2019年安徽省黄山市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

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资源描述

1、2019 年安徽省黄山市高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.)1 (5 分)已知复数 z 满足 z(1+i)3+4i,则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为(  )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 (5 分)已知 ,则 sinx 的值为(  )A B C D3 (5 分)已知 ,则 展开式中 x1 项的系数为(  )A10 B10 C80 D804 (5 分)已知双曲线 的左焦点为 F1,过 F1 的直线 l 交双曲线

2、左支于 A、B 两点,则 l 斜率的范围为(  )A ( , ) B (, )( ,+)C ( ) D (, )( ,+)5 (5 分)已知向量 , 满足 ,且 ,则 在 方向上的投影为(  )A1 B C D16 (5 分)已知 f(x )A sin(x+)+B(A0,0 ,| )部分图象如图,则f(x)的一个对称中心是(   )A (,0) B C D7 (5 分)在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑第 2 页(共 27 页)ABCD 中,AB 平面 BCD,BCCD,且 ABBC CD ,M 为 AD 的中点,则异面直线 BM 与 C

3、D 夹角的余弦值为(  )A B C D8 (5 分)设 a0 且 a1,则“ba”是“log ab1”的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9 (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形,则此空间几何体的表面积是(  )A B1 C D10 (5 分)程序框图如图,若输入的 a2,则输出的结果为(  )第 3 页(共 27 页)A B1010 C D101211 (5 分)将三颗骰子各掷一次,设事件 A“三个点数互不相同” ,B“至多出现一个奇数” ,则概率 P(A

4、B )等于(  )A B C D12 (5 分)已知定义在 R 上的连续可导函数 f(x)无极值,且xR,ff(x)+2018 x2019,若在 上与函数 f( x)的单调性相同,则实数 m 的取值范围是(  )A (,2 B2,+) C (,2 D 2,1二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请在答题卷的相应区域答题.)13 (5 分)若整数 x、y 满足不等式组 ,则 的最小值为     14 (5 分)已知椭圆 的焦点为 F1、F 2,以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆 C 内切于点 P,则 S   &nbs

5、p; 15 (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x)0,若 g(x)f(x)第 4 页(共 27 页)cosx+1,且 g( ln2)2,则     16 (5 分)已知 O 是锐角 ABC 的外接圆圆心,A 是最大角,若,则 m 的取值范围为      三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.)17 (12 分)已知数列a n满足 ,n N*()求数列a n的通项公式;()令 ,数列b n的前 n 项和为 Tn,求证:T n118 (12 分)已知四边

6、形 ABCD 满足 ADBC,BAADDC BCa,E 是 BC 的中点,将BAE 沿 AE 翻折成B 1AE,使面 B1AE面 AECD,F 为 B1D 的中点(1)求四棱锥 B1AECD 的体积;(2)证明:B 1E面 ACF;(3)求面 ADB1 与面 ECB1 所成锐二面角的余弦值19 (12 分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记 5 分, “不合格”记 0 分现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级 不合格 合格得分 20,40) 4

7、0,60) 60,80) 80,100)频数 6 x 24 y()若测试的同学中,分数段20,40) 、40 ,60) 、60,80) 、80,100 内女生的人第 5 页(共 27 页)数分别为 2 人、8 人、16 人、4 人,完成 22 列联表,并判断:是否有 90%以上的把握认为性别与安全意识有关?()用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取 10人进行座谈,现再从这 10 人中任选 4 人,记所选 4 人的量化总分为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) ;()某评估机构以指标 M( ,其中 D(X)表示 X 的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若 M

8、0.7 ,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案在()的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式: P(K 2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635是否合格性别不合格 合格 总计男生女生总计20 (12 分)已知ABC 中,AB2,且 sinA(12cosB)+sinB(12cosA)0以边AB 的中垂线为 x 轴,以 AB 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系()求动点 C 的轨迹 E 的方程;()已知定点 P(0,4) ,不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E

9、相交于 M、N 两点,若直线 MP、NP 关于 y 轴对称,求PMN 面积的取值范围第 6 页(共 27 页)21 (12 分)设函数 ()求函数 单调递减区间;()若函数 G(x)f (x )+g(x ) (a0)的极小值不小于 ,求实数 a 的取值范围考生注意:请在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的参数方程为 ( 是参数) ,直线 l 的极坐标方程为s

10、in cos+1 ()求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程;()设点 P(1,m) ,若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA| ,求 m 的值选修 4-5:不等式选讲23已知 f(x) |2x |4x| ()关于 x 的不等式 f(x)a 23a 恒成立,求实数 a 的取值范围;()若 f(m)+f(n)4,且 mn,求 m+n 的取值范围第 7 页(共 27 页)2019 年安徽省黄山市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.)

