1、1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点 1 全称量词和全称命题(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.(2)全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对 M 中任意一个x,有 p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x ),读作“对任意 x 属于 M,有p(x)成立”.【预习评价】思考 全称命题中的“x , M
2、与 p(x)”表达的含义分别是什么?提示 元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围.p(x )表示集合 M 的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于 0”,可以表示为“x N,x 0”.知识点 2 存在量词与特称命题(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.(2)特称命题:含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在 M 中的元素x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为x 0M,p(x 0),读作“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”.【预习评价】 (正确的打“
3、”,错误的打“”)(1)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题.( )(2)在全称命题和特称命题中,量词都可以省略.( )(3)特称命题“ x0R,x 0”是真命题.( )20提示 (1)命题中含有存在量词“有些”,所以是特称命题,故(1)正确.(2)在特称命题中,量词不能省略,有些全称命题的量词可以省略,即(2)错误.(3)因为xR,x 20,所以命题“x 0R,x 0”是假命题,即(3)错误.20答案 (1) (2) (3)题型一 全称量词与全称命题【例 1】 试判断下列全称命题的真假:(1)xR,x 220 ;(2)xN,x 41;(3)对任意角 ,都有 sin2cos 21.解 (1)
4、由于x R,都有 x20,因而有 x2220,即 x220,所以命题“xR,x 220”是真命题.(2)由于 0N ,当 x0 时, x41 不成立,所以命题“ xN,x 41”是假命题.(3)由于 R,sin 2cos 21 成立.所以命题“对任意角 ,都有sin2cos 21”是真命题 .规律方法 判定全称命题的真假的方法:定义法:对给定的集合的每一个元素x,p(x )都为真,则全称命题为真;代入法:在给定的集合内找出一个 x0,使p(x0)为假,则全称命题为假.【训练 1】 试判断下列全称命题的真假:(1)xR,x 212;(2)任何一条直线都有斜率;(3)每个指数函数都是单调函数.解
5、(1)由于 0R,当 x 0 时,x 212 不成立,所以“ xR,x 212”是假命题.(2)当直线的倾斜角为 时,斜率不存在,所以“任何一条直线都有斜率”是假2命题.(3)无论底数 a1 或是 01,2不存在 x0 R,使 cos x0 ,2“x 0R,cos x0 ”是假命题.2规律方法 判定特称命题真假的方法:代入法:在给定的集合中找到一个元素x,使命题 p(x)为真,则特称命题为真,否则命题为假 .【训练 2】 试判断下列特称命题的真假:(1)x0Q,x 3;20(2)x0,y 0 为正实数,使 x y 0;20 20(3)x0R,tan x 01;(4)x0R,lg x 00.解
6、(1)由于使 x23 成立的数只有 ,而它们都不是有理数,因此没有任何一3个有理数的平方能等于 3,所以命题“x 0Q,x 3 ”为假命题.20(2)因为 x00,y 00,所以 x y 0,所以“x 0,y 0 为正实数,使 x y 0”20 20 20 20为假命题.(3)当 x0 时,tan 1,所以 “x0R,tan x 01”为真命题.4 4(4)当 x01 时,lg 10,所以 “x0R,lg x 00” 为真命题.考查方向 题型三 全称命题、特称命题的应用方向 1 根据特称命题的真假求参数的取值范围【例 31】 若命题 p:存在 x0R,使 ax 2x 0a0,20a0 时,x
7、0 2,1x00 1,2x0 1x0当 x01,) 1311规律方法 已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.【训练 3】 (1)已知关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 的解集非空,求实数 a 的取值范围;(2)若命题 p: sin xcos x 是真命题,求实数 x 的取值范围1 sin 2x解 (1)关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 的解集非空,(2a1)24(a 22) 0,即 4a70,解得 a ,实数 a 的取值范围为 .74 74, )(2)由 sin xcos x,1 sin 2x得 sin x cos x,sin2x cos2x 2sin xcos x sin xcos x,(sin x cos x)2即|sin x cos x|sin x cos x,sin xcos x.结合三角函数图象得,2k x2k (kZ),此即为所求 x 的取值范围.4 54