1、第二章 基本初等函数()2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算( 第二课时)学习目标理解对数的运算性质;知道能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对数对简化运算的作用.合作学习一、复习回顾,承上启下1.对数的定义:log aN=x,其中 a(0,1)(1,+)与 N(0,+).2.指数式与对数式的互化:ax=N . 3.重要性质或公式:(1)负数与零没有对数;(2)loga1= ,log aa= ( a0,且 a1); (3)对数恒等式 = (a0,且 a1). 4.指数运算法则:(1)aman= ( a0,m,nR); (2)(am)n= (
2、a0,m,nR); (3)(ab)n= (a0,b0,nR ). 二、设计问题,创设情境问题 1:请同学判断以下几组数是否相等 ?(1)lg100+lg ,lg(100 );110 110(2)log24+log2 ,log2 .18 1结论: . 问题 2:由问题 1 中(1)(2)的结果出发,同学们能看出它们具有一个怎样的共同点吗?结论: . 三、自主探索,尝试解决如果 a0,且 a1,M0,N0,证明: loga(MN)=logaM+logaN.证明:猜想得证:性质 1:如果 a0,且 a1,M0,N0,那么 loga(MN)=logaM+logaN.四、信息交流,揭示规律性质 2:lo
3、ga =logaM-logaN证明:性质 3:logaMn=nlogaM(nR)证明:通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质:如果 a0 且 a1,M0,N0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN,积的对数=对数的和;(2)loga =logaM-logaN,商的对数 =对数的差;(3)logaMn=nlogaM(nR),一个数 n 次方的对数= 这个数对数的 n 倍.五、运用规律,解决问题【例 1】用 logax,logay,logaz 表示下列各式:(1)loga ;(2)loga . 23【例 2】求下列各式的值:(1)log2(4725);(2)lg .5100六、变式演
4、练,深化提高1.计算下列各式的值:(1)log3(2792);(2)log7 ;349(3)lg14-2lg +lg7-lg18;(4) ;73 2439(5) .(5)2-25+12.已知 lg2=a,10b=3,求 .125问题 3:对于本小节开始的问题 ,可否利用计算器求解 log1.01 的值?1813我们知道,利用科学计算器只能直接求常用对数和自然对数的值.那么,问题 3 中的既不是常用对数,也不是自然对数的问题又怎么解决呢?为此我们必须引入一个特别的对数运算公式,即换底公式:换底公式:logab= (a0,且 a1;c0,且 c1;b0).换底公式的推论:(1)lo bn= log
5、ab;(2)logab= .13.问题 3 中,求解 log1.01 的值.18134.设 log34log48log8m=log416,求 m 的值.七、反思小结,观点提炼1.本节课学习了对数的运算性质及其运用,要注意指数运算性质与对数运算性质的对照.式子 ax=N logaN=x名称a幂的底数x幂的指数N幂值a x N 运算性质aman=am+n;=am-n;aman(am)n=amn.(a0,且 a1,m,nR)loga(MN)= ; loga = ; MNlogaMn= . (a0,且 a1,M0,N0)2.对数的运算法则(积、商、幂、方根的对数 )及其成立的前提条件 ;3.对数的换底
6、公式及其推论;4.运算法则的逆用,应引起足够的重视;5.对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧.八、作业精选,巩固提高1.计算:(1) ;27+8-3101.2(2) lg lg +lg ;12324943 8 245(3)lg52+ lg8+lg5lg20+(lg2)2.232.课本 P68 页练习题第 1,2,3,4 题.参考答案一、复习回顾,承上启下2.logaN=x(a0,且 a1)3.(2)0,1(3)N4.(1)am+n(2)amn(3)anbn二、设计问题,创设情境问题 1:两个小题都相等问题 2:性质 1:当底数相同的时候,两个正数的对数之和等于两个正数积的对数三、自主探索
7、,尝试解决证明:(性质 1)设 logaM=p,logaN=q,由对数的定义可得 M=ap,N=aq,MN=apaq=ap+q,loga(MN)=p+q,即证得 loga(MN)=logaM+logaN.四、信息交流,揭示规律性质 2:证明:方法一:(仿照性质 1 同理可证)方法二:由性质 1 的结论出发 :loga +logaN=loga( N)=logaMlogaM-logaN=loga . 方法三:由性质 1 的结论出发 :loga =loga +logaN-logaN=logaM-logaN. 性质 3:证明:设 logaM=p,由对数的定义可得 M=ap,Mn=anp,logaMn=
8、logaanp=np,又 logaM=p,即 p=logaM,logaMn=np=nlogaM,即证得 logaMn=nlogaM.五、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)log a =logaxy-logaz=logax+logay-logaz;(2)loga =loga(x2 )-loga =logax2+loga -loga =2logax+ logay- logaz.23 3 3 12 13【例 2】解:(1)log 2(4725)=log247+log225=7log24+5log22=72+51=19;(2)lg =lg1 .5100 025=25六、变式演练,深化提高1.解:(
9、1)log 3(2792)=log327+log392=log333+2log39=3+4=7;(2)log7 log749= log772= ;349=13 13 23(3)lg14-2lg +lg7-lg1873=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0;(4) ;2439=3532=5323=52(5) =|lg5-1|=1-lg5.(5)2-25+1=(5)2-25+12.解:依题意得:b=lg3,lg12=lg3+2lg2=b+2a,lg5=lg =lg10-lg2=1-a,102 .125=2+1-3.解:log 1.01 =32.883733.1813=18131.01=18-131.011.2553-1.11390.00434.解:log 34log48log8m= log48 =log3m=log416=2,143 448=443故 m=9.七、反思小结,观点提炼1.对数的底数 以 a 为底 N 的对数 N 真数 log aM+logaN log aM-logaN nlogaM(nR)八、作业精选,巩固提高1.(1) (2) (3)332 12