11、1 (5 分)已知复数 z 满足 z(1+i)3+4i,则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为(  )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由 z(1+ i)3+4i,得 z ,复数 z 在复平面内表示的点的坐标为( ) ,所在的象限为第一象限故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题2 (5 分)已知 ,则 sinx 的值为(  )A B C D【分析】由角的范围结合已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin(x+ )的值,再由拆角的方法结合

12、两角差的正弦函数公式求得 sinx 的值【解答】解:x(0, ) ,得 x+ ( , ) ,由 cos(x+ ) ,得 sin(x+ ) sinx sin( x+ ) sin (x+ )cos cos( x+ )sin 故选:B【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用,考查了三角函数的求值,考查了计算能力和转化思想,属于基础题3 (5 分)已知 ,则 展开式中 x1 项的系数为(  )A10 B10 C80 D80第 8 页(共 27 页)【分析】求定积分求出 a 的值,再利用二项展开式的通项公式,求得 展开式中x1 项的系数【解答】解:已知 cosx 2,则  

13、展开式的通项公式为 Tr+1 (2) rx52r ,令 52r1,求得 r3,故展开式中 x1 项的系数为 (2) 380,故选:D【点评】本题主要考查定积分,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题4 (5 分)已知双曲线 的左焦点为 F1,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点,则 l 斜率的范围为(  )A ( , ) B (, )( ,+)C ( ) D (, )( ,+)【分析】求出双曲线的渐近线方程,利用已知条件列出直线的斜率与渐近线的斜率的关系,即可得到结果【解答】解:双曲线 的左焦点为 F1,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于

14、 A、B 两点,双曲线的渐近线方程为:y x,所以 l 斜率满足|k| ,即 k(, )( ,+) 故选:B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查5 (5 分)已知向量 , 满足 ,且 ,则 在 方向上的投影为(  )A1 B C D1【分析】利用向量的垂直关系,推出 ,然后求解 在 方向上的投影【解答】解:向量 , 满足 ,且 ,第 9 页(共 27 页)可得 ,可得 2,则 在 方向上的投影为: 1故选:D【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的转化,是基本知识的考查6 (5 分)已知 f(x )A sin(x+)+B(A0,0 ,| )部分图象如图

15、,则f(x)的一个对称中心是(   )A (,0) B C D【分析】根据函数的最值求出 A,B 的值,结合图象求出 和 的值,结合函数的对称性求出对称中心即可【解答】解:函数的最大值为 A+B1,最小值为A+B3,得 A2,B 1,即 f(x)2sin( x+)1,f(x)2sin( x+)1, ,即 T,即 ,得 2,则 f(x)2sin(2x +)1,由五点对应法得 2+ 得 ,得 f(x)2sin(2x + )1,由 2x+ k,得 x + ,k Z,即函数的对称中心为( + ,1) ,kZ第 10 页(共 27 页)当 k0 时,对称中心为( ,1) ,故选:D【点评】本题

16、主要考查三角函数的图象和性质,求出 A,B, 和 的值是解决本题的关键7 (5 分)在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑ABCD 中,AB 平面 BCD,BCCD,且 ABBC CD ,M 为 AD 的中点,则异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为(  )A B C D【分析】以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 作平面 BDC 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值【解答】解:以 C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 DC 平面 BDC 的垂线为 z 轴,建立空间直角

