1、1第 10 讲 学习一笔画【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。它是一种有趣的数学游戏。那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有 2 个或 0 个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。【例题 1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线” 可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。 （1） 与一条线段相连的点有：（2） 与两条线段相连的点有：（3） 与三条线段相连的点有：（4）
2、 与四条线段相连的点有：归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。练习 11.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。22.下面图形中有哪几个单数点？ CBAD答案：A D 3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？ FEDBACHG答案：A B C D E F 【例题 2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A C A B C（1） O （2）B DD E FA B CC（3）DE F【思路导航】图（1）中 A、 B、C、D、O 五个点都是双数点，所以这个图
3、形可以一笔画成。画时可以从任意一点出发。图（2）中 A、C、D、F 四个点都是双数点，B 和 E 两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）中 A、D 是双数点，B、C、E 和 F 四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。3练习 21.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由（1） （2）答案：图（1）可以一笔画成，因为单数点有两个图（2）不能一笔画成，因为单数点大于两个2.下列图形能一笔画成吗?为什么？答：图（1）可以一笔画成，因为单数点个数为零图（2）不可以画成，因为单数点只有一个图（3）不
4、可以画成，单数点个数大于两个3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？图（1）单数点个数为 0，可以一笔画出图（2）单数点个数为 4 个，不可以一笔画出图（3）单数点 2 个，可以画出【例题 3】下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从 A、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.那么两人谁先到达？4BACBCAC AB思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达 C.仔细观察，可以发现图中有两个单数点：A、C。这就是说：甲可以从 A 点出发，不重复地走遍所有街道，最后到达 C.而 B 点是双数点，从 B 点出发的乙则不行。因此，甲所走的路程正好等于所有街道的总
5、和，而乙所走的路程一定比这个总和多，所以甲最先到达 C. 解：甲最先到达 C.练习 31.下图是某新村小区主干道平面图。甲、乙两人同时分别从 A、B 出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达 C.问谁能最先到达 C?答：A 先到达，因为 A 是单数点，可以不重复走遍所有街道。2. 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从 A、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？ABC答：A 先到达，因为 A 是单数点。3.一只蚂蚁分别从 A 点和 B 点出发，爬遍所有的小路。如果每次爬行的速度相同，那么从哪一点出发所用的时间少？答：从 A 点出发用时最少5【例题 4】下图（图 1）能否一笔画成，若不能，你能
6、用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？（1） （2）思路导航：此图共有 9 个点，其中 5 个点是双数点，4 个点是单数点，由于超过两个单数点，因此不能一笔画成。要想改为一笔画成，关键在于减少单数点数目（把单数点的个数减少到 0 或 2） ，所以只要在任意两个单数点间连上线，就可以一笔画，有时也可以将多余的两个单数点间的连线去掉，改成一笔画。解：图（1）有 4 个单数点，不能一笔画成。要改成一笔画成，如图（2）练习 41.将下图改成一笔画。1. 2.3.在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图） ，邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条
7、路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。【例题 5】邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图） ，怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？6IAGECHDBF思路导航：图中一共有九个点，其中单数点有 2 个（点 D 和点 F）,因此能一次不重复走过所有的路，但必须从这两个单数点中的一个出发，再回到另一个单数点。解：邮递员叔叔只能从点 D（或点 F）出发，走过所有的路后，再回到点 F(或点 D) .练习 51.下图是以个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设在哪儿呢？答：可以从任一点出发。2.园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路？
8、7答：从 A 点出发，终止于 B 点。或从 B 点出发，终止于 A 点。3. 下图是“儿童乐园 ”平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么走？D CA B答案：从 A 点出发，终止于 C 点或从 C 点出发，终止于 A 点【拓展提高】1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？答： 从 A 点出发，终止于 B 点；或从 B 点出发，终止于 A 点82、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。3、小明和玲玲玩“ 过木桥 ”的游戏（如下图） ，他们谁能不走重复的路？小明玲玲答：小明，因为他处于奇数点4、在王大爷家的花园中有一些路（如下图） ，王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。
