1、2019 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设设集合 A1， 2，3 ，Bx|x 22x+m0，若 AB2，则 B（ ）A0 B2 C1 D0 ，22 （5 分）复数 z2+ ai（a R）的共轭复数为 ，若 z 5，则 a（ ）A1 B3 C1 或 3 D1 或33 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（ ）Ayx 3 By|x 1| Cy|x |1 Dy 2 x4 （5 分）已知a n为递增的等差数列，a 4+a
2、72，a 5a68，则公差 d（ ）A6 B6 C2 D45 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的渐近线方程为 yx，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D6 （5 分）设 alog 32，blog 23，c5 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Bbca Ccba Dc ab7 （5 分）执行如图的程序框图，如果输出的 S3，则输入的 t（ ）A1 B3 C1 或 3 D1 或38 （5 分）平行四边形 ABCD 中，AB2，AD3，AC4，则 BD（ ）第 2 页（共 22 页）A4 B C D9 （5 分）等比数列
3、a n的前 n 项和 Sna2 n+1（nN *） ，其中 a 是常数，则 a（ ）A2 B1 C1 D210 （5 分）已知平面 平面 ， l ，点 A，Al ，直线 ABl ，直线 ACl，直线m，m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）AABm BAC m CAB DAC11 （5 分）已知点 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1 的左、右焦点，P 为 E 上一点，直线 l 为F 1PF2 的外角平分线，过点 F2 作 l 的垂线，交 F1P 的延长线于 M，则|F 1M|（ ）A10 B8 C6 D412 （5 分）已知函数 f（x ） （x
4、 R）满足 f（x ）f（ax） ，若函数 y| x2ax5| 与yf（x ）图象的交点为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x m，y m） ，且 2m，则 a（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）向量 ， 是相互垂直的单位向量，若向量 2 +3 ， m （mR） ， 1，则 m 14 （5 分）曲线 yxe x+x+1 在点（0，1）处的切线方程为 15 （5 分）三棱锥 SABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，且 SA3，SB4，SC 5，其顶点都在球
5、O 的球面上，则球 O 的表面积为 16 （5 分）已知直线 l：x +y60，过直线上一点 P 作圆 x2+y24 的切线，切点分别为A，B ，则四边形 PAOB 面积的最小值为 ，此时四边形 PAOB 外接圆的方程为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 3 页（共 22 页）17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 abcosC+csin B（1）求 B；（2）求 ysinA sinC 的取值范围18 （12 分）运动健康已成为大
6、家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的 PK 和点赞现从张华的好友中随机选取 40 人（男、女各 20 人） ，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：步数性别02000 20015000 50018000 800110000 10000男 1 2 4 7 6女 0 3 9 6 2（1）若某人一天行走的步数超过 8000 步被评定为“积极型” ，否则被评定为“懈怠型” ，根据题意完成下列 22 列联表，并据此判断能否有 90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？积极型 懈怠型 总计男女总计
7、（2）在张华的这 40 位好友中，从该天行走的步数不超过 5000 步的人中随机抽取 2 人，设抽取的女性有 X 人，求 X1 时的概率参考公式与数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2 ，其中 na+b+c+d19 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC2，点 M 为 DC 的中点，将ADM 沿AM 折起，使得平面ADM平面 ABCM第 4 页（共 22 页）（1）求证：ADBM；（2）求点 C 到平面 BDM 的距离20 （1
8、2 分）如图，已知直线 L：xmy+1 过椭圆 C： + 1（ab0）的右焦点F，且交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、F、B 在直线 G；xa 2 上的射影依次为点D、K、E，若抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的顶点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 L 交 y 轴于点 M， 1 ， 2 ，当 M 变化时，求 1+2 的值21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 2+（a2）lnx+1（a R） （1）若函数在点（1，f（1） ）处的切线平行于直线 y4x+3，求 a 的值；（2）令 c（x）f（x）+（3a）lnx+2a，讨论 c（x）的单调性；（3）a1 时，函数 yf（x
