1、2019 年河北省石家庄二中高考数学二模试卷（理科）一、单项选择题：（每题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 60 ，Bx|y lg （ x2），则 AB（ ）A B2，2） C （2，3 D （3，+）2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i （其中 i 为虚数单位） ，则下列结论正确的是（ ）A|z|2 Bz 的虚部为 iCz 22 Dz 的共轭复数为 1i3 （5 分）若函数 f（x ） ，则 f（f （10） ）（ ）A9 B1 C D04 （5 分）某船只在海面上向正东方向行驶了 xkm 迅速将航向调整
2、为南偏西 60，然后沿着新的方向行驶了 3 km，此时发现离出发点恰好 3km，那么 x 的值为（ ）A3 B6 C3 或 6 D4 或 65 （5 分）为计算 T ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）AWW i BWW（i+1） CW W（i +2） DW W（i+3）6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D7 （5 分）已知函数 f（x ）e x1 +e1x ，则满足 f（x1）e+e 1 的 x 的取值范围是（ ）A1x3 B0x2 C0xe D1x e8 （5 分）如图，
3、矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（0，1） ，B（，1） ，C（，1） ，D（0，1） ，正弦曲线 f（x）sinx 和余弦曲线 g（x）cos x 在矩形 ABCD内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D9 （5 分）如图，直线 2x+2y30 经过函数 f（x）sin（x+） （ 0，| |）图象的最高点 M 和最低点 N，则（ ）A ， B ，0 C ， D ， 第 3 页（共 25 页）10 （5 分）已知双曲线 C： 1（b0） ，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2的直线 l
4、 交 C 的左、右支分别于 A，B，且|AF 1|BF 1|，则|AB|（ ）A4 B8 C16 D3211 （5 分）设函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（ ）A B C D12 （5 分）一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A1 B C D二、填空题：（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知向量 （2，1） ， 10，| + |5 ，则| | 14 （5 分）甲乙两人组队参加
5、猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为 ，乙猜对每个谜语的概率为 ，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 15 （5 分）已知数列a n的前项和为 Sn，满足 Sn（1 ） nan+ ，则 16 （5 分）已知 O 为坐标原点，圆 M：（x+1） 2+y21，圆 N：（x2） 2+y24A，B分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 SOAB 的最大值为 三、解答题17已知等比数列a n满足 ana n+1，a 2+a3+a42
6、8，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；第 4 页（共 25 页）（2）若 ，S nb 1+b2+bn，对任意正整数 n，S n+（n+m）a n+10 恒成立，试求 m 的取值范围18如图，ABC 中，AB BC 4，ABC90，E， F 分别为 AB，AC 边的中点，以EF 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE（1）证明：BC平面 PBE；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值19小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1
7、元；乙方案：底薪 140 元，每日前 55单没有奖励，超过 55 单的部分每单奖励 12 元（）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：元）与送货单数 n 的函数关系式；（）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 （n1，2，3，4，5）时，日平均派送量为 50+2n 单若将频率视为概率，回答下列问题：根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X（单位：元） ，试分别求出甲、乙两种方案的日薪 X 的分布列，数学期望及方差；结合 中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选
8、择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由（参考数据：0.620.36，1.4 21.96，2.6 26.76，3.4 211.56，3.6 212.96，4.6 221.16，15.6 2243.36，20.4 2416.16，44.4 21971.36）第 5 页（共 25 页）20已知椭圆 的左右顶点分别为 A1，A 2，右焦点 F 的坐标为，点 P 坐标为（2，2） ，且直线 PA1x 轴，过点 P 作直线与椭圆 E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点 B 的上方） ，直线 OP 与 AA2 交于点 Q，连接QA1（1）求椭圆 E 的方程；（2）设直线 QA1 的斜率为 k
9、1，直线 A1B 的斜率为 k2，问： k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由21已知函数 f（x ）ax ，a R（1）若 f（x） 0，求 a 的取值范围；（2）若 yf（ x）的图象与 ya 相切，求 a 的值选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB |8，求 23已知 a，b 是正实数，且 a+b2，证明：
