1、2019 年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）3+4i，则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知 ，则 sinx 的值为（ ）A B C D3 （5 分）已知 ，则 展开式中 x1 项的系数为（ ）A10 B10 C80 D804 （5 分）已知双曲线 的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线
2、左支于 A、B 两点，则 l 斜率的范围为（ ）A （ ， ） B （， ）（ ，+）C （ ） D （， ）（ ，+）5 （5 分）已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）A1 B C D16 （5 分）已知 f（x ）A sin（x+）+B（A0，0 ，| ）部分图象如图，则f（x）的一个对称中心是（ ）A （，0） B C D7 （5 分）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑第 2 页（共 27 页）ABCD 中，AB 平面 BCD，BCCD，且 ABBC CD ，M 为 AD 的中点，则异面直线 BM 与 C
3、D 夹角的余弦值为（ ）A B C D8 （5 分）设 a0 且 a1，则“ba”是“log ab1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（ ）A B1 C D10 （5 分）程序框图如图，若输入的 a2，则输出的结果为（ ）第 3 页（共 27 页）A B1010 C D101211 （5 分）将三颗骰子各掷一次，设事件 A“三个点数互不相同” ，B“至多出现一个奇数” ，则概率 P（A
4、B ）等于（ ）A B C D12 （5 分）已知定义在 R 上的连续可导函数 f（x）无极值，且xR，ff（x）+2018 x2019，若在 上与函数 f（ x）的单调性相同，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，2 B2，+） C （，2 D 2，1二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题.）13 （5 分）若整数 x、y 满足不等式组 ，则 的最小值为 14 （5 分）已知椭圆 的焦点为 F1、F 2，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆 C 内切于点 P，则 S &nbs
5、p; 15 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，若 g（x）f（x）第 4 页（共 27 页）cosx+1，且 g（ ln2）2，则 16 （5 分）已知 O 是锐角 ABC 的外接圆圆心，A 是最大角，若，则 m 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17 （12 分）已知数列a n满足 ，n N*（）求数列a n的通项公式；（）令 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：T n118 （12 分）已知四边
6、形 ABCD 满足 ADBC，BAADDC BCa，E 是 BC 的中点，将BAE 沿 AE 翻折成B 1AE，使面 B1AE面 AECD，F 为 B1D 的中点（1）求四棱锥 B1AECD 的体积；（2）证明：B 1E面 ACF；（3）求面 ADB1 与面 ECB1 所成锐二面角的余弦值19 （12 分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分， “不合格”记 0 分现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级 不合格 合格得分 20，40） 4
7、0，60） 60，80） 80，100）频数 6 x 24 y（）若测试的同学中，分数段20，40） 、40 ，60） 、60，80） 、80，100 内女生的人第 5 页（共 27 页）数分别为 2 人、8 人、16 人、4 人，完成 22 列联表，并判断：是否有 90%以上的把握认为性别与安全意识有关？（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取 10人进行座谈，现再从这 10 人中任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（X） ；（）某评估机构以指标 M（ ，其中 D（X）表示 X 的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若 M
8、0.7 ，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式： P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635是否合格性别不合格 合格 总计男生女生总计20 （12 分）已知ABC 中，AB2，且 sinA（12cosB）+sinB（12cosA）0以边AB 的中垂线为 x 轴，以 AB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系（）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（）已知定点 P（0，4） ，不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E
9、相交于 M、N 两点，若直线 MP、NP 关于 y 轴对称，求PMN 面积的取值范围第 6 页（共 27 页）21 （12 分）设函数 （）求函数 单调递减区间；（）若函数 G（x）f （x ）+g（x ） （a0）的极小值不小于 ，求实数 a 的取值范围考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线 C 的参数方程为 （ 是参数） ，直线 l 的极坐标方程为s
10、in cos+1 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（）设点 P（1，m） ，若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA| ，求 m 的值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |2x |4x| （）关于 x 的不等式 f（x）a 23a 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 f（m）+f（n）4，且 mn，求 m+n 的取值范围第 7 页（共 27 页）2019 年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）