9、）图象上的所有点都落在区域 内，求实数 t 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的方程为（x1） 2+（y 1） 22（1）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（2）直线 （0）与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为第 5 页（共 22 页）B，求| AB|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|2 x3|，g（x ）|x+1|+|x a|（l）求 f（x）1 的解集；（2）若对任意的
10、 tR，sR，都有 g（s）f （t） 求 a 的取值范围第 6 页（共 22 页）2019 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设设集合 A1， 2，3 ，Bx|x 22x+m0，若 AB2，则 B（ ）A0 B2 C1 D0 ，2【分析】根据 AB2 即可得出 2B，从而可求出 m 0，解方程 x22x0 得，x0 或 2，从而得出 B0，2 【解答】解：AB2 ；2B；44+m0；m0；Bx|x 22x 0 0，2 故选：D【点评】考查交集的定
11、义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系2 （5 分）复数 z2+ ai（a R）的共轭复数为 ，若 z 5，则 a（ ）A1 B3 C1 或 3 D1 或3【分析】由已知结合 列式求解【解答】解：z2+ ai，z ，即 a1故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（ ）Ayx 3 By|x 1| Cy|x |1 Dy 2 x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：第 7 页（共 22 页）对于
12、A，yx 3 为幂函数，是奇函数，不符合题意，对于 B，y| x1| ，不是奇函数，不符合题意；对于 C，y|x|1 ，既是偶函数又在（0 ，+）单调递增的函数，符合题意；对于 D，y2 x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题4 （5 分）已知a n为递增的等差数列，a 4+a72，a 5a68，则公差 d（ ）A6 B6 C2 D4【分析】a 5，a 6 是方程 x22x80 的两个根，且 a5a 6，求解方程得答案【解答】解：a n为递增的等差数列，且 a4+a72，a 5a68
13、，a 5+a62，a 5，a 6 是方程 x22x 80 的两个根，且 a5a 6，a 52，a 64，da 6a 56，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题5 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的渐近线方程为 yx，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【分析】根据双曲线的渐近线方程，可得 a，b 的关系，利用 e ，即可求得结论【解答】解：由题意， 1双曲线的离心率 e 故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题第 8 页（共 22 页）6 （5 分）设 alog 32，blog 23，c5 ，则 a，b，
14、c 的大小关系是（ ）Aacb Bbca Ccba Dc ab【分析】可以得出 ，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解：log 32log 331，1log 22log 23log 24 2， ；cba故选：C【点评】考查对数函数、幂函数的单调性，以及增函数的定义，对数的运算7 （5 分）执行如图的程序框图，如果输出的 S3，则输入的 t（ ）A1 B3 C1 或 3 D1 或3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，根据 S 的值，分类讨论即可得答案【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出
15、变量S 的值，由于输出的 S3，则当 t1 时，可得：4tt 23，解得：t 3，或 1，当 t1 时，可得：3t3，解得 t1（舍去） 故选：C第 9 页（共 22 页）【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8 （5 分）平行四边形 ABCD 中，AB2，AD3，AC4，则 BD（ ）A4 B C D【分析】直接利用余弦定理求出 ，进一步利用余弦定理的应用求出结果【解答】解：如图所示：平行四边形 ABCD 中，AB 2，AD3，AC4，则：在ABC 中，AB 2，BC 3，AC 4，利用余弦定理： ，故： ，则：BD 2
16、AD 2+AB22AD ABcosDAB，解得：BD 故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9 （5 分）等比数列a n的前 n 项和 Sna2 n+1（nN *） ，其中 a 是常数，则 a（ ）A2 B1 C1 D2【分析】n1 时，a 1S 12a+1n2 时，a nS nS n1 ，对于上式 n1 时也成立，解得 a【解答】解：n1 时，a 1S 12a+1n2 时，a nS nS n1 a2 n+1（a2 n1 +1） ，化为：a na2 n1 ，对于上式 n1 时也成立，2a+1a，解得
