1、2019 年河北省衡水市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1 （5 分）设集合 Ax|x1|3，B x|2x+14，则 AB（ ）A0，2 B （1，3） C1 ，3） D 2，+）2 （5 分）复数 z11+ i，z 2i ，其中 i 为虚数单位，则 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di3 （5 分）已知 p，q 是两个命题，那么“pq 是真命题”是“p 是假命题”的（ ）A既不充分也不必要条件 B充分必要条件C充分不必要条件 D必要不充分条件4 （5 分）
2、某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少B与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍C2015 年与 2018 年艺体达线人数相同D与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加5 （5 分）程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本
3、及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用卷八中第33 问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ）第 2 页（共 27 页）A28 B56 C84 D1206 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为12，则椭圆 C 的方程为（ ）A BC D7 （5 分）如图所示，ABC 中，
4、点 D 是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点，则 （ ）A B C D8 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f（x ）x 2+m，g（x）6lnx4x，设两曲线yf（x ）与 y g（x）在公共点处的切线相同，则 m 值等于（ ）第 3 页（共 27 页）A5 B3 C3 D59 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图上的对应点为P，点 A、B、C 在俯视图上的对应点为 A、B、C，则 PA 与 BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D10 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，质点
5、 M，N 间隔 3 分钟先后从点 P 出发绕照点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 M 与 N 的纵坐标之差第 4 次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A37.5 分钟 B40.5 分钟 C49.5 分钟 D52.5 分钟11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且对任意的不相等的实数x1，x 20，+）有 0 成立，若关于 x 的不等式 f（2mxlnx 3）2f（3）f（2mx+lnx+3）在 x1，3 上恒成立，则实数 m 的取值范围（ ）A ，1+ B ，2+ C ，2+ D ，1+ 12 （5 分）已知 A，B
6、，C，D 四点均在以点 O1 为球心的球面上，且AB ACAD2 ，BCBD 4 ，CD8若球 O2 在球 O1 内且与平面 BCD 相切，第 4 页（共 27 页）则球 O2 直径的最大值为（ ）A1 B2 C4 D8二、填空题（每题 5 分，共 20 分把答案在答题纸的横线上）13 （5 分）若函数 f（x ）log 2（x+a）的零点为2，则 a 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最小值为 15 （5 分）已知双曲线 C： 的右焦点为 F，左顶点为 A以 F为圆心，FA 为半径的圆交 C 的
7、右支于 P，Q 两点，APQ 的一个内角为 60，则 C 的离心率为 16 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，AB1， ，BDBC，BD2BC，则 AD 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17 （12 分）已知数列a n为等差数列，a 7a 210，且 a1，a 6，a 21 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，数列b n的前 n 项和为 Sn，若 Sn ，求 n 的值18 （12 分）如图 1 所示，在等腰梯形 ABCD
8、中，ABCD，BAD45，AB 2CD4，点 E 为 AB 的中点将ADE 沿 DE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到如图 2 所示的四棱锥 PEBCD，点 M 为棱 PB 的中点（1）求证：PD平面 MCE；（2）若平面 PDE平面 EBCD，求三棱锥 MBCE 的体积19 （12 分）已知顶点是坐标原点的抛物线 的焦点 F 在 y 轴正半轴上，圆心在直线第 5 页（共 27 页）上的圆 E 与 x 轴相切，且 E，F 关于点 M（1，0）对称（1）求 E 和 的标准方程；（2）过点 M 的直线 l 与 E 交于 A，B，与 交于 C，D，求证： 20 （12 分）某商店销售某海鲜，统
