1、2019 年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1 （5 分）设集合 A2， 1，0，1，2，3 ，Bx|x 24，则 AB 的元素个数为（ ）A6 B5 C3 D22 （5 分）设 i 为虚数单位， z2+ ，则复数 z 的模|z|为（ ）A1 B C2 D3 （5 分）已知双曲线 1（m 0）的渐近线为 y ，则 m 等于（ ）A B C6 D94 （5 分）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，
2、中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.75 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组 则 x2+y2 的取值范围是（ ）A ，2 B0，2 C ， D0 ， 6 （5 分）设函数 f（x ） 则“m1”是“ff（1）4”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不允分又不必要条件7 （5 分）阅读如图所示的程序框图，如果输入 P10，则输出的结果为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D8 （5 分）若 sin（ +2） ，（ ，）
3、，则 tan（ + ）的值为（ ）A2 B C2 D9 （5 分）已知 f（x ）为定义在 R 上的偶函数，且 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x）2 x+1，记 af（log 0.56） ，bf （log 27） ，cf （8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Ccba Dc ab10 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn（n N*） ，若 是一个与 n 无关的常数，则该常数构成的集合为（ ）A2 B4 C2 ，4 D1 ，2，411 （5 分）对x （ ） ， （m ，n） （mn） ，则 nm 的最小值
4、为（ ）A B C D12 （5 分）设椭圆 + 1（ab0）的焦点为 F1，F 2，P 是椭圆上一点，且F 1PF2 ，若F 1PF2 的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 R4r 时，椭圆的离心率为（ ）第 3 页（共 25 页）A B C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| | |1，则 |3 + | 14 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3a11 2a ，且 S4+S12 S8，则 15 （5 分）某几何体
5、的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为 的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36，则该几何体的体积为 16 （5 分）若函数 f（x ）ax 2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17已知函数 g（x）4sin（x ）cos x，将函数 yg（x ）的图象向左平移 个单位得到 yf（x ）的图象（1）求函数 g（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
6、 b3，且 f（B）3，求ABC 面积的最大值18在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人” 某电影院在甲地随机调查了 100 位年龄在 15 岁到 75 岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75第 4 页（共 25 页）调查人数 10 20 30 20 10 10“有习惯的人数” 10 19 23 13 4 1（1）以年龄 45 岁为分界点，请根据 100 个样本数据完成下面
7、22 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“有习惯 ”的人与年龄有关；小于 45 岁 不小于 45 岁 合计“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计 100（2）已知甲地从 15 岁到 75 岁的市民大约有 11 万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为 x 元（20x 50） ，则在“有习惯”的人中约有 的人会买票看电影（m 为常数） 已知票价定为 30 元的某电影，票房达到了 69.3 万元某新影片要上映，电影院若将电影票定价为 25 元，那么该影片票房估计能达到多少万元？参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d参考临界值P（K 2k 0） 0.025 0.010 0.005 0.0
8、01k0 5.024 6.635 7.879 10.82819如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面 ABC 为等边三角形，AB 2，A 1ABA 1AC60，M，N 分別为 AB，A 1C1 的中点（1）证明：MN平面 BCC1B1；（2）若 MN ，求三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面积第 5 页（共 25 页）20已知抛物线 y24x 的焦点为 F，ABC 的三个顶点都在抛物线上，且 + （1）证明：B，C 两点的纵坐标之积为定值；（2）设 ，求 的取值范围21设函数 f（x ）x ，a R 且 a0，e 为自然对数的底数（1）求函数 y 的单调区间；（2）若 a ，当 0