17、坐标系,设 ABBCCD1,则 A(0,1,1) ,B(0,1,0) ,C (0,0,0) ,D(1,0,0) ,M( , ) ,则 ( , ) , (1,0,0) ,设异面直线 BM 与 CD 夹角为 ,则 cos 异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为 故选:C第 11 页(共 27 页)【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题8 (5 分)设 a0 且 a1,则“ba”是“log ab1”的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】对数

18、值与 1 的大小比较,可以利用对数函数的单调性分类讨论处理【解答】解:充分性:当 0a1 时, “ba”时“log ab1”故充分性不成立必要性:当 logab1 时,若 0a1,则 0ba,故充分性不成立综上, “ba”是“log ab1” 的既不充分也不必要条件故选:D【点评】本题考查了充要条件的判断,对数值的大小比较,属于基础题9 (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形,则此空间几何体的表面积是(  )第 12 页(共 27 页)A B1 C D【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解:由题

19、意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分,三棱锥 ABCD,正方体的棱长为 1,所以几何体的表面积为: 故选:C【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积,画出直观图判断几何体的形状是解题的关键10 (5 分)程序框图如图,若输入的 a2,则输出的结果为(  )第 13 页(共 27 页)A B1010 C D1012【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:模拟程序的运行,可得a2,S0,i0执行循环体,S2,a ,i1满足条件 i2019,执行循环体, S2 ,a1,i

20、2满足条件 i2019,执行循环体, S2 1,a2,i 3满足条件 i2019,执行循环体, S2 1+2,a ,i 4由于 20193673,观察规律可知,满足条件 i2019,执行循环体, S2 +,a ,i2020此时,不满足条件 i2019,退出循环,输出 S2+(1+2+ )673 故选:C【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到第 14 页(共 27 页)型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题之列11 (5 分)将三颗骰子各掷一次,设事件 A“三个点数互不相同” ,B“至多出现一个奇数” ,则概率 P(AB )

21、等于(  )A B C D【分析】基本事件总数 n666216,AB 包含的基本事件个数m + 60,由此能求出概率 P(A B) 【解答】解:将三颗骰子各掷一次,设事件 A“三个点数互不相同” ,B“至多出现一个奇数” ,基本事件总数 n666216,AB 包含的基本事件个数 m + 60,概率 P(A B ) 故选:C【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题12 (5 分)已知定义在 R 上的连续可导函数 f(x)无极值,且xR,ff(x)+2018 x2019,若在 上与函数 f( x)的单调性相同,则实数 m 的取值范围是( &

22、nbsp;)A (,2 B2,+) C (,2 D 2,1【分析】根据可导函数 f(x )无极值,得到 f(x)是单调函数,根据 f(x )+2018 x 为定值,利用换元法得到 f(x )的解析式,判断函数的单调性,然后得到 g(x)的单调性,利用导数与单调性之间的关系转化为不等式恒成立进行求解即可【解答】解:定义在 R 上的连续可导函数 f(x)无极值,方程 f'(x)0 无解,即f(x)为 R 上的单调函数,ff( x) +2018x2019,则 f(x)+2018 x 为定值,设 tf(x)+2018 x,则 f(x )t 2018 x,易知 f(x)为 R 上的减函数,第 1

23、5 页(共 27 页) ,g(x)2cos(x+ )+m ,又 g(x)与 f( x)的单调性相同,g(x)在 R 上单调递减,则当 x ,g'(x)0 恒成立,即 m2cos(x + ) ,当 x ,则 x+ , ,则当 x+ 2 时,y 2cos(x + )取得最大值 2,此时 y2cos (x+ )取得最小值2,即 m2,即实数 m 的取值范围是( ,2 ,故选:A【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,利用条件判断函数f(x) ,g(x)的单调性是解决本题的关键二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请在答题卷的相应区域答题.)13 (5

24、 分)若整数 x、y 满足不等式组 ,则 的最小值为    【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,转化求解最小值即可【解答】解:整数 x、y 满足不等式组 的可行域如图:三角形区域内的点A(2,1) 、B (2,2) 、C(2,3) 、D(1,2) ,AO 连线的斜率是最小值则 的最小值为: 故答案为: 第 16 页(共 27 页)【点评】本题考查线性规划的简单应用,正确判断约束条件的可行域是解题的关键,易错题14 (5 分)已知椭圆 的焦点为 F1、F 2,以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆 C 内切于点 P,则 S 1 【分析】利用椭圆的定义以及