9、计了春节前后 50 天该海鲜的需求量 x （10x 20，单位：公斤） ，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货 1 次，商店每销售 1 公斤可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理 1 公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 公斤可获利 30 元假设商店每天该海鲜的进货量为 14 公斤，商店的日利润为 y 元（）求商店日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均数；估计日利润在区间580 ，760内的概率21 （12 分）已知函数 （）求 f（x）的单调区间；（）当 x0 时
10、，0f（x）1，求 a 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做和，则按所做的第一题记分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 22cos4sin+4，直线 l1 的极坐标方程为（cos sin ）3（）写出曲线 C 和直线 l1 的直角坐标方程；（）设直线 l2 过点 P（1，0）与曲线 C 交于不同两点 A，B，AB 的中点为 M，l 1第 6 页（共 27 页）与 l2 的交点为 N，求| PM|PN|选修 4-5：
11、不等式选讲23若关于 x 的不等式|2x+2|2x 1|t0 在实数范围内有解（）求实数 t 的取值范围；（）若实数 t 的最大值为 a，且正实数 m，n，p 满足 m+2n+3pa，求证：+ 3第 7 页（共 27 页）2019 年河北省衡水市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1 （5 分）设集合 Ax|x1|3，B x|2x+14，则 AB（ ）A0，2 B （1，3） C1 ，3） D 2，+）【分析】根据题意先求出集合 A 和集合 B，再求 AB【解答】解：
12、由|x 1|3 得到2x4，即 A2，4，由 2x+142 2 得到 x1，即 B1 ，+） ，则 AB2，+ ） ，故选：D【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答2 （5 分）复数 z11+ i，z 2i ，其中 i 为虚数单位，则 的虚部为（ ）A1 B1 Ci Di【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数 z11+ i，z 2i ， 1i， 1i，其虚部为1故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题3 （5 分）已知 p，q 是两个命题，那么“pq 是真命题”是“p 是假命题”的（ ）A既不充分也不必要条件 B充分必要条件C充分
13、不必要条件 D必要不充分条件【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“pq 是真命题”是“p 是假命题”的充分不必要条件，得解【解答】解：因为“pq 是真命题”则命题 p，q 均为真命题，所以p 是假命题，第 8 页（共 27 页）由“p 是假命题” ，可得 p 为真命题，但不能推出“pq 是真命题” ，即“pq 是真命题”是“p 是假命题”的充分不必要条件，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题4 （5 分）某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，
14、得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少B与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍C2015 年与 2018 年艺体达线人数相同D与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加【分析】作差比较可得【解答】解：设 2015 年高考考生人数为 x，则 2018 年高考考生人数为 1.5 线，由 24%1.5x28%x 8% x0，故选项 A 不正确；由（40%1.5x32%x ）32%x ，故选项 B 不正确；由 8%1.5x8%x 4% x 0，故选项 C 不正确；由 28%1.5x32%x 42%
15、x0，故选项 D 正确故选：D【点评】本题考查了概率分布直方图，属中档题5 （5 分）程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用卷八中第33 问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框第 9 页（共 27 页）图执行该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ）A28 B56 C84 D120【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，
16、分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得i0，n0，S0执行循环体，i1，n1，S 1不满足条件 i7，执行循环体， i2，n3，S4不满足条件 i7，执行循环体， i3，n6，S10不满足条件 i7，执行循环体， i4，n10，S20不满足条件 i7，执行循环体， i5，n15，S35不满足条件 i7，执行循环体， i6，n21，S56不满足条件 i7，执行循环体， i7，n28，S84满足条件 i7，退出循环，输出 S 的值为 84故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6 （5 分）阿基米德（