9、x 1x 2 时，不等式 f（x 1）f （x 2） 恒成立，求实数 m 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22已知平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（1，2）的直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sintan2a（a0） ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点M、N （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若|PM| | MN|，求实数 a 的值选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）| |（aR 且 a0）（1）证明：f（a
10、2）+f（a+ a2）1；（2）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集为 A，且 A2，10，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1 （5 分）设集合 A2， 1，0，1，2，3 ，Bx|x 24，则 AB 的元素个数为（ ）A6 B5 C3 D2【分析】首先求得集合 B，然后结合交集的定义即可求得最终结果【解答】解：由题意可得 Bx|2x2，则 AB1，0，1，即 AB 的元素个数为 3故
11、选：C【点评】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2 （5 分）设 i 为虚数单位， z2+ ，则复数 z 的模|z|为（ ）A1 B C2 D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z2+ ，|z| 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）已知双曲线 1（m 0）的渐近线为 y ，则 m 等于（ ）A B C6 D9【分析】根据题意，由双曲线的方程分析其渐近线方程为 y x，据此可得 ，解可得 m 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，
12、双曲线的方程为 1（m0） ，则其渐近线方程为第 7 页（共 25 页）y x，又由双曲线 1（m 0）的渐近线为 y ，则有 ，解可得 m9；故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题4 （5 分）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.7【分析】可以从反面考虑，春节和端午节至少有一个被选中的反面为两个节日都没被选中，用 1 减去两个节日都没被选中的概率即可得到春
13、节和端午节至少有一个被选中的概率【解答】解：设事件 A春节和端午节至少有一个被选中 ，则 两个节日都没被选中，所以 P（A ）1P （ ）1 0.7故选：D【点评】本题考查了古典概型的概率、考查事件与其对立事件的概率关系、计算原理等知识，属于基础题5 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组 则 x2+y2 的取值范围是（ ）A ，2 B0，2 C ， D0 ， 【分析】由约束条件作出可行域，再由 zx 2+y2 的几何意义，即原点（0，0）到阴影区域的距离的平方求解【解答】解：由实数 x，y 满足不等式组 作出可行域如图，第 8 页（共 25 页）zx 2+y2 表示原点（0，0）
14、到阴影区域的距离的平方，z min 是 0，zmax 是原点（0，0）到点（1，1）的距离的平方，则 zmax2，z 的取值范围是0，2故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6 （5 分）设函数 f（x ） 则“m1”是“ff（1）4”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不允分又不必要条件【分析】由“m1”可以得到 “f（1） 4， ”，但由 f（1）4， ”“不一定得到“m1” ，故“m1”是“f （1）4， ”的充分不必要条件【解答】解：当“m1”时， f（1） f （2）2 2m+14但当“ff（1）4”时，f （1
15、）f（2）2 2m+142 22m+1 2；m ；故“m1”是“f（1）4， ”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分不必要条件的判定，比较基础7 （5 分）阅读如图所示的程序框图，如果输入 P10，则输出的结果为（ ）第 9 页（共 25 页）A B C D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S + + 的值，由于 S + + 1 + 1 故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行
16、过程，以便得出正确的结论，是基础题8 （5 分）若 sin（ +2） ，（ ，） ，则 tan（ + ）的值为（ ）A2 B C2 D【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得tan 的值，再利用两角和的正切公式化简要求的式子可得结果【解答】解：sin（ +2）cos2 ，tan3又 （ ，） ，tan3，则 tan（ + ） ，第 10 页（共 25 页）故选：D【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正切公式化简三角函数式，属于基础题9 （5 分）已知 f（x ）为定义在 R 上的偶函数，且 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x）2 x
17、+1，记 af（log 0.56） ，bf （log 27） ，cf （8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Ccba Dc ab【分析】根据 f（x ）的周期性和单调性进行判断【解答】解：当 x0，1时，f（x ）2 x+1，则 f（x）在0 ， 1上是增函数，且当 x0，1时，1f（x ） 2，f（x+2）f（x ） ，f（x）的周期为 2af（log 0.56）f（log 26）f（2+ ）f （ ）f（ ）f（ ） ，bf（log 27）f（ ） ，c f（8）f （0）f（log 21） ， ，f（log 21） ，cab故选：D【点评】本题考查了