10、（1） + 2；（2） （a+b 3） （a 3+b）4第 6 页（共 25 页）2019 年河北省石家庄二中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题：（每题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 60 ，Bx|y lg （ x2），则 AB（ ）A B2，2） C （2，3 D （3，+）【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| 2x 3，Bx|x2；AB（2，3 故选：C【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i （其中
11、i 为虚数单位） ，则下列结论正确的是（ ）A|z|2 Bz 的虚部为 iCz 22 Dz 的共轭复数为 1i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：由（1+i）z 2i ，得 z ，|z| ，z 的虚部为 1，z 2（1+i ） 22i，z 的共轭复数为 1i 正确的是 D故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）若函数 f（x ） ，则 f（f （10） ）（ ）A9 B1 C D0【分析】推导出 f（10）lg101，从而 f（f （10）
12、 ）f（1） ，由此能求出结果【解答】解：函数 f（x ） ，f（10）lg101，第 7 页（共 25 页）f（f （10） ）f（1）10 11 1故选：B【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （5 分）某船只在海面上向正东方向行驶了 xkm 迅速将航向调整为南偏西 60，然后沿着新的方向行驶了 3 km，此时发现离出发点恰好 3km，那么 x 的值为（ ）A3 B6 C3 或 6 D4 或 6【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出 x 的值【解答】解：设出发点为 A，向东航行到 B 处
13、后改变航向到达 C，则 ABx，AC3，BC3 ，ABC30，由正弦定理可得： ，即 ，sinBAC BAC60或 120，（1）若BAC60，则ACB 90，ABC 为直角三角形，AB2AC6 ，（2）若BAC120，则ACB 30，ABC 为等腰三角形，ABAC3故选：C【点评】本题考查了解三角形的应用，考查正弦定理，余弦定理，属于基础题5 （5 分）为计算 T ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）第 8 页（共 25 页）AWW i BWW（i+1） CW W（i +2） DW W（i+3）【分析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可【解答】解：每
14、个分式的分母比分子多 2，即 WW （i+2） ，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A B C D【分析】由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，因此计算体积【解答】解：由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，第 9 页（共 25 页）体积为 ；故选：D【点评】本题考查了几何体的三视图；要求对应的几何体体积；关键是正确还原几何体7 （5 分）已知函数 f（x ）e x1 +e1x ，则满足 f（x1）e+e 1 的 x 的取值范围是
15、（ ）A1x3 B0x2 C0xe D1x e【分析】函数 f（x ）e x1 +e1x ，则 f（x1）e x2 +e2x ，令 g（x）f（x1）e x2 +e2x （e+ e1 ） ，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：函数 f（x ）e x1 +e1x ，则 f（x1）e x2 +e2x ，令 g（x）f（ x1）e x2 +e2x （e+e 1 ） ，g（x）e x2 e 2x ，令 g（x）0，解得 x2可得：函数 g（x）在（，2）上单调递减， （2，+）上单调递增g（x） ming（2）2（e +e1 ）0，又 g（1）g（3）01x3故选：A【点评】本题考查了
16、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 10 页（共 25 页）8 （5 分）如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（0，1） ，B（，1） ，C（，1） ，D（0，1） ，正弦曲线 f（x）sinx 和余弦曲线 g（x）cos x 在矩形 ABCD内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D【分析】利用定积分计算公式，算出曲线 ysin x 与 ycosx 围成的区域包含在区域 D内的图形面积为 S2，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率【解答】
17、解根据题意，可得曲线 ysin x 与 ycosx 围成的区域，其面积为 （sinx cosx ）dx （cos xsinx） 1（ ）1+ ；又矩形 ABCD 的面积为 2，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是 ；故选：B【点评】本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题9 （5 分）如图，直线 2x+2y30 经过函数 f（x）sin（x+） （ 0，| |）图象的最高点 M 和最低点 N，则（ ）A ， B ，0 C ， D ， 第 11 页（共 25 页）【分析】由 MN
18、 分别是图象的最高点和最低点得 MN 的纵坐标为 1 和1，带入直线得横坐标，就可以得到f（x）的半个周期长，从而得到 的值把 M 点代入 f（x）得到 的值【解答】解：因为 MN 分别是图象的最高点和最低点得 MN 的纵坐标为 1 和1，带入直线 2x+2y30 得 MN 横坐标为 和 ，故 M（ ，1） N（ ，1） 得 2，故 T4 ，故 M 代入 f（x）得 1sin （ ） ，故 2k + ，所以 2k + ，kZ因为| |，所以 ，故选：A【点评】本题着重考查了由 yAsin （ x+）的部分图象信息确定其解析式，属于中档题10 （5 分）已知双曲线 C： 1（b0） ，F 1，F