17、公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名第 10 页（共 27 页）的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为12，则椭圆 C 的方程为（ ）A BC D【分析】利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程【解答】解：由题意可得： ，解得 a4，b3，因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： 故选：A【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力7 （5 分）如图所示，ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，
18、E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点，则 （ ）A B C D【分析】根据点 D 是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点即可得出： ，然后进行向量的数乘运算即可【解答】解：据题意， 故选：B【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算8 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f（x ）x 2+m，g（x）6lnx4x，设两曲线第 11 页（共 27 页）yf（x）与 yg（x ）在公共点处的切线相同，则 m 值等于（ ）A5 B3 C3 D5【分析】根据题意，设两曲线 yf （x）与 yg（x）的公共点（a，b） ，求出两
19、个函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，分析可得 2a 4，解可得 a 的值，将a 的值代入 g（x）的解析式可得 b 的值，即可得公共点（a，b）的坐标，将（a，b）代入 f（x）的解析式，计算可得 m 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设两曲线 yf （x）与 yg（x）的公共点（a，b） ，f（x）x 2+m，其导数 f（x）2x，则切线的斜率 kf（a）2a，g（x）6lnx4x ，其导数 g（x） 4，则切线的斜率 kf （a） 4，则有 2a 4，解可得 a1 或3（舍） ，则 b6ln144，则公共点为（1，4） ，则有（4）1+m，解可得 m5；故选：D【点评】本题考
20、查利用导数分析函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图上的对应点为P，点 A、B、C 在俯视图上的对应点为 A、B、C，则 PA 与 BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线 PA 与 BC 所成的角，再计算所成角的余弦值【解答】解：由三视图知，该几何体是直四棱锥 PABCD，且 PD平面 ABCD，如图第 12 页（共 27 页）所示；取 CD 的中点 M，连接 AM、PM，则 AMBC ，PAM 是异面直线 PA 与 BC 所成的角，PAM
21、中，PA2 ，AMPM ，cosPAM ，即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 故选：B【点评】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题10 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，质点 M，N 间隔 3 分钟先后从点 P 出发绕照点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 M 与 N 的纵坐标之差第 4 次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A37.5 分钟 B40.5 分钟 C49.5 分钟 D52.5 分钟【分析】由题意可得：yN cos x，y Msin sin x，计算第 13 页（共 27 页）yM
22、 yN sin ，即可得出【解答】解：由题意可得：y N cos x，y Msinsin x，y M yNsin x+ sin ，令 sin 1，解得： x+ 2k + ，x12k+ ，k0，1，2，3M 与 N 的纵坐标之差第 4 次达到最大值时，N 运动的时间312+ 37.5（分钟）故选：A【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且对任意的不相等的实数x1，x 20，+）有 0 成立，若关于 x 的不等式 f（2mxlnx 3）2f（3）f（2mx+lnx+
23、3）在 x1，3 上恒成立，则实数 m 的取值范围（ ）A ，1+ B ，2+ C ，2+ D ，1+ 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得 02mxlnx6 对 x1，3恒成立，2m 且 2m 对 x1，3恒成立求得相应的最大值和最小值，从而求得 m的范围【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，函数 f（x）为偶函数，函数数 f（x）在 0，+ ）上递减，f（x）在（ ，0）上单调递增，若不等式 f（2mxlnx 3）2f （3）f（2mx+lnx+3）对 x1，3恒成立，即 f（2mxlnx3）f（3）对 x1，3恒成立32mxlnx33 对