11、1 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）3+4i，则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1+ i）3+4i，得 z ，复数 z 在复平面内表示的点的坐标为（ ） ，所在的象限为第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知 ，则 sinx 的值为（ ）A B C D【分析】由角的范围结合已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin（x+ ）的值，再由拆角的方法结合
12、两角差的正弦函数公式求得 sinx 的值【解答】解：x（0， ） ，得 x+ （ ， ） ，由 cos（x+ ） ，得 sin（x+ ） sinx sin（ x+ ） sin （x+ ）cos cos（ x+ ）sin 故选：B【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了三角函数的求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题3 （5 分）已知 ，则 展开式中 x1 项的系数为（ ）A10 B10 C80 D80第 8 页（共 27 页）【分析】求定积分求出 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得 展开式中x1 项的系数【解答】解：已知 cosx 2，则
13、展开式的通项公式为 Tr+1 （2） rx52r ，令 52r1，求得 r3，故展开式中 x1 项的系数为 （2） 380，故选：D【点评】本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题4 （5 分）已知双曲线 的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点，则 l 斜率的范围为（ ）A （ ， ） B （， ）（ ，+）C （ ） D （， ）（ ，+）【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出直线的斜率与渐近线的斜率的关系，即可得到结果【解答】解：双曲线 的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于
14、 A、B 两点，双曲线的渐近线方程为：y x，所以 l 斜率满足|k| ，即 k（， ）（ ，+） 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查5 （5 分）已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）A1 B C D1【分析】利用向量的垂直关系，推出 ，然后求解 在 方向上的投影【解答】解：向量 ， 满足 ，且 ，第 9 页（共 27 页）可得 ，可得 2，则 在 方向上的投影为： 1故选：D【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的转化，是基本知识的考查6 （5 分）已知 f（x ）A sin（x+）+B（A0，0 ，| ）部分图象如图
15、，则f（x）的一个对称中心是（ ）A （，0） B C D【分析】根据函数的最值求出 A，B 的值，结合图象求出 和 的值，结合函数的对称性求出对称中心即可【解答】解：函数的最大值为 A+B1，最小值为A+B3，得 A2，B 1，即 f（x）2sin（ x+）1，f（x）2sin（ x+）1， ，即 T，即 ，得 2，则 f（x）2sin（2x +）1，由五点对应法得 2+ 得 ，得 f（x）2sin（2x + ）1，由 2x+ k，得 x + ，k Z，即函数的对称中心为（ + ，1） ，kZ第 10 页（共 27 页）当 k0 时，对称中心为（ ，1） ，故选：D【点评】本题
16、主要考查三角函数的图象和性质，求出 A，B， 和 的值是解决本题的关键7 （5 分）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD 中，AB 平面 BCD，BCCD，且 ABBC CD ，M 为 AD 的中点，则异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为（ ）A B C D【分析】以 D 为原点，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值【解答】解：以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 DC 平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角
17、坐标系，设 ABBCCD1，则 A（0，1，1） ，B（0，1，0） ，C （0，0，0） ，D（1，0，0） ，M（ ， ） ，则 （ ， ） ， （1，0，0） ，设异面直线 BM 与 CD 夹角为 ，则 cos 异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为 故选：C第 11 页（共 27 页）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题8 （5 分）设 a0 且 a1，则“ba”是“log ab1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】对数
18、值与 1 的大小比较，可以利用对数函数的单调性分类讨论处理【解答】解：充分性：当 0a1 时， “ba”时“log ab1”故充分性不成立必要性：当 logab1 时，若 0a1，则 0ba，故充分性不成立综上， “ba”是“log ab1” 的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题考查了充要条件的判断，对数值的大小比较，属于基础题9 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（ ）第 12 页（共 27 页）A B1 C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解：由题