19、 2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2的直线 l 交 C 的左、右支分别于 A，B，且|AF 1|BF 1|，则|AB|（ ）A4 B8 C16 D32【分析】求得双曲线的 a4，设|AF 1|BF 1|m，运用双曲线的定义可得|AB|4a，即可得到所求值【解答】解：由双曲线 C： 1（b0）可得 a4，设|AF 1| |BF1| m，由双曲线的定义可得|AF 2|AF 1|+2a2a+ m，|BF2|BF 1|2 am2a，可得|AB| AF2|BF 2|2a+m （m 2a）4a16故选：C第 12 页（共 25 页）【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用
20、，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题11 （5 分）设函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（ ）A B C D【分析】由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数 f（x）ae x2sin x，x0，有且仅有一个零点等价于 a ，x0，有且仅有一个解，即直线 ya 与 g（x ） ，x 0，的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得：g（x） ，x0，则 g（x），即 g（x）在0， ）为增函数，在（ ，为减函数，又g（0）0，g（）0，g（ ） ，则可得实数 a 的值为 ，得解【解答】解：函数 f（x ）ae x2sinx
21、，x 0，有且仅有一个零点等价于a ，x0 ， 有且仅有一个解，即直线 ya 与 g（x ） ，x 0，的图象只有一个交点，设 g（x） ，x 0， ，则 g（x） ，当 0x 时，g（x ）0，当 x 时，g（x）0，第 13 页（共 25 页）即 g（x）在0 ， ）为增函数，在（ ，为减函数，又 g（0）0，g（）0， g（ ） ，则可得实数 a 的值为 ，故选：B【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题12 （5 分）一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为
22、（ ）A1 B C D【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半【解答】解：正方体的对角线长为 2 ，故当正方体旋转的新位置的最大高度为 2 ，又水的体积是正方体体积的一半，容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为 故选：C【点评】本题考查了几何体的体积计算，属于基础题二、填空题：（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知向量 （2，1） ， 10，| + |5 ，则| | 5 【分析】求出 ，求出| + |的平方，利用 ，即可求出| |【解答】解：因为向量 （2，1） ，所以 因为 10，所以| + |2 5+210+ ，所以 25
23、，则| |5第 14 页（共 25 页）故答案为：5【点评】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力14 （5 分）甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为 ，乙猜对每个谜语的概率为 ，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【解答】解：甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，甲猜对每个谜语的概率为 ，乙猜对每个谜语的概率为 ，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则
24、比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为：P + + + 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查空相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15 （5 分）已知数列a n的前项和为 Sn，满足 Sn（1 ） nan+ ，则 【分析】n1 时，S 1S 1+ ，解得 S1n2 时，S n（1） n（S nS n1 ）+ ，对 n 分类讨论，即可得出和【解答】解：n1 时，S 1S 1+ ，解得 S1 n2 时，S n（1） n（S nS n1 ）+ ，n2k 时，S nS nS n1 + ，即 Sn1 ，即 S2k1 n2k1 时，S nS
25、 n+Sn1 + ，S n Sn1 + ， S2k2 + ，第 15 页（共 25 页）可得：S 2k2 0则 （S 1+S3+S2019）+（S 2+S4+S2018） + + 故答案为： 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （5 分）已知 O 为坐标原点，圆 M：（x+1） 2+y21，圆 N：（x2） 2+y24A，B分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 SOAB 的最大值为 【分析】以 ON 为直径画圆，延长 AO 交新圆于 E，BO 交新圆于 F 点，连接 FE，NF ，推得
26、F 为 BO 的中点，由对称性可得 OAOE，由三角形的面积公式推得，可得 SABO S EAO 2SEFO ，当 SEFO 最大时， SABO 最大，故转化为在半径为 1 的圆内接三角形 OEF 的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值【解答】解：如图以 ON 为直径画圆，延长 AO 交新圆于 E，BO 交新圆于 F 点，连接 FE，NF，则 NF 与 OB 垂直，又 NBNO，F 为 BO 的中点，由对称性可得 OAOE，由 SABO OAOBsinAOB，S EBO OEOBsin（AOB） OEOBsinAOB，可得 SABO S EAO 2S EFO ，
27、当 SEFO 最大时， SABO 最大，故转化为在半径为 1 的圆内接三角形 OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形 A'B'C'的面积 S a'b'sinC'，a'2sinA'，b'2sinB'，S2sinA'sinB'sinC'2（ ） 3，第 16 页（共 25 页）由 f（x）sinx ，x 0，为凸函数，可得 sinsin ，当且仅当 A'B'C' 时，取得等号，可得 2（ ） 32 即三角形 OEF 的面积的最大值为 进而得到 SABO 最大值为 2 ，故