24、x1，3恒成立，第 14 页（共 27 页）即 02mxlnx6 对 x1， 3恒成立，即 2m 且 2m 对 x1，3恒成立令 g（x） ，则 g（x） ，在1，e）上递增， （e，3上递减，g（x） max 令 h（x） ，h（x） 0，在1，3上递减，h（x） min 综上所述，m ， 故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题12 （5 分）已知 A，B，C，D 四点均在以点 O1 为球心的球面上，且AB ACAD2 ，BCBD 4 ，CD8若球 O2 在球 O1 内且与平面 BCD 相切，则球 O2 直径的最大值为（
25、 ）A1 B2 C4 D8【分析】由题意可得三棱锥 ABCD，底面为等腰直角三角形，斜边为 CD，球心 O1 在直线 AF 上，运用截面圆的性质，由勾股定理可得球 O1 的半径 r1，再由球 O2 在球 O1内且与平面 BCD 相切，即可得到所求最大值【解答】解：如图三棱锥 ABCD，底面为等腰直角三角形，斜边为 CD，底面圆心为 CD 中点 F，由 ABACAD，可得 AF平面 BCD，球心 O1 在直线 AF 上，AF 2，设球 O1 的半径为 r1，可得 r12（r 12） 2+16，解得 r15，由球 O2 在球 O1 内且与平面 BCD 相切，则球心 O2 在直线 AE
26、 上，第 15 页（共 27 页）球 O2 直径的最大值为 102 8故选：D【点评】本题考查球的截面的性质，以及勾股定理的运用，考查运算能力和空间想象能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，共 20 分把答案在答题纸的横线上）13 （5 分）若函数 f（x ）log 2（x+a）的零点为2，则 a 3 【分析】根据题意，由函数零点的定义可得 f（2）log 2（a2）0，解可得 a 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，若函数 f（x ）log 2（x+a）的零点为2，则 f（2）log 2（a2）0，即 a21，解可得 a3，故答案为：3【点评】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定
27、义，属于基础题14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最小值为 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域，第 16 页（共 27 页）联立 ，解得 A（2，2） ，化目标函数 z2x+y 为 y2x +z，由图可知，当直线 y2x +z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 6故答案为：6【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15 （5 分）已知双曲线 C： 的右焦点为 F，左顶点为 A以 F为圆心，FA 为半径的
28、圆交 C 的右支于 P，Q 两点，APQ 的一个内角为 60，则 C 的离心率为 【分析】由题意可得 PAPB，又，APQ 的一个内角为 60，即有PFB 为等腰三角形，PFPAa+ c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求【解答】解：如图，设左焦点为 F1，圆于 x 轴的另一个交点为 B，APQ 的一个内角为 60PAF 30，PBF 60 PFAFa+c，PF13a+c，在PFF 1 中，由余弦定理可得 3c2ac4a 203e 2e 40 ，故答案为： 第 17 页（共 27 页）【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以
29、及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题16 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，AB1， ，BDBC，BD2BC，则 AD 的最小值为 【分析】设 BCt，BD2t，ABD ，在ABD 和ABC 中，分别运用余弦定理，结合同角平方关系，可令 f（ t）1+4t 22 ，0t2，求得导数和单调性，可得最小值【解答】解：设 BCt，BD2t，ABD ，在ABD 中，由余弦定理可得AD2AB 2+BD22AB BDcos1+4t 24t cos，在ABC 中，由余弦定理可得AC2AB 2+BC22ABBCcos（ +90） ，即为 51+t 2+2tsin，
30、可得 sin ，0t2，则 cos ，设 f（t）1+4t 24tcos 1+4t 24t ，即为 f（t）1+4t 22 ，0t 2，导数为 f（t）8t2 ，第 18 页（共 27 页）由 f（t）0，解得 t ，检验可得 0t ，f（t）递减，2t 时，f（t ）递增；可得 f（t）的最小值为 f（ ）1+82 5，则 AD 的最小值为 ，故答案为： 另解：由推广的托勒密定理可得四边形 ABCD 中，ACBDABCD+ADBC，当且仅当四边形 ABCD 为圆内接四边形，取得等号设 BCt，BD2t，BDBC，可得 CD t，则 2 t t+ADt，可得 AD ，当且仅当四边形 ABCD