25、圆与椭圆的位置关系,判断原点半径,得到椭圆的半焦距,然后求解三角形的面积即可【解答】解:椭圆 的焦点为 F1、F 2,以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆 C 内切于点 P,可得 bc1,所以 1故答案为:1【点评】本题考查椭圆与圆的位置关系的判断与应用,考查分析问题解决问题的能力15 (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x)0,若 g(x)f(x)cosx+1,且 g( ln2)2,则 4 【分析】根据题意,由函数的解析式可得 g(ln 2)f (ln2)cos (ln 2)+12,变形可得 f(ln2)cos(ln2)3,进而由对数的运算性质可得 g(ln )

26、f(ln )cos(ln )+1f(ln2)cos ln2+1,计算可得答案【解答】解:根据题意,g(x)f (x)cosx+1,第 17 页(共 27 页)则 g(ln2)f(ln2)cos(ln 2)+1 2,变形可得 f(ln2)cos(ln2)3,g(ln )f(ln )cos(ln )+1 ,又由 ln ln2,且 f(x ) +f(x)0,则 f(ln 2) f (ln ) ,则 g(ln )f(ln )cos(ln )+1 f (ln 2)cosln 2+14;故答案为:4【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及对数的运算性质,属于基础题16 (5 分)已知 O 是锐角

27、ABC 的外接圆圆心,A 是最大角,若,则 m 的取值范围为    【分析】由平面向量的数量积的运算得:( + ) m 2,则 2+ 2,所以则 c2+ bccosA c2,由正弦定理得:cosB+cosCcosA ,由两角和差的正余弦公式得:sinAsinCcosCcosA+cosCcosA ,所以 m2sinA,又 A , ) ,所以 m,2) ,得解【解答】解:由 O 是锐角 ABC 的外接圆圆心,则点 O 为三角形三边中垂线的交点,由向量投影的几何意义有:( + ) m 2,则 2+ 2,所以则 c2+ bccosA c2,由正弦定理得:cosB+cosCcosA

28、,所以 sinAsinC cosCcosA+cosCcosA ,所以 m2sinA,又 A , ) ,所以 m ,2) ,第 18 页(共 27 页)故答案为: ,2) 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算、正弦定理及两角和差的正余弦公式,属难度较大的题型三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.)17 (12 分)已知数列a n满足 ,n N*()求数列a n的通项公式;()令 ,数列b n的前 n 项和为 Tn,求证:T n1【分析】 ()利用已知条件,通过作差法转化求数列a n的通项公式;()化简 ,利用裂项消项法求解

29、数列b n的前 n 项和为Tn,即可证明:T n1【解答】 (本小题满分 12 分)解:()因为 当 n1 时,a 12,当 n2 时, 由 得: ann+1 ,(3 分)因为 a12 适合上式,所以 ann+1(n N*)   (5 分)()证明:由()知,(8 分)(10 分) ,即 Tn1(12 分)【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查转化思想以及计算能力18 (12 分)已知四边形 ABCD 满足 ADBC,BAADDC BCa,E 是 BC 的中点,将BAE 沿 AE 翻折成B 1AE,使面 B1AE面 AECD,F 为 B1D 的中点第 19 页(共 2

30、7 页)(1)求四棱锥 B1AECD 的体积;(2)证明:B 1E面 ACF;(3)求面 ADB1 与面 ECB1 所成锐二面角的余弦值【分析】 ()取 AE 的中点 M,连接 B1M,证明 B1M面 AECD,从而可求四棱B1AECD 的体积;()证明 B1E面 ACF,利用线面平行的判定定理,证明 FOB 1E 即可;()连接 MD,分别以 ME,MD,MB 1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出面 ECB1 与面 ADB1 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得二面角的余弦值【解答】 ()解:取 AE 的中点 M,连接 B1M,因为 ,E 是 BC 的中点,所