19、意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥 ABCD，正方体的棱长为 1，所以几何体的表面积为： 故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，画出直观图判断几何体的形状是解题的关键10 （5 分）程序框图如图，若输入的 a2，则输出的结果为（ ）第 13 页（共 27 页）A B1010 C D1012【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a2，S0，i0执行循环体，S2，a ，i1满足条件 i2019，执行循环体， S2 ，a1，i
20、2满足条件 i2019，执行循环体， S2 1，a2，i 3满足条件 i2019，执行循环体， S2 1+2，a ，i 4由于 20193673，观察规律可知，满足条件 i2019，执行循环体， S2 +，a ，i2020此时，不满足条件 i2019，退出循环，输出 S2+（1+2+ ）673 故选：C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到第 14 页（共 27 页）型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列11 （5 分）将三颗骰子各掷一次，设事件 A“三个点数互不相同” ，B“至多出现一个奇数” ，则概率 P（AB ）
21、等于（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n666216，AB 包含的基本事件个数m + 60，由此能求出概率 P（A B） 【解答】解：将三颗骰子各掷一次，设事件 A“三个点数互不相同” ，B“至多出现一个奇数” ，基本事件总数 n666216，AB 包含的基本事件个数 m + 60，概率 P（A B ） 故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12 （5 分）已知定义在 R 上的连续可导函数 f（x）无极值，且xR，ff（x）+2018 x2019，若在 上与函数 f（ x）的单调性相同，则实数 m 的取值范围是（ &
22、nbsp;）A （，2 B2，+） C （，2 D 2，1【分析】根据可导函数 f（x ）无极值，得到 f（x）是单调函数，根据 f（x ）+2018 x 为定值，利用换元法得到 f（x ）的解析式，判断函数的单调性，然后得到 g（x）的单调性，利用导数与单调性之间的关系转化为不等式恒成立进行求解即可【解答】解：定义在 R 上的连续可导函数 f（x）无极值，方程 f'（x）0 无解，即f（x）为 R 上的单调函数，ff（ x） +2018x2019，则 f（x）+2018 x 为定值，设 tf（x）+2018 x，则 f（x ）t 2018 x，易知 f（x）为 R 上的减函数，第 1
23、5 页（共 27 页） ，g（x）2cos（x+ ）+m ，又 g（x）与 f（ x）的单调性相同，g（x）在 R 上单调递减，则当 x ，g'（x）0 恒成立，即 m2cos（x + ） ，当 x ，则 x+ ， ，则当 x+ 2 时，y 2cos（x + ）取得最大值 2，此时 y2cos （x+ ）取得最小值2，即 m2，即实数 m 的取值范围是（ ，2 ，故选：A【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，利用条件判断函数f（x） ，g（x）的单调性是解决本题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题.）13 （5
24、 分）若整数 x、y 满足不等式组 ，则 的最小值为 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解最小值即可【解答】解：整数 x、y 满足不等式组 的可行域如图：三角形区域内的点A（2，1） 、B （2，2） 、C（2，3） 、D（1，2） ，AO 连线的斜率是最小值则 的最小值为： 故答案为： 第 16 页（共 27 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，正确判断约束条件的可行域是解题的关键，易错题14 （5 分）已知椭圆 的焦点为 F1、F 2，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆 C 内切于点 P，则 S 1 【分析】利用椭圆的定义以及
25、圆与椭圆的位置关系，判断原点半径，得到椭圆的半焦距，然后求解三角形的面积即可【解答】解：椭圆 的焦点为 F1、F 2，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆 C 内切于点 P，可得 bc1，所以 1故答案为：1【点评】本题考查椭圆与圆的位置关系的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力15 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，若 g（x）f（x）cosx+1，且 g（ ln2）2，则 4 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 g（ln 2）f （ln2）cos （ln 2）+12，变形可得 f（ln2）cos（ln2）3，进而由对数的运算性质可得 g（ln ）
26、f（ln ）cos（ln ）+1f（ln2）cos ln2+1，计算可得答案【解答】解：根据题意，g（x）f （x）cosx+1，第 17 页（共 27 页）则 g（ln2）f（ln2）cos（ln 2）+1 2，变形可得 f（ln2）cos（ln2）3，g（ln ）f（ln ）cos（ln ）+1 ，又由 ln ln2，且 f（x ） +f（x）0，则 f（ln 2） f （ln ） ，则 g（ln ）f（ln ）cos（ln ）+1 f （ln 2）cosln 2+14；故答案为：4【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题16 （5 分）已知 O 是锐角
27、ABC 的外接圆圆心，A 是最大角，若，则 m 的取值范围为 【分析】由平面向量的数量积的运算得：（ + ） m 2，则 2+ 2，所以则 c2+ bccosA c2，由正弦定理得：cosB+cosCcosA ，由两角和差的正余弦公式得：sinAsinCcosCcosA+cosCcosA ，所以 m2sinA，又 A ， ） ，所以 m，2） ，得解【解答】解：由 O 是锐角 ABC 的外接圆圆心，则点 O 为三角形三边中垂线的交点，由向量投影的几何意义有：（ + ） m 2，则 2+ 2，所以则 c2+ bccosA c2，由正弦定理得：cosB+cosCcosA