31、为圆内接四边形，AD 取得最小值 故答案为： 【点评】本题考查三角形的余弦定理、同角的平方关系和导数的运用：求单调性和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17 （12 分）已知数列a n为等差数列，a 7a 210，且 a1，a 6，a 21 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，数列b n的前 n 项和为 Sn，若 Sn ，求 n 的值【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
32、（2）求得 bn （ ） ，运用裂项相消求和可得 Sn，解方程可得 n第 19 页（共 27 页）【解答】解：（1）设数列a n为公差为 d 的等差数列，a7a 210，即 5d10，即 d2，a1，a 6，a 21 依次成等比数列，可得a62a 1a21，即（a 1+10） 2a 1（a 1+40） ，解得 a15，则 an5+2（n1）2n+3 ；（2）b n （ ） ，即有前 n 项和为 Sn （ + + ） （ ） ，由 Sn ，可得 5n4n+10，解得 n10【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题18 （1
33、2 分）如图 1 所示，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，BAD45，AB 2CD4，点 E 为 AB 的中点将ADE 沿 DE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到如图 2 所示的四棱锥 PEBCD，点 M 为棱 PB 的中点（1）求证：PD平面 MCE；（2）若平面 PDE平面 EBCD，求三棱锥 MBCE 的体积【分析】 （1）推导出四边形 EBCD 是平行四边形，连结 BD，交 CE 于点 O，连结 OM，推导出 OMPD，由此能证明 PD平面 MCE（2）推导出 DEBC，AD BC，ADDE ，从而 ADDE，再由 PDDE，得 PD平面 EBCD，从而 OM平面 EBCD，由
34、此能求出三棱锥 MBCE 的体积第 20 页（共 27 页）【解答】证明：（1）在图（1）中，BE CD，且 BECD，四边形 EBCD 是平行四边形，在图 2 中，连结 BD，交 CE 于点 O，连结 OM，O 是 BD 的中点，又点 M 是棱 PB 的中点，OM PD，PD平面 MCE，OM平面 MCE，PD平面 MCE解：（2）在图 1 中，EBCD 是平行四边形，DEBC，四边形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ADDE ，BAD45，AD DE ，在图 2 中，PDDE，又平面 PDE平面 EBCD，且平面 PDE平面 EBCDDE，PD平面 EBCD，由（1）知 OMPD ，OM平
35、面 EBCD，在等腰直角三角形 ADE 中，AE2，ADDE2，OM ，S BCE S ADE 1，三棱锥 MBCE 的体积 VMBCE 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已知顶点是坐标原点的抛物线 的焦点 F 在 y 轴正半轴上，圆心在直线第 21 页（共 27 页）上的圆 E 与 x 轴相切，且 E，F 关于点 M（1，0）对称（1）求 E 和 的标准方程；（2）过点 M 的直线 l 与 E 交于 A，B，与 交于 C，D，求证： 【分析】 （1）根据题意可得 ，解得即可，即
36、可求出椭圆的标准方程，（2）设 l 的斜率为 k，那么其方程为 yk（x+1） ，根据韦达定理和弦长公式即可求出【解答】解：（1）设 的标准方程为 x22py，则 已知 E 在直线 上，故可设 E（2a，a） 因为 E，F 关于 M（1，0）对称，所以解得 ，所以 的标准方程为 x24y因为 E 与 x 轴相切，故半径 r| a|1，所以 E 的标准方程为（x +2） 2+（y +1） 21（2）设 l 的斜率为 k，那么其方程为 yk（x+1） ，则 E（2，1）到 l 的距离 ，所以 由 消去 y 并整理得：x 24kx4k 0设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则 x1+
37、x24k，x 1x24k，那么 ）所以 所以|CD| 22| AB|2，即 第 22 页（共 27 页）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于中档题20 （12 分）某商店销售某海鲜，统计了春节前后 50 天该海鲜的需求量 x （10x 20，单位：公斤） ，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货 1 次，商店每销售 1 公斤可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理 1 公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 公斤可获利 30 元假设商店每天该海鲜的进货量为 14 公斤，商店的日利润为
38、y 元（）求商店日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均数；估计日利润在区间580 ，760内的概率【分析】 （）由题意能求出商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式（） 由频率分布直方图得海鲜需求量在区间10 ，12）的频率是 0.16，海鲜需求量在区间12，14）的频率是 0.24，海鲜需求量在区间14 ， 16）的频率是 0.30，海鲜需求量在区间16，18）的频率是 0.20，海鲜需求量在区间18，20）的频率是 0.10，由此能求出这 50 天商店销售该海鲜日利润 y 的平均数第 23 页（