17、 a1故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，第 10 页（共 22 页）属于中档题10 （5 分）已知平面 平面 ， l ，点 A，Al ，直线 ABl ，直线 ACl，直线m，m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）AABm BAC m CAB DAC【分析】利用图形可得 ABl m；A 对再由 ACl，ml ACm； B 对又 ABlAB ，C 对ACl，但 AC 不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，故不一定垂直，所以 D 不一定成立【解答】解：如图所示 ABl m；A 对ACl，ml ACm；B 对ABl AB
18、，C 对对于 D，虽然 ACl，但 AC 不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，故不一定垂直；故错故选：D【点评】高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用易错点：对有关定理理解不到位而出错全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握11 （5 分）已知点 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1 的左、右焦点，P 为 E 上一点，直线 l 为F 1PF2 的外角平分线，过点 F2 作 l 的垂线，交 F1P 的延长线于 M，则|F 1M|（ 第 11 页（共 22 页）A10 B8 C6 D4【分析】由题意可得三角形 PMF2 为等腰三角形
19、，| PM| PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值【解答】解：如图，由直线 1 为F 1PF2 的外角平分线，lF 2M，可得|PM| |PF 2|，而椭圆 E： 1 的 a5，2a|PF 1|+|PF2|PF 1|+|PM|F 1M|10，故选：A【点评】本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ） （x R）满足 f（x ）f（ax） ，若函数 y| x2ax5| 与yf（x ）图象的交点为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x m，y m） ，且 2m，则 a（ ）A1 B2 C3 D4
20、【分析】求出 f（x ）的对称轴，y|x 2ax5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值【解答】解：f（x ）f（ax） ，f（x）的图象关于直线 x 对称，又 y|x 2ax5|的图象关于直线 x 对称，当 m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线 x2 对称，第 12 页（共 22 页）x 1+x2+x3+xm a2m，解得 a4当 m 奇数时，两图象的交点有 m1 个两两对称，另一个交点在对称轴上，x 1+x2+x3+xma + 2m 解得 a4故选：D【点评】本题考查了函数的图象对称关系，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本大题共 4 小题，每
21、小题 5 分13 （5 分）向量 ， 是相互垂直的单位向量，若向量 2 +3 ， m （mR） ， 1，则 m 【分析】利用向量数量积的性质运算得到 ，与已知相等，列式解得【解答】解： （2 +3 ）（ m ）2 23m 2+（32m ） 23m又已知 1，所以 23m 1，解得 m故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题14 （5 分）曲线 yxe x+x+1 在点（0，1）处的切线方程为 2xy +10 【分析】求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线方程【解答】解：yxe x+x+1 的导数为 y（1+x）e
22、 x+1，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为 1+12，则曲线在点（0，1）处的切线方程为 y2x+1故答案为：2xy +10【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题15 （5 分）三棱锥 SABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，且 SA3，SB4，SC 5，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 50 【分析】利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解【解答】解：由 SA，SB，SC 两两垂直，联想长方体，第 13 页（共 22 页）利用长方体外接球直径为其体对角线长可得球直径为 ， 50，故答案为：50【点评】此题考
23、查了三棱锥外接球问题，难度不大16 （5 分）已知直线 l：x +y60，过直线上一点 P 作圆 x2+y24 的切线，切点分别为A，B ，则四边形 PAOB 面积的最小值为 2 ，此时四边形 PAOB 外接圆的方程为 （x ） 2+（y ） 2 【分析】求出 O 到直线 l 的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时 P 的坐标，得出 OP 的中点坐标，从而得出外接圆方程【解答】解：圆 x2+y24 的半径为 2，圆心为（0，0） ，由切线性质可知 OAAP ，AP ，又OAP 的面积 S ，当 OP 取得最小值时，OAP 的面积取得最小