28、，所以 sinAsinC cosCcosA+cosCcosA ，所以 m2sinA，又 A ， ） ，所以 m ，2） ，第 18 页（共 27 页）故答案为： ，2） 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算、正弦定理及两角和差的正余弦公式，属难度较大的题型三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17 （12 分）已知数列a n满足 ，n N*（）求数列a n的通项公式；（）令 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：T n1【分析】 （）利用已知条件，通过作差法转化求数列a n的通项公式；（）化简 ，利用裂项消项法求解
29、数列b n的前 n 项和为Tn，即可证明：T n1【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）因为 当 n1 时，a 12，当 n2 时， 由 得： ann+1 ，（3 分）因为 a12 适合上式，所以 ann+1（n N*） （5 分）（）证明：由（）知，（8 分）（10 分） ，即 Tn1（12 分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力18 （12 分）已知四边形 ABCD 满足 ADBC，BAADDC BCa，E 是 BC 的中点，将BAE 沿 AE 翻折成B 1AE，使面 B1AE面 AECD，F 为 B1D 的中点第 19 页（共 2
30、7 页）（1）求四棱锥 B1AECD 的体积；（2）证明：B 1E面 ACF；（3）求面 ADB1 与面 ECB1 所成锐二面角的余弦值【分析】 （）取 AE 的中点 M，连接 B1M，证明 B1M面 AECD，从而可求四棱B1AECD 的体积；（）证明 B1E面 ACF，利用线面平行的判定定理，证明 FOB 1E 即可；（）连接 MD，分别以 ME，MD，MB 1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面 ECB1 与面 ADB1 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值【解答】 （）解：取 AE 的中点 M，连接 B1M，因为 ，E 是 BC 的中点，所
31、以ABE 为等边三角形，所以 ，又因为面 B1AE面 AECD，所以 B1M面 AECD，（2 分）所以 （4 分）（）证明：连接 ED 交 AC 于 O，连接 OF，因为 AECD 为菱形，OEOD ，又 F 为 B1D 的中点，所以 FOB 1E，因为 FO面 ACF所以 B1E面 ACF（7 分）（）解：连接 MD，分别以 ME，MD，MB 1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系则（9 分）第 20 页（共 27 页）设面 ECB1 的法向量 ，则 ，令 x'1 ，则设面 ADB1 的法向量为 ，则 ，令 x1，则 （11 分）则 ，所以二面角的余弦值为 （12 分）【点评】
32、本题考查三棱锥的体积，考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，利用空间向量解决面面角问题19 （12 分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格” 、 “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分， “不合格”记 0 分现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级 不合格 合格得分 20，40） 40，60） 60，80） 80，100）频数 6 x 24 y（）若测试的同学中，分数段20，40） 、40 ，60） 、60，80） 、80，100 内女生的人数分别为 2 人、
33、8 人、16 人、4 人，完成 22 列联表，并判断：是否有 90%以上的把第 21 页（共 27 页）握认为性别与安全意识有关？（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取 10人进行座谈，现再从这 10 人中任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（X） ；（）某评估机构以指标 M（ ，其中 D（X）表示 X 的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若 M0.7 ，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式： P（K 2k 0） 0.15 0.10 0
34、.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635是否合格性别不合格 合格 总计男生女生总计【分析】 （）求出合格，不合格男生，女生对应的人数，填入 22 列联表，计算出对应的 K2 2.706，故在犯错误概率不超过 90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关（）根据总人数为 60，及合格、不合格的频率，计算出合格，不合格学生数在根据比例相等抽样，确定 10 人中，有 4 人不合格，6 人合格10 人选 4 人，故 X 取值分别第 22 页（共 27 页）为 0，1，2，3，4再根据超几何分布，求出对应概率，可得（）分别代入期望和方差的公式，
35、计算出对应的 M 值，判断即可【解答】解：（）由频率分布直方图可知，得分在20，40）的频率为0.005200.1，故抽取的学生答卷总数为 ，y600.212，x18性别与合格情况的 22 列联表为：是否合格性别不合格 合格 小计男生 14 16 30女生 10 20 30小计 24 36 60即在犯错误概率不超过 90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关（4 分）（） “不合格”和“合格”的人数比例为 24&：362：3，因此抽取的 10 人中“不合格”有 4 人， “合格”有 6 人，所以 X 可能的取值为 20、15、10、5、0，X 的分布列为：X 20 15 10