31、以ABE 为等边三角形,所以 ,又因为面 B1AE面 AECD,所以 B1M面 AECD,(2 分)所以 (4 分)()证明:连接 ED 交 AC 于 O,连接 OF,因为 AECD 为菱形,OEOD ,又 F 为 B1D 的中点,所以 FOB 1E,因为 FO面 ACF所以 B1E面 ACF(7 分)()解:连接 MD,分别以 ME,MD,MB 1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系则(9 分)第 20 页(共 27 页)设面 ECB1 的法向量 ,则 ,令 x'1 ,则设面 ADB1 的法向量为 ,则 ,令 x1,则 (11 分)则 ,所以二面角的余弦值为 (12 分)【点评】

32、本题考查三棱锥的体积,考查线面平行,考查面面角,解题的关键是掌握线面平行的判定方法,利用空间向量解决面面角问题19 (12 分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记 5 分, “不合格”记 0 分现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级 不合格 合格得分 20,40) 40,60) 60,80) 80,100)频数 6 x 24 y()若测试的同学中,分数段20,40) 、40 ,60) 、60,80) 、80,100 内女生的人数分别为 2 人、

33、8 人、16 人、4 人,完成 22 列联表,并判断:是否有 90%以上的把第 21 页(共 27 页)握认为性别与安全意识有关?()用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取 10人进行座谈,现再从这 10 人中任选 4 人,记所选 4 人的量化总分为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) ;()某评估机构以指标 M( ,其中 D(X)表示 X 的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若 M0.7 ,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案在()的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式: P(K 2k 0) 0.15 0.10 0

34、.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635是否合格性别不合格 合格 总计男生女生总计【分析】 ()求出合格,不合格男生,女生对应的人数,填入 22 列联表,计算出对应的 K2 2.706,故在犯错误概率不超过 90%的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关()根据总人数为 60,及合格、不合格的频率,计算出合格,不合格学生数在根据比例相等抽样,确定 10 人中,有 4 人不合格,6 人合格10 人选 4 人,故 X 取值分别第 22 页(共 27 页)为 0,1,2,3,4再根据超几何分布,求出对应概率,可得()分别代入期望和方差的公式,

35、计算出对应的 M 值,判断即可【解答】解:()由频率分布直方图可知,得分在20,40)的频率为0.005200.1,故抽取的学生答卷总数为 ,y600.212,x18性别与合格情况的 22 列联表为:是否合格性别不合格 合格 小计男生 14 16 30女生 10 20 30小计 24 36 60即在犯错误概率不超过 90%的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关(4 分)() “不合格”和“合格”的人数比例为 24&:362:3,因此抽取的 10 人中“不合格”有 4 人, “合格”有 6 人,所以 X 可能的取值为 20、15、10、5、0,X 的分布列为:X 20 15 10

36、5 0P所以 (8 分)()由()知:第 23 页(共 27 页) 故我们认为该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案(12 分)【点评】本题考查了独立性检验,超几何分布,期望,方差等,频率分布直方图等知识,综合性较强,属于难题20 (12 分)已知ABC 中,AB2,且 sinA(12cosB)+sinB(12cosA)0以边AB 的中垂线为 x 轴,以 AB 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系()求动点 C 的轨迹 E 的方程;()已知定点 P(0,4) ,不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M、N 两点,若直线 MP、NP 关于 y 轴对称,求PMN 面积的

37、取值范围【分析】 ()由 sinA(1 2cosB)+sinB(12cosA)0得 sinA+sinB2sinC根据正弦定理|AC|+| BC|2|AB|4|AB| ,所以轨迹 E 是以 A,B 为焦点的椭圆(除 x 轴上的点) ,即可得出轨迹 E 的方程()由题 P(0,4) ,l 的方程为 ykx+m (mk0) ,M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) 将直线 l 的方程代入 E 的方程得:(3k 2+4)x 2+6kmx+3m2120又直线 l 与轨迹 E 相交于不同的两点,所以0,根据直线 MP、NP 关于 x 轴对称,可以得到,把根与系数的关系代入可得 m,再利用弦长公式、三