18、函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题10 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn（n N*） ，若 是一个与 n 无关的常数，则该常数构成的集合为（ ）A2 B4 C2 ，4 D1 ，2，4【分析】先根据等差数列的前 n 项和公式计算出 S2n 与 S4n，进而表达 ，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案第 11 页（共 25 页）【解答】解：由题意可得数列a n是等差数列，则 ， ， ，由题 是一个与 n 无关的常数，则 a1 或 d0，当 a1 时， 4，当 d0 时， 2该常数构成的集合为2，4故选：C【点评】本题考查集合的求法，解决此类问题的
19、关键是熟练掌握等差数列的前 n 项和公式，以及熟练掌握分式的性质，意在考查学生的转化能力和计算求解能力11 （5 分）对x （ ） ， （m ，n） （mn） ，则 nm 的最小值为（ ）A B C D【分析】求导，利用讨论函数的单调性，可得 nm 的最小值【解答】解：x （ ） ， （m ，n） （mn） ，设 f（x） x（）则 f（x） ，x （ ）设 g（x）sinxxcosx，g（x）cosx（cosxxsinx）x sinx，则：g（x）cos x（cosxxsin x）xsinx 0，在 x（ ）上恒成立，函数 g（x）sinxxcosx，在 x（ ）上单调递增，g（
20、x）g（ ）sin cos 0.050第 12 页（共 25 页）所以：f（x） 0，x （ ）上恒成立，即函数设 f（x） 在 x（ ） 上单调递增，所以：f（ ）f（x）f（ ） ；即： f（x ） ；则 nm 的最小值为 ，故选：C【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题12 （5 分）设椭圆 + 1（ab0）的焦点为 F1，F 2，P 是椭圆上一点，且F 1PF2 ，若F 1PF2 的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 R4r 时，椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】利用正弦定理计算 R，得出 r，设|PF 1|m ，| PF2|n，根据余弦定
21、理计算 mn，再根据面积公式列方程得出 a，c 的关系，从而可求出椭圆的离心率【解答】解：椭圆的焦点为 F1（c，0） ，F 2（c ，0） ，|F 1F2|2c，根据正弦定理可得 2R ，R ，r R 设|PF 1| m，| PF2|n，则 m+n2a，由余弦定理得，4c 2m 2+n22mn cos （m+n） 23mn4a 23mn ，mn ，S sin ，又 S （m+n+2c）r， ，即 2a23c 2ac0，故 3e2+e20，第 13 页（共 25 页）解得：e 或 e1（舍） 故选：B【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定
22、理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| | |1，则 |3 + | 【分析】由向量的模的运算可得| | ，得解【解答】解：因为向量 与 的夹角为 ，| | |1，所以 ，所以| | ，故答案为： 【点评】本题主要考查了向量的运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量模的运算，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题14 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3a11 2a ，且 S4+S12
23、 S8，则 【分析】等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，由 a3a11 2a ，结合等比数列的通项公式可求 q，然后利用等比数列的前 n 项和公式，即可求解，得到答案【解答】解：由题意，设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，因为 a3a112a ，所以 2 ，解得 q42，因为 S4+S12S 8，所以 ，即 ，第 14 页（共 25 页）解得 故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题15 （5 分）某几何体的三视图如图
24、所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为 的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36，则该几何体的体积为 【分析】利用三视图对应几何体的外接球的体积，求解半径，然后求解三棱锥的高，然后求解体积【解答】解：三视图的直观图为：该几何体的外接球的体积为 36，可得： ，解得 R3，由题意可得 AD 1，所以 PA2 4 ，几何体的体积可得： 故答案为： 第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，考查转化思想以及计算能力16 （5 分）若函数 f（x ）ax 2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 &n
25、bsp; 【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离参数法数形结合求解（如法 1） ，也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法 2） ，相比较而言，法 2 更容易理解【解答】解：法 1：函数 f（ x）ax 2+xlnx 有两个极值点，即导函数 f'（x）2ax+lnx+1在（0，+）上有两个变号零点，即方程 lnx2ax 1 有两个不同正实数根，即函数 ylnx 与函数 y2ax1 有两个不同的交点，作出图象如右图；设恒过定点的函数 y2ax 1 与函数 ylnx 相切于点（ x0，y 0） ，则有 ，解得 x01，y 00，即切点为（1，