28、答案为： 【点评】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题三、解答题17已知等比数列a n满足 ana n+1，a 2+a3+a428，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若 ，S nb 1+b2+bn，对任意正整数 n，S n+（n+m）a n+10 恒成立，试求 m 的取值范围【分析】 （1）利用已知条件，列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和，列出不等式，通过求解表达式的最小值，求解 m 的取值范围【解答】
29、解：（1）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q依题意，有 2（a 3+2）a 2+a4，代入 a2+a3+a428，得 a38因此 a2+a420第 17 页（共 25 页）即有 解得 ，或 ，又数列a n单调递增，则 故 （2） ， ，得 S n+（n+m ）a n+10，2 n+1n2 n+12+n2 n+1+m2n+10 对任意正整数 n 恒成立，m2 n+122 n+1 对任意正整数 n 恒成立，即 恒成立 ，m1，即 m 的取值范围是（， 1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，错位相减法的应用数列与不等式以及函数的最值的求法考查计算能力18如图，ABC
30、中，AB BC 4，ABC90，E， F 分别为 AB，AC 边的中点，以EF 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE（1）证明：BC平面 PBE；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值【分析】 （1）由 E，F 分别为 AB，AC 边的中点，可得 EFBC，由已知结合线面垂直的判定可得 EF平面 PBE，从而得到 BC平面 PBE；（2）取 BE 的中点 O，连接 PO，由已知证明 PO平面 BCFE，过 O 作 OMBC 交 CF于 M，分别以 OB，OM ，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平第 18 页（共 25
31、 页）面 PCF 与平面 PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值【解答】 （1）证明：E，F 分别为 AB，AC 边的中点，EFBC，ABC90，EF BE，EFPE，又BEPEE，EF平面 PBE，BC平面 PBE；（2）解：取 BE 的中点 O，连接 PO，由（1）知 BC平面 PBE，BC 平面 BCFE，平面 PBE平面 BCFE，PBBEPE，POBE，又PO 平面 PBE，平面 PBE平面 BCFEBE，PO平面 BCFE，过 O 作 OMBC 交 CF 于 M，分别以 OB，OM，OP 所在直线为 x，y ，z 轴建立空
32、间直角坐标系，则 P（0，0， ） ，C（1，4 ，0） ，F （1，2，0） （1，4， ） ， （1，2， ） ，设平面 PCF 的法向量为 （x，y，z） ，由 ，取 y1，得 （1，1， ） ，由图可知 （0，1，0）为平面 PBE 的一个法向量，cos ，平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值 第 19 页（共 25 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题19小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方
33、案：底薪 140 元，每日前 55单没有奖励，超过 55 单的部分每单奖励 12 元（）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：元）与送货单数 n 的函数关系式；（）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 （n1，2，3，4，5）时，日平均派送量为 50+2n 单若将频率视为概率，回答下列问题：根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X（单位：元） ，试分别求出甲、乙两种方案的日薪 X 的分布列，数学期望及方差；结合 中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪
34、酬方案比较合适，并说明你的理由（参考数据：0.620.36，1.4 21.96，2.6 26.76，3.4 211.56，3.6 212.96，4.6 221.16，15.6 2243.36，20.4 2416.16，44.4 21971.36）第 20 页（共 25 页）【分析】 （）甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 55 单没有奖励，超过 55 单的部分每单奖励 12 元由此能分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：元）与送货单数 n 的函数关系式；（） 由已知，在这 100 天中，该公司派送员日平均派送单数求出 X 甲 的分布列和E（
35、X 甲 ）155.4， 6.44，求出 X 乙 的分布列和 E（X 乙 ）155.6，S 乙2404.64，答案一： E（ X 甲 ）E（X 乙 ） ，但两者相差不大，且 远小于 ，甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案答案二：，E（X 甲 ）E （X 乙 ） ，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案【解答】解：（）甲方案中派送员日薪 y（单位：元）与送单数 n 的函数关系式为：y100+n，nN，乙方案中派送员日薪 y（单位：元）与送单数 n 的函数关系式为：y （） 由已知，在这 100 天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：单数 52 54 56