24、值，又 OP 的最小值为 O 到直线 l 的距离 d 3 四边形 PAOB 面积的最小值为：2S OAP 2 2 此时，四边形 PAOB 外接圆直径为 d3 OP直线 l，直线 OP 的方程为 xy0联立方程组 ，解得 P（3，3） ，OP 的中点为（ ， ） ，四边形 PAOB 外接圆的方程为（x ） 2+（y ） 2 故答案为：2 ， （x ） 2+（y ） 2 【点评】本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 abcosC+csin B第 14 页（
25、共 22 页）（1）求 B；（2）求 ysinA sinC 的取值范围【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosBsinCsinCsin B，由 sinC0，可求 cosBsin B，结合范围 0B，可求 B 的值（2）由 B ，利用三角函数恒等变换的应用可求 y cosC，由 0C ，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）由正弦定理得：sinAsin BcosC+sinCsinB，即 sin（B+C） sinBcosC+sinCsinB，故 cosBsinCsinCsin B，因为 sinC0，所以 cosB
26、sinB，因为 0B，所以 B ；（6 分）（2）因为 B ，所以 ysin A sinCsin（ C） sinCsin cosCcos sinC cosC，又因为 0C ，且 y cosC 在（0， ）上单调递减，所以 ysin A sinC 的取值范围是（ ， ） （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进
27、行运动量的 PK 和点赞现从张华的好友中随机选取 40 人（男、女各 20 人） ，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：第 15 页（共 22 页）步数性别02000 20015000 50018000 800110000 10000男 1 2 4 7 6女 0 3 9 6 2（1）若某人一天行走的步数超过 8000 步被评定为“积极型” ，否则被评定为“懈怠型” ，根据题意完成下列 22 列联表，并据此判断能否有 90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？积极型 懈怠型 总计男女总计（2）在张华的这 40 位好友中，从该天行走的步数不超过 5000 步的人中随机抽取 2 人，设抽取
28、的女性有 X 人，求 X1 时的概率参考公式与数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2 ，其中 na+b+c+d【分析】 （1）先得 22 列联表，再根据列联表计算 K2 的观测值，并结合临界值表可得；（2）用列举法列举出所有基本事件的种数以及 x1 包含的基本事件后根据古典概型的概率公式可得【解答】解：（1）由题意可得列联表积极型 懈怠型 总计男 13 7 20女 8 12 20总计 21 19第 16 页（共 22 页）K2 2.5062
29、.706，因此，没有 90%的把握认为男、女的 “评定类型”有差异；（6 分）（2）该天行走的步数不超过 5000 步的人有 3 男 2 女共 6 人，设男生为 A、B、C，女生为 a，b，c，A B C a b cA AB AC Aa Ab AcB BC Ba Bb BcC Ca Cb Cca ab acb bcc由图表可知：所有的基本事件个数 n15，事件“X1”包含的基本事件个数 N9，所以 P（X 1） （12 分）【点评】本题考查了独立性检验，属中档题19 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC2，点 M 为 DC 的中点，将ADM 沿AM 折起，使得平面ADM平面 AB
30、CM（1）求证：ADBM；（2）求点 C 到平面 BDM 的距离【分析】 （1）取 AM 中点 O，连结 DO，可得 DOBM，AMBM，MB平面 ADM，即可得 BMAD；（2） ，记点 C 到平面 BDM 的距第 17 页（共 22 页）离为 h，V CBDM ，又 vDBCM V CBDM ，即可得点 C 到平面BDM 的距离【解答】 （1）证明：取 AM 中点 O，连结 DO，因为平面 ADM平面 ABCM，ADDM ，所以 OD平面 ABCM，DOBM，易知 AMBM，所以 MB平面 ADM，所以 BMAD ； （6 分）（2）解：在矩形 ADCB 中，AB2BC2，点 M 为 DC
31、 的中点，DM CM ，BMAM ，DO ，由（1）知 MB平面 ADM，DM 平面 ADM，BMDM，S BDM ，又DO平面 ABCM， ，记点 C 到平面 BDM 的距离为 h，V CBDM ，又v DBCM VCBDM ，解得 h ，点 C 到平面 BDM 的距离为 （12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，第 18 页（共 22 页）考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力20 （12 分）如图，已知直线 L：xmy+1 过椭圆 C： + 1（ab0）的右焦点F，且交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、F、B 在直线 G；x