36、5 0P所以 （8 分）（）由（）知：第 23 页（共 27 页） 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案（12 分）【点评】本题考查了独立性检验，超几何分布，期望，方差等，频率分布直方图等知识，综合性较强，属于难题20 （12 分）已知ABC 中，AB2，且 sinA（12cosB）+sinB（12cosA）0以边AB 的中垂线为 x 轴，以 AB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系（）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（）已知定点 P（0，4） ，不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M、N 两点，若直线 MP、NP 关于 y 轴对称，求PMN 面积的
37、取值范围【分析】 （）由 sinA（1 2cosB）+sinB（12cosA）0得 sinA+sinB2sinC根据正弦定理|AC|+| BC|2|AB|4|AB| ，所以轨迹 E 是以 A，B 为焦点的椭圆（除 x 轴上的点） ，即可得出轨迹 E 的方程（）由题 P（0，4） ，l 的方程为 ykx+m （mk0） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） 将直线 l 的方程代入 E 的方程得：（3k 2+4）x 2+6kmx+3m2120又直线 l 与轨迹 E 相交于不同的两点，所以0，根据直线 MP、NP 关于 x 轴对称，可以得到，把根与系数的关系代入可得 m，再利用弦长公式、三
38、角形面积计算公式即可得出【解答】解：（）由 sinA（ 12cosB）+sinB（12cosA）0 得：sinA+sinB2sinC，由正弦定理|CA|+|CB| 2|AB|4|AB| （2 分）所以点 C 的轨迹是：以 A，B 为焦点的椭圆（除 y 轴上的点） ，其中 a2，c1，则，故轨迹 E 的轨迹方程为 （4 分）（） 由题 P（0，4） ，由题可知，直线 l 的斜率存在，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，将直线 l 的方程代入轨迹 E 的方程得：（3k 2+4）x 2+6kmx+3m2120第 24 页（共 27 页）由0 得，3k 2+4m 2，且 直
39、线 MP、NP 关于 y 轴对称，k MP+kNP0，即 化简得：2kx 1x2+（m4） （x 1+x2）0， ，得m1 （8 分）那么直线 l 过点 B（0，1） ， ，所以PMN 面积：（10 分）设 k2+1t，则 t1， ，显然，S 在 t（1，+）上单调递减， （12 分）【点评】本题考查了椭圆点标准方程及其性质、一元二次方程点根与系数点关系、弦长公式、三角形面积计算公式、三角函数的单调性、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）设函数 （）求函数 单调递减区间；（）若函数 G（x）f （x ）+g（x ） （a0）的极小值不小于 ，求实数 a 的取值范围【分析
40、】 （）利用导数研究函数的单调性即可；（）运用函数的极值可解决此问题【解答】解：（）由题可知 ，所以第 25 页（共 27 页）由 F'（x）0，解得 或 综上所述，F（x ）的递减区间为 和 （）由题可知 ，所以 （1）当 a0 时， ，则 G（x）在（ ，1）为增函数，在（1，+）为减函数，所以 G（x ）在 R 上没有极小值，故舍去；（2）当 a0 时， ，由 G'（x）0 得，由于 a0，所以 ，因此函数 G（x）在（，1）为增函数，在 为减函数，在为增函数，所以 G（x） 极小值 即 令 ，则上述不等式可化为 上述不等式 设 ，则 ，故 h（t）在（1，+）为增函数又
41、 h（2）0，所以不等式的解为 t2，因此 ，所以 ，解得1a0综上所述 a1，0） 【点评】本题考查利用函数的导数判断函数的单调性和函数极值考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方第 26 页（共 27 页）程22 （10 分）设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线 C 的参数方程为 （ 是参数） ，直线 l 的极坐标方程为sin cos+1 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（）设点 P（1，
42、m） ，若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA| ，求 m 的值【分析】 （）根据平方关系消去参数 可得曲线 C 的普通方程；由互化公式可得直线l 的普通方程，再根据直线 l 过定点（1，m ）和倾斜角得直线 l 的参数方程；（）联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程，根据韦达定理以及参数 t 的几何意义可得【解答】解：（）由题可得，曲线 C 的普通方程为（x1） 2+y21直线 l 的直角坐标方程为 ，即 （3 分）由于直线 l 过点 P（1，m） ，倾斜角为 30，故直线 l 的参数方程 （t 是参数） （5 分）（注意：直线 l 的参数方程的结果不是唯一的 ）（）
43、设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t 2，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程并化简得： （8 分）所以 ，解得 m3（10分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |2x |4x| （）关于 x 的不等式 f（x）a 23a 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 f（m）+f（n）4，且 mn，求 m+n 的取值范围第 27 页（共 27 页）【分析】 （）通过去掉绝对值符号，求出函数的最小值，利用不等式 f（x）a 23a恒成立，得到新的不等式求实数 a 的取值范围；（）通过函数的最大值 f（ m）+f（n）4，且 mn，转化求 m+n 的取值范围【解答】 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解：（） ，所以 fmin（x）2，（3 分）f（x）a 2 3a 恒成立，则 a23af min（x）2，解得 1a2（5 分）（）f max（ x）2，f（ m）2，f（n）2，则 f（m）+f（n ）4，（8 分）又 f（m）+f（n ）4，所以 f（m ）f （n）2，于是 n m4，故 m+n 8（10 分）【点评】本题考查不等式恒成立条件体积的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力