26、0） ，此时直线的斜率为 k1，由图象可知，要使函数 ylnx 与函数 y2ax1 有两个不同的交点，则 02a1，即 a（ ，0） ，法 2：转化为导函数 f'（x ）2ax+lnx+1 在（0，+ ）上有两个变号零点，分离参数得到，方程2a 在（0，+）上有两个不同的实根，第 16 页（共 25 页）令 g（x） ，定义域为 x0，g（x ） ，则 x（0，1）时， g'（x）0，函数 g（x）单调递增，x（1，+）时，g'（x ）0，函数 g（x）单调递减，故 g（x） maxg（1）1，/ br作出函数 yg（x ）和 y 2a 的图象于同一个坐标系中，则得到
27、02a1，即 a（ ，0） ，故答案为：（ ，0） 【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清楚，另外需要了解常见的分离参数法的不同类型三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17已知函数 g（x）4sin（x ）cos x，将函数 yg（x ）的图象向左平移 个单位得到 yf（x ）的图象（1）求函数 g（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b3，且 f（B）3，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到
28、g（x） ，由周期公式求出 f（x）的最小正周期；（2）由题 f（x ） ，f（B） ，得 sin（2B+）1，根据 f（B）3，可得 B 由余弦定理得 32a 2+c2，则 a2+c2+ac9，由此得到 ac3，即可求出ABC 面积的最大值第 17 页（共 25 页）【解答】解：（1）g（x）4sin （x ）cos x g（x）的最小正周期为 T ；（2）f（x） 2sin2（x+ ） 1 ，由 f（B） ，得 sin（2B+ ） 1，2B+ （ ） ， ，则 B 由余弦定理得 ，即 a2+c2+ac9，9a 2+c2+ac2ac +ac3ac ，即 ac3，当且仅当 ac 时取等号ABC
29、 的面积 ，ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理，以及基本不等式等知识，属中档题18在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人” 某电影院在甲地随机调查了 100 位年龄在 15 岁到 75 岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75调查人数 10 20 30 20 10 10“有习惯的人数” 10 19 23 13
30、4 1（1）以年龄 45 岁为分界点，请根据 100 个样本数据完成下面 22 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“有习惯 ”的人与年龄有关；小于 45 岁 不小于 45 岁 合计第 18 页（共 25 页）“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计 100（2）已知甲地从 15 岁到 75 岁的市民大约有 11 万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为 x 元（20x 50） ，则在“有习惯”的人中约有 的人会买票看电影（m 为常数） 已知票价定为 30 元的某电影，票房达到了 69.3 万元某新影片要上映，电影院若将电影票定价为 25 元，那么该影片票房估计能达到多少万元？参考公式：K
31、2 ，其中 na+ b+c+d参考临界值P（K 2k 0） 0.025 0.010 0.005 0.001k0 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】 （1）根据统计数据，可得 22 列联表，根据列联表中的数据，计算 K2 的值，即可得到结论；（2）依题意有 11 3069.3，求出 m 的值，由此得到该影片票房【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下，小于 45 岁 不小于 45 岁 合计“有习惯”的人数 52 18 70“无习惯”的人数 8 22 30合计 60 40 100由表中数据，计算 K2 19.8410.828，所以有 99.9%的把握认为“有习惯 ”的人与年龄
32、有关；（2）依题意，有 10 3069.3，解得 m6，所以 11 2577（万元） ，估计新影片上映票房能达到 77 万元【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了理解与计算能力，是基第 19 页（共 25 页）础题19如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面 ABC 为等边三角形，AB 2，A 1ABA 1AC60，M，N 分別为 AB，A 1C1 的中点（1）证明：MN平面 BCC1B1；（2）若 MN ，求三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面积【分析】 （1）取 BC 中点 P，连接 MP，C 1P，推导出四边形 MNC1P 为平行四边形，从而 NMPC 1由此
33、能证明 MN平面 BCC1B1（2）作 BHA 1A，交 AA1 于 H，连接 CH推导出ABHACH，从而CHABHA，进而 BHAA 1，AA 1推导出 A1A平面 BCH，A 1ABC则C1CBC由此能求出三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面积【解答】证明：（1）如图，取 BC 中点 P，连接 MP，C 1PM 为 AB 的中点，MPAC ，且 MP AC又 ACA 1C1，ACA 1C1，且 NC1 ，NC 1MP，且 NC1MP四边形 MNC1P 为平行四边形， NMPC 1又 PC1平面 BCC1B1，MN平面 BCC1B1，MN平面 BCC1B1 （4 分）解：（2）如图，作 B