32、a 2 上的射影依次为点D、K、E，若抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的顶点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 L 交 y 轴于点 M， 1 ， 2 ，当 M 变化时，求 1+2 的值【分析】 （1）求出抛物线的焦点，可得 b 的值，结合 F 的坐标，即可确定椭圆的方程；（2）直线 xmy+1 代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求 1+2 的值【解答】解：（1）抛物线 x24 y 的焦点为（0， ） ，且为椭圆 C 的上顶点b ，b 23，又 F（1，0） ，c 1，a 2b 2+c24椭圆 C 的方程为 ；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则直线
33、 xmy+1 代入椭圆方程，整理可得：（3m 2+4）y 2+6my90，故144（m 2+1）0y 1+y2 ，y 1y2 1 ，（x 1，y 1+ ） 1（1x 1，y 1） 11 第 19 页（共 22 页）同理 21 1+22 （ ） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，联立方程组，利用韦达定理解题是解题的关键21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 2+（a2）lnx+1（a R） （1）若函数在点（1，f（1） ）处的切线平行于直线 y4x+3，求 a 的值；（2）令 c（x）f（x）+（3a）lnx+2a，讨论 c（x）的单调性；（3）a1
34、时，函数 yf（x）图象上的所有点都落在区域 内，求实数 t 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 a 的方程，求出 a 的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可；（3）代入 a 的值，整理得：t2x + ，令 g（x）2x + ，根据函数的单调性求出 t 的范围即可【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，（1）f（x） 2ax+ ，由题意 f（1）4，所以 2a+（a2）4，解之得：a2（4 分）（2）由已知 c（x ）ax 2+lnx+2a+1，则 c（x）2ax + ，当 a0，则当 x（0，+）时，有 c（x）0，第 20 页（共 22
35、页）故 c（x）在 x（0，+）上单调递增；当 a0，则当 x（0， ）时有 c（x）0，当 x（ ，+） ）时有 c（x）0，故 c（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+）单调递减；（8 分）（3）a1 时，f（x ）x 2lnx+1，即当 x0 时恒有 x2lnx+1tx x 2，又 x（0，+ ） ，整理得：t2x + ，令 g（x）2x + ，则 g（x）2 ，令 h（x）2x 2+lnx2，由 h（x）4x + 0 恒成立，即 h（x）2x 2+lnx2 在（0，+）上单调递增，且 h（1）0，则 g（1）0，所以 x（0，1 ）时 h（x）0，x（1，+）时 h（x）0，所以 x（
36、0，1 ）时 g（x）0，此时 yg（x）单调递减，x（1，+）时 g（x）0，此时 yg（x）单调递增，所以 g（x）g（1）3，所以 t3；（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的方程为（x1） 2+（y 1） 22（1）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；第 21 页（共 22 页）（2）直线 （0）与 C1 的异于极点的交点为 A，与
37、C2 的异于极点的交点为B，求| AB|的最大值【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转化（2）利用极径对三角函数关系式进行恒等变换，利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：（1）由曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为：x 2+（y2） 24将 xcos ，ysin 代入，化简得：4sin，即 C1 的极坐标方程为 4sin ；将 xcos ，ysin 代入 C2 的方程（x1） 2+（y1） 22，得 2cos+2sin ，化简得 ，即 C2 的极坐标方程为 ；（2）由极径的几何意义，|AB| 1 2|4sin2cos2si
38、n| ，当 时， ，所以：|AB|的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|2 x3|，g（x ）|x+1|+|x a|（l）求 f（x）1 的解集；（2）若对任意的 tR，sR，都有 g（s）f （t） 求 a 的取值范围【分析】 （1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的 tR，s R，都有 g（s）f （t） ，可第 22
39、 页（共 22 页）得 g（x） minf（x） max，进一步求出参数的取值范围【解答】解：（1）函数 f（ x）|2x+1|2 x3|，故 f（x）1，等价于 |2x+1|2 x3|1，令 2x+10，解得 x ，令 2x30，解得 x ，则：不等式等价于： ，或 ，或 解求得 x，解求得 ，解求得 x 综上可得，不等式的解集为x| （2）若对任意的 tR，sR，都有 g（s）f（t） ，可得 g（x） minf （x） max，函数 f（x） |2x+1|2x3|2 x+12x+3|4，f（x） max4g（x）|x+1|+|xa| |x+1x+a|a+1|，故 g（x） min|a+1|，|a +1|4，a+14 或 a+14，求得 a3 或 a5故所求的 a 的范围为a|a3 或 a5 【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，零点讨论法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围问题