38、角形面积计算公式即可得出【解答】解:()由 sinA( 12cosB)+sinB(12cosA)0 得:sinA+sinB2sinC,由正弦定理|CA|+|CB| 2|AB|4|AB| (2 分)所以点 C 的轨迹是:以 A,B 为焦点的椭圆(除 y 轴上的点) ,其中 a2,c1,则,故轨迹 E 的轨迹方程为 (4 分)() 由题 P(0,4) ,由题可知,直线 l 的斜率存在,设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) ,将直线 l 的方程代入轨迹 E 的方程得:(3k 2+4)x 2+6kmx+3m2120第 24 页(共 27 页)由0 得,3k 2+4m 2,且  直

39、线 MP、NP 关于 y 轴对称,k MP+kNP0,即 化简得:2kx 1x2+(m4) (x 1+x2)0, ,得m1 (8 分)那么直线 l 过点 B(0,1) , ,所以PMN 面积:(10 分)设 k2+1t,则 t1, ,显然,S 在 t(1,+)上单调递减, (12 分)【点评】本题考查了椭圆点标准方程及其性质、一元二次方程点根与系数点关系、弦长公式、三角形面积计算公式、三角函数的单调性、对称性,考查了推理能力与计算能力,属于难题21 (12 分)设函数 ()求函数 单调递减区间;()若函数 G(x)f (x )+g(x ) (a0)的极小值不小于 ,求实数 a 的取值范围【分析

40、】 ()利用导数研究函数的单调性即可;()运用函数的极值可解决此问题【解答】解:()由题可知 ,所以第 25 页(共 27 页)由 F'(x)0,解得 或 综上所述,F(x )的递减区间为 和 ()由题可知 ,所以 (1)当 a0 时, ,则 G(x)在( ,1)为增函数,在(1,+)为减函数,所以 G(x )在 R 上没有极小值,故舍去;(2)当 a0 时, ,由 G'(x)0 得,由于 a0,所以 ,因此函数 G(x)在(,1)为增函数,在 为减函数,在为增函数,所以 G(x) 极小值 即 令 ,则上述不等式可化为 上述不等式 设 ,则 ,故 h(t)在(1,+)为增函数又

41、 h(2)0,所以不等式的解为 t2,因此 ,所以 ,解得1a0综上所述 a1,0) 【点评】本题考查利用函数的导数判断函数的单调性和函数极值考生注意:请在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑选修 4-4:坐标系与参数方第 26 页(共 27 页)程22 (10 分)设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的参数方程为 ( 是参数) ,直线 l 的极坐标方程为sin cos+1 ()求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程;()设点 P(1,

42、m) ,若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA| ,求 m 的值【分析】 ()根据平方关系消去参数 可得曲线 C 的普通方程;由互化公式可得直线l 的普通方程,再根据直线 l 过定点(1,m )和倾斜角得直线 l 的参数方程;()联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程,根据韦达定理以及参数 t 的几何意义可得【解答】解:()由题可得,曲线 C 的普通方程为(x1) 2+y21直线 l 的直角坐标方程为 ,即 (3 分)由于直线 l 过点 P(1,m) ,倾斜角为 30,故直线 l 的参数方程 (t 是参数) (5 分)(注意:直线 l 的参数方程的结果不是唯一的 )()

43、设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t 2,将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程并化简得: (8 分)所以 ,解得 m3(10分)【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题选修 4-5:不等式选讲23已知 f(x) |2x |4x| ()关于 x 的不等式 f(x)a 23a 恒成立,求实数 a 的取值范围;()若 f(m)+f(n)4,且 mn,求 m+n 的取值范围第 27 页(共 27 页)【分析】 ()通过去掉绝对值符号,求出函数的最小值,利用不等式 f(x)a 23a恒成立,得到新的不等式求实数 a 的取值范围;()通过函数的最大值 f( m)+f(n)4,且 mn,转化求 m+n 的取值范围【解答】 (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲解:() ,所以 fmin(x)2,(3 分)f(x)a 2 3a 恒成立,则 a23af min(x)2,解得 1a2(5 分)()f max( x)2,f( m)2,f(n)2,则 f(m)+f(n )4,(8 分)又 f(m)+f(n )4,所以 f(m )f (n)2,于是 n m4,故 m+n 8(10 分)【点评】本题考查不等式恒成立条件体积的应用,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力

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