34、HA 1A，交 AA1 于 H，连接 CHACAB， A1ABA 1AC，AH 为公共边，ABHACH，CHABHABHAA 1，AA 1第 20 页（共 25 页）而 BHCHH，A 1A平面 BCH，A 1ABC 又 A1AC 1C，C 1CBC 在直角C 1CP 中，CP 1，C 1PMN ，C 1C 在直角ABH 中，BH ABsin60 三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面积 S4 （12 分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题20已知抛物线 y24x 的焦点为
35、 F，ABC 的三个顶点都在抛物线上，且 + （1）证明：B，C 两点的纵坐标之积为定值；（2）设 ，求 的取值范围【分析】 （1）设 A，B，C 的坐标，根据向量的运算，由此可证明 y1y22 为定值；（2）由 + 得四边形 ABFC 为平行四边形，故 ，即可求出【解答】证明：（1）设 A（ ，y 0） ，B（ ，y 1） ，C（ ，y 2） ，F（1，0） ， （ 1，y 0） ， （ 1，y 1） ， （ 1，y 2） ， + ， 1+ 1 1，y 1+y2y 0，即 y12+y22y 02+4，第 21 页（共 25 页）（y 1+y2） 2 y02，y 02+4+2y1y2y 02，
36、y 1y22，解：（2）由 + 得四边形 ABFC 为平行四边形，故 （1 ） （1 ）+（y 1） （y 2）1（ + ）+ +y1y21 + 2 y02 ，故 的取值范围是（， 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，同时考查向量共线和坐标表示，考查运算能力，属于中档题21设函数 f（x ）x ，a R 且 a0，e 为自然对数的底数（1）求函数 y 的单调区间；（2）若 a ，当 0x 1x 2 时，不等式 f（x 1）f （x 2） 恒成立，求实第 22 页（共 25 页）数 m 的取值范围【分析】 （1）求出函数 y 的导数 y，利用导数判断函数 y
37、 的单调性与单调区间；（2）0x 1x 2 时，f（x 1）f （x 2） 等价于 f（x 1） f（x 2） ；构造函数 g（x）f（x） ，由 g（x）在（0，+）上为减函数，得出 g（x）0，再利用构造函数求最值法求出 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 y 1 ，y ，不等式 0 等价于 0；当 a 0 时，由 0，得 0，解得 0x2；当 a 0 时，由 0，得 0，解得 x0 或 x2；综上： 当 a 0 时，函数 y 的增区间为（0，2） ，减区间为（，0） ，（2，+） ；当 a 0 时，函数 y 的增区间为（，0） ， （2，+） ，减区间为（0，2） ；（6 分）（2）当
38、 0x 1x 2 时，f（x 1）f（x 2） 等价于 f（x 1）f （x 2） ，等价于 f（x 1） f（x 2） ；即函数 g（x）f（x） x 在（0，+）上为减函数，则 g（x）1 + 0，第 23 页（共 25 页）em（x1）e xex 2；令 h（x）（x 1）e xex 2，则 h（x）e x+（x1）e x2exxe x2exx（e x2e ）0，解得 ex2e，即 xln2e；当 x（0，ln2e）时，h（x）0，h（x）为减函数；当 x（ln2e，+）时，h（ x）0，h（x）为增函数；h（x）的最小值为 h（ln2e）（ln 2e1）e ln2eeln 22e2el
39、n2e（ln2+1）2eln 22e；emeln 22e，解得 m1ln 22，m 的取值范围是（， 1ln 22（12 分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22已知平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（1，2）的直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sintan2a（a0） ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点M、N （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）
40、若|PM| | MN|，求实数 a 的值【分析】 （1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线 l 的普通方程：x y10，曲线 C 的极坐标方程为 sintan2a（a0） ， 2sin22acos （a0） ，曲线 C 的普通方程：y 22ax；（2）y 22ax；x0，第 24 页（共 25 页）设直线 l 上点 M、N 对应的参数分别为 t1，t 2， （t 10，t 20） ，则|PM |t 1，|PN|t 2，|PM |MN|，|
41、PM | |PN|，t 22t 1，将 （t 为参数） ，代入 y22ax 得t22 （a+2）t+4 （a+2）0，t 1+t22 （a+2 ） ，t1t24（a+2） ，t 22t 1，a 【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）| |（aR 且 a0）（1）证明：f（a 2）+f（a+ a2）1；（2）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集为 A，且 A2，10，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）利用绝对值不等式的性质证明即可；（2）由 f（x） 3 可得 由 A2，10，对 a 进行分类讨论，即可求出实数的取值范围【解答】解：（1）f（a 2）+f （a+a 2）|a2|+|a1|（ a 2） （a1）| 1当且仅当（a2） （a1）0，即 1a2 时取等号，f（a 2）+f（a+ a2）1；（2）| x2|33 x23，1 x5，A 2，10，当 a0 时，Ax|ax5a，第 25 页（共 25 页）则 a2即 0a2当 a0 时，Ax|5 ax a，则 ，a ，即 a0综上可知，实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，考查分类讨论和等价转化的数学思想，属中档题