36、 58 60频率 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1所以 X 甲 的分布列为：X 甲 152 154 156 158 160P 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1所以 E（X 甲 ）1520.2+1540.3+1560.2+1580.2+1600.1155.4，第 21 页（共 25 页）0.2（152155.4） 2+0.3（154155.4） 2+0.2（156155.4） 2+0.2（158155.4） 2+0.1（160155.4） 26.44，所以 X 乙 的分布列为：X 乙 140 152 176 200P 0.5 0.2 0.2 0.1所以 E（X 乙 ）1400.5+1
37、520.2+1760.2+2000.1155.6，S 乙 20.5（140155.6） 2+0.2（152155.6） 2+0.2（176155.6） 2+0.1（200155.6）2404.64答案一：由以上的计算可知，虽然 E（X 甲 ）E（X 乙 ） ，但两者相差不大，且 远小于 ，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案答案二：由以上的计算结果可以看出，E（X 甲 ）E（X 乙 ） ，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案【点评】本题考查函数解析式的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、统计表等基础知识，考查运算求解能力
38、，考查函数与方程思想，是中档题20已知椭圆 的左右顶点分别为 A1，A 2，右焦点 F 的坐标为，点 P 坐标为（2，2） ，且直线 PA1x 轴，过点 P 作直线与椭圆 E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点 B 的上方） ，直线 OP 与 AA2 交于点 Q，连接QA1（1）求椭圆 E 的方程；（2）设直线 QA1 的斜率为 k1，直线 A1B 的斜率为 k2，问： k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由【分析】 （1）利用椭圆的焦点坐标，以及已知条件求出 a，c，然后求解 b，求解椭圆方程（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，
39、设直线 AB 的方程为： xmy2m2，联立直线与第 22 页（共 25 页）椭圆方程，通过韦达定理，点 Q 在直线 OP 上，所以可设 Q（t，t ） ，又 Q 在直线 AA2 上，通过 ，化简斜率乘积推出结果【解答】解：（1）设椭圆方程为 ，由题意椭圆 的左右顶点分别为 A1，A 2，右焦点 F 的坐标为 ，点 P 坐标为（2，2） ，且直线 PA1x 轴，可知： ，所以 b1，所以椭圆的方程为 （2）是定值，定值为 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，因为直线 AB 过点 P（2，2） ，设直线 AB 的方程为：x my2m2，联立所以 ， ，因为点 Q 在直线 OP 上
40、，所以可设 Q（t，t ） ，又 Q 在直线 AA2 上，所以：所以 【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求转化思想的应用第 23 页（共 25 页）21已知函数 f（x ）ax ，a R（1）若 f（x） 0，求 a 的取值范围；（2）若 yf（ x）的图象与 ya 相切，求 a 的值【分析】 （1）由题意可得 a ，设 g（x） ，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设 yf（ x）的图象与 ya 相切于点（t ，a） ，求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值【解答】解：（1
41、）由 f（x ）0 得 ax 0，从而 ax ，即 a ，设 g（x） ，则 g（x） ， （x 0）所以 0x 时，g（x ）0，g（x ）单调递增；x 时，g（x ）0，g（x ）单调递减，所以当 x 时，g（x ）取得最大值 g（ ） ，故 a 的取值范围是 a ；（2）设 yf（ x）的图象与 ya 相切于点（t ，a） ，依题意可得因为 f（x） a ，所以 ，消去 a 可得 t1（2t1）lnt0令 h（t）t1（2t1）lnt ，则 h（t）1（2t1） 2lnt 2lnt1，显然 h（t）在（0，+）上单调递减，且 h（1）0，所以 0t1 时，h（t）0，h（t）单调递增；t
42、1 时，h（t）0，h（t）单调递减，所以当且仅当 t1 时 h（t）0第 24 页（共 25 页）故 a1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB |8，求 【分析】 （1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果（
43、2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果【解答】解：（ 1）直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 当 时，直线的方程为 x1当 时，直线的方程为：ytan （x1） 曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos，转换为直角坐标方程为：y 24x（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： sin2t24（1+t cos） ，整理得：sin 2t24cost40， （t 1 和 t2 为 A、B 对应的参数）所以： ， 由于|AB| 8解得：因为 0，所以： 【点评】本题考查的知识要点
44、：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23已知 a，b 是正实数，且 a+b2，证明：第 25 页（共 25 页）（1） + 2；（2） （a+b 3） （a 3+b）4【分析】 （1）利用基本不等式证明即可（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可【解答】证明：（1）a，b 是正实数，a+b2 ， 1，（ + ） 2a+ b+2 4， + 2，当且仅当 ab1 时，取“” （4 分）（2）a 2+b22ab，2（a 2+b2）a 2+b2+2ab（ a+b） 24，a 2+b22，（a+b 3） （a 3+b）a 4+b4+a3b3+aba 4+b4+2a2b2（a 2+b2） 24，当且仅当 ab1 时，取“” （10 分）【点评】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查
