不是抛物线，即(2)错误.(3)由题意知点 P 到点 F(1，0)的距离和到直线 x1 的距离相等，故点 P 的轨迹是抛物线，(3)正确.答案 (1) (2) (3)知识点 2 抛物线标准方程的几种形式图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y2 2px(p0) (p2，0)xp2y2 2px(p0) ( p2，0)xp2x2 2py(p0) (0，p2)yp2x2 2py(p0) (0， p2)yp2【预习评价】准线为 x1 的抛物线的标准方程为
3、 _.解析 由题知抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上， 1，即 p2，故抛物线的方p2程 y24x答案 y 2 4x题型一 求抛物线的标准方程【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(2，0)；(2)准线为 y1；(3)过点 A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为 .52解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且 2，p2p4，抛物线的标准方程为 y28x .(2)焦点在 y 轴正半轴上，且 1，p2p2，抛物线的标准方程为 x24y .(3)由题意，抛物线方程可设为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，将点 A(2，3)的坐标代入，得 32m2 或 22n3 ，m 或
4、n .92 43所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.92 43(4)由焦点到准线的距离为 ，可知 p .52 52所求抛物线的标准方程为y25x 或 y25x 或 x25y 或 x25y.规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在 x 轴上的抛物线方程可设为 y2 ax(a0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x2ay(a0).【训练 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，4)；(2)焦点在直线 x3y150 上.解 (1)方法一 点(3，
5、4) 在第四象限，设抛物线的标准方程为 y22px (p0)或 x22p 1y (p10).把点(3 ，4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p 1y，得(4) 22p 3，3 22p 1(4)，即 2p ，2p 1 .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94方法二 点(3，4) 在第四象限，抛物线的方程可设为 y2ax (a0)或x2by (b0).把点(3 ，4)分别代入，可得 a ，b .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94(2)令 x0 得 y5；令 y0 得 x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15，0).所求抛
6、物线的标准方程为 x220y 或 y260x.考查方向 题型二 抛物线定义的应用方向 1 利用抛物线的定义求轨迹(方程)【例 21】 动点 M 的坐标满足方程 5 |3 x4y12|，则动点 M 的轨x2 y2迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.以上都不对解析 把方程 5 |3 x4y12|转化为 ，x2 y2 x2 y2|3x 4y 12|5设动点 M(x，y)，上式可看作动点 M 到原点的距离等于动点 M 到直线3x4y120 的距离，所以动点 M 的轨迹是以原点为焦点，以直线3x4y120 为准线的抛物线 .答案 C方向 2 利用抛物线的定义求最值【例 22】 如图，已知抛物线
7、 y22x 的焦点是 F，准线为 l，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3， 2)，求|PA| PF|的最小值，并求此时 P 点坐标.解 如图，作 PQl 于 Q，由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求 |PA|d 的最小值的问题.将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6 2，A 在抛物线内部 .6设抛物线上动点 P 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知|PA| PF|PA| d.12由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为 ，即| PA|PF| 的最小值为 ，72 72此时 P
8、 点纵坐标为 2，代入 y22x ，得 x2.点 P 坐标为(2 ，2).规律方法 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.【训练 2】 已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0，2)的距离与 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 ( )A. B.2 C. D.172 5 92解析 如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA |PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|PA| |PF|的最小值，则当 A，P ，F
9、 三点共线时， |PA| PF|取得最小值.又 A(0，2)，F( ，0) ，12(| PA|PF|) min|AF| (0 12)2 （2 0）2 172答案 A题型三 抛物线的实际应用【例 3】 如图所示，一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口 AB 宽恰好是拱高 CD 的 4 倍，若拱口宽为 a m，求能使卡车通过的 a 的最小整数值.解 以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则点 B 的坐标为 .(a2， a4)设抛物线方程为 x22py(p0) ，点 B 在抛物线上， 2p ，解得 p ，(a2)2 ( a4) a2抛物
10、线方程为 x2ay.将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y .0.64a点 E 到拱底 AB 的距离为 |y| 3.a4 a4 0.64a解得 a12.21.a 取整数，a 的最小整数值为 13.规律方法 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.【训练 3】 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米.(1)以隧道的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y 轴，建
11、立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米 (精确到 0.1 米)解 (1)依题意，设该抛物线的方程为 x22py(p0) ，如图所示，因为点C(5，5) 在抛物线上，解得 p ，52所以该抛物线的方程为 x25y .(2)设车辆高 h 米，则|DB| h0.5，故 D(3.5，h6.5) ，代入方程 x2 5y，解得 h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米.课堂达标1.抛物线 y x2 的准线方程是 ( )18A.x B.x132 12C.y2 D.y4解析 将 y x2化为标准形式 x28y，由此可
12、知准线方程为 y2.18答案 C2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线 1 上，则抛x24 y22物线的方程为( )A.y28x B.y24xC.y22x D. y28x解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线 1 的顶点，即为(2，0)或x24 y22(2，0)，所以抛物线的方程为 y28x 或 y28x.答案 D3.已知直线 l1：4x3y 60 和直线 l2：x 1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A.2 B.3 C. D.115 3716解析 易知直线 l2：x1 恰为抛物线 y24x 的准线，如图所示，动点 P 到
13、 l2：x1 的距离可转化为 PF 的长度，其中 F(1，0)为抛物线 y2 4x 的焦点.由图可知，距离和的最小值，即 F 到直线 l1的距离d 2.|4 6|（ 3）2 42答案 A4.若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_.解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1，0)，准线为 x1，由 M 到焦点的距离为10，可知 M 到准线 x 1 的距离也为 10，故 M 的横坐标满足 xM110，解得 xM 9，所以点 M 到 y 轴的距离为 9.答案 95.若双曲线 1(p 0)的左焦点在抛物线 y22px 的准线上，则x23 16y2p2p_.解析 由双曲线 1 得标准形式为 1，x23 16y2p2 x23 y2p216由此 c23 ，左焦点为 .p216 ( 3 p216，0)由 y22px 得准线为 x ，p2 ，3 p216 p2p4.答案 4课堂小结1.抛物线的定义中不要忽略条件：点 F 不在直线 l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y2 2mx (m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x22my (m 0).