39、共 27 页）当 x14 时，3014+2806014140700，函数 在区间10，20 上单调递增，推导出日利润在区间580，760内的概率即求海鲜需求量在12，16的频率，由此能求出日利润在区间580，760 内的概率【解答】解：（）商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式为：y ，化简，得： （） 由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间10，12）的频率是 20.080.16，海鲜需求量在区间12，14）的频率是 20.120.24，海鲜需求量在区间14，16）的频率是 20.150.30，海鲜需求量在区间16，18）的频率是 20.100.20，海鲜需求量在区间18，20）的频率
40、是 20.050.10，这 50 天商店销售该海鲜日利润 y 的平均数为：（11601410）0.16+（13601410）0.24+（1530+2014）0.30+（1730+2014）0.2+ （ 1930+2014）0.10698.8（元） 当 x14 时，3014+2806014140700，函数 在区间10，20 上单调递增，y58060x140，得 x12 ，y76030x+280 ，得 x16，日利润在区间580，760内的概率即求海鲜需求量在12，16的频率，日利润在区间580，760内的概率为 P0.24+0.300.54 【点评】本题考查函数表达式、平均数、概率的求法，考查
41、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题21 （12 分）已知函数 （）求 f（x）的单调区间；第 24 页（共 27 页）（）当 x0 时，0f（x）1，求 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（）通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性求出函数的极值，确定 a 的范围即可【解答】解：（）f（x ） ，当 a 0 时， f（x ） ，令 f（x）0 ，解得：x 1 ，x 22，且 x1x 2，当 x（， ）（2，+）时，f（x）0，当 x（ ， 2）时，f（x）0，故 f（x）在（ ，2）递增，在
42、（， ） ， （2，+）递减，当 a 0 时， f（x ） ，故 f（x）在（ ，2）递增，在（2，+）递减，当 a 0 时，令 f（x）0，解得：x 12，x 2 且 x1x 2，故 f（x）在（ ，2） ， （ ，+）递增，在（2， ）递减，当 a 时， f（x ） 0，故 f（x）在 R 递增，当 a 时， x1 ，x 22 且 x1x 2，故 f（x）在（ ， ） ， （2，+）递增，在（ ，2）递减；（）由 f（0）0 及（）知：a0 时，f（2） +11，不合题意， a0 时，a 需满足条件：第 25 页（共 27 页），由（i）得 a ，由（iii ）知，当 x 时，ax 2+x
43、10，a ，故 a ，故 a ，a 时， f（x ）在0，+）递增，f（x ）f（0）0，f（x） +11，故 a ，a 时， f（x ） 极大值 f（ ）1 1，f（x） 极大值 f（2） +10，由中（ iii）知 f（x ）1，解得：a ，故 a ，综上，a 的范围是 ， 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做和，则按所做的第一题记分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标
44、系，已知曲线 C 的极坐标方程为 22cos4sin+4，直线 l1 的极坐标方程为（cos sin ）3第 26 页（共 27 页）（）写出曲线 C 和直线 l1 的直角坐标方程；（）设直线 l2 过点 P（1，0）与曲线 C 交于不同两点 A，B，AB 的中点为 M，l 1与 l2 的交点为 N，求| PM|PN|【分析】 （）直接利用 xcos，ysin ， 2x 2+y2 即可化曲线 C 与直线 l1 的极坐标方程为直角坐标方程；（）直线 l2 的参数方程 （t 为参数） ，将其代入曲线 C 的普通方程，利用根与系数的关系可得 M 的参数为 ，设 N 点的参数为t3，把 代入 xy30
45、 求得 则|PM| |PN|可求【解答】解：（）曲线 C： 22cos4sin+4 的直角坐标方程为：x2+y22x4y+4 ，即（x1） 2+（y +2） 29，l1：（ cossin）3 的直角坐标方程为：xy30 ；（）直线 l2 的参数方程 （t 为参数） ，将其代入曲线 C 的普通方程并整理得 t24（cos sin ）t10，设 A，B 两点的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t24（cossin ） M 为 AB 的中点，故点 M 的参数为 ，设 N 点的参数为 t3，把 代入 xy30，整理得 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，着重考查直线参数方程中参数 t 的几何意义的应用，考查计算能力，是中档题选修 4-5：不等式选讲23若关于 x 的不等式|2x+2|2x 1|t0 在实数范围内有解（）求实数 t 的取值范围；（）若实数 t 的最大值为 a，且正实数 m，n，p 满足 m+2n+3pa，求证：+ 3【分析】 （1）根据绝对值不等式的性质求得|2x +2|2x1|的最大值，再将关于 x 的不等第 27 页（共 27 页）式|2 x+2|2x 1|t0 在实数范围内有解转化为最大值可解决；（2）由（1）可知，a3，然后利用基本不等式或柯西不等式可证
