1、2019 年安徽省黄山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）1 （5 分）设集合 Ax| y2 x，B x| 0 ，则 AB（ ）A （，0）3，+） B （，03 ，+ ）C （0，3） D （3，+ ）2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）3+4i，则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）设 a0 且 a1，则“ba1”是“log ab1”的（ ）A
2、必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）2018 年，晓文同学参加工作月工资为 7000 元，各种用途占比统计如下面的条形图后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图已知目前的月就医费比刚参加工作时少 200 元，则目前晓文同学的月工资为（ ）A7000 B7500 C8500 D95005 （5 分）已知双曲线 的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点，则 l 斜率的范围为（ ）A （ ， ） B （， ）（ ，+）C （ ） D （， ）（ ，+）6 （5 分）已知向量 ，
3、 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）第 2 页（共 26 页）A1 B C D17 （5 分）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD 中，AB 平面 BCD，BCCD，且 ABBC CD ，M 为 AD 的中点，则异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为（ ）A B C D8 （5 分）已知 f（x ）A sin（x+）+B（A0，0 ，| ）部分图象如图，则f（x）的一个对称中心是（ ）A （ ，1） B C （ ） D （ ，0）9 （5 分）已知程序框图如图所示，若输入的 a2，则输出的结果 S 的值为（ &nb
4、sp;）第 3 页（共 26 页）A1009 B1008 C D10 （5 分）已知数列a n和b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且an0，6S na n2+3an4（n N*） ，b n ，若对任意的 nN*，kT n恒成立，则 k 的最小值为（ ）A B C D11 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（ ）A B1 C D12 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的可导函数，对于任意的实数 x，都有e 2x，当 x0 时 f（ x）+f'（x）0，若 eaf
5、（ 2a+1）f（a+1） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A0， B C0 ，+） D （，0二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请在答题卷的相应区域答题.）13 （5 分）已知椭圆 C： 1，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短轴长为直径作圆O；以左顶点 A 为圆心，椭圆 C 的长轴长为直径作圆 A，则圆 O 与圆 A 的公共弦长为 14 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，若 g（x）f（x）cosx+1，且 g（ ln2）2，则 第 4 页（共 26 页）15 （5
6、 分）若整数 x、y 满足不等式组 ，则 的最小值为 16 （5 分）ABC 满足 asinAbsinB ，a 2+2b2+3c24，则ABC 面积的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）17 （12 分）已知数列 的前 n 项和 Snn，n N*（）求数列a n的通项公式；（）令 bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的nN*，都有 Tn118 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 是 BC 的中点，且 ADBC，
7、四边形ABB1A1 为正方形（）求证：A 1C平面 AB1D；（）若BAC60，BC4，求点 A1 到平面 AB1D 的距离19 （12 分）2019 年全国“两会” ，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于 2019 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召开为了了解哪些人更关注“两会” ，某机构随机抽取了年龄在 1575 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15，35 ）和35，75 内的人分别称为“青少年人”和“中老年人” 经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为 19：21
8、其中“青少年人”中有 40 人关注“两会” ， “中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是 2：1（）求图中 a，b 的值；第 5 页（共 26 页）（）现采用分层抽样在25，35）和45 ，55）中随机抽取 8 名代表，从 8 人中任选 2人，求 2 人中至少有 1 个是“中老年人”的概率是多少？（）根据已知条件，完成下面的 22 列联表，并根据此统计结果判断：能否有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？关注 不关注 合计青少年人中老年人合计（参考公式：K 2 ，其中 na+b+c+d）20 （12 分）在ABC 中，AB2，且 sinA（12cosB
9、）+sinB（12cosA）0以 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系（）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（）已知定点 P（4，0） ，不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M，N 两点，若直线 MP、NP 关于直线 AB 对称，求PMN 面积的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx+x，直线 l：y 2kx1（）设 P（x ，y ）是 yf（x ）图象上一点，O 为原点，直线 OP 的斜率 kg（x） ，若g（x）在 x（m，m+1） （m 0）上存在极值，求 m 的取值范围；（）是否存在实数 k，使得直线 l 是曲线 yf（x ）的切
10、线？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（）试确定曲线 yf（x）与直线 l 的交点个数，并说明理由考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .选修 4-4：坐标系与参数方程第 6 页（共 26 页）22 （10 分）设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线 C 的参数方程为 （ 是参数） ，直线 l 的极坐标方程为sin cos+1 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（）设点 P（1，m） ，若直线 l 与曲线 C 相交于
11、 A，B 两点，且|PA| ，求 m 的值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |2x |4x| （）关于 x 的不等式 f（x）a 23a 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 f（m）+f（n）4，且 mn，求 m+n 的取值范围第 7 页（共 26 页）2019 年安徽省黄山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）1 （5 分）设集合 Ax| y2 x，B x| 0 ，则 AB（ ）A （，0）3，+） B （，03 ，+
12、 ）C （0，3） D （3，+ ）【分析】求出集合的等价条件，结合补集的定义进行计算即可【解答】解：Ax| y2 x R，B x| 0 x|0x3，则 ABx| x3 或 x0故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集定义是解决本题的关键2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）3+4i，则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1+ i）3+4i，得 z ，复数 z 在复平面内表示的点的坐标为（ ） ，所在的象限为
13、第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）设 a0 且 a1，则“ba1”是“log ab1”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】分充分性、必要性分别讨论，根据对数函数的性质进行判断即可【解答】解：充分性：当 ba1 时，log ablog aa1，故充分性成立必要性：当 logab1 时，若 0a1，则 logablog aa，因为函数 ylog ax 在第 8 页（共 26 页）（0，+）上为减函数，故 ba，所以必要性不成立综上“ba1”是“log ab 1”
14、的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了充分条件、必要条件的判断，对数函数的性质，属于基础题4 （5 分）2018 年，晓文同学参加工作月工资为 7000 元，各种用途占比统计如下面的条形图后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图已知目前的月就医费比刚参加工作时少 200 元，则目前晓文同学的月工资为（ ）A7000 B7500 C8500 D9500【分析】通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：700015%1050，从而得出目前的就医费用为 850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资【解答】解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工
15、资为：（700015%200）10%8500故选：C【点评】考查对条形图和折线图的认识和应用5 （5 分）已知双曲线 的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点，则 l 斜率的范围为（ ）A （ ， ） B （， ）（ ，+）C （ ） D （， ）（ ，+）【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出直线的斜率与渐近线的斜率的关系，即可得到结果【解答】解：双曲线 的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两第 9 页（共 26 页）点，双曲线的渐近线方程为：y x，所以 l 斜率满足|k| ，即 k（， ）（ ，+） 故选：B【
16、点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查6 （5 分）已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）A1 B C D1【分析】利用向量的垂直关系，推出 ，然后求解 在 方向上的投影【解答】解：向量 ， 满足 ，且 ，可得 ，可得 2，则 在 方向上的投影为： 1故选：D【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的转化，是基本知识的考查7 （5 分）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD 中，AB 平面 BCD，BCCD，且 ABBC CD ，M 为 AD 的中点，则异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为（
17、）A B C D【分析】以 D 为原点，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值【解答】解：以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 DC 平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ABBCCD1，则 A（0，1，1） ，B（0，1，0） ，C （0，0，0） ，D（1，0，0） ，M（ ， ） ，则 （ ， ） ， （1，0，0） ，设异面直线 BM 与 CD 夹角为 ，第 10 页（共 26 页）则 cos 异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为 故
18、选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题8 （5 分）已知 f（x ）A sin（x+）+B（A0，0 ，| ）部分图象如图，则f（x）的一个对称中心是（ ）A （ ，1） B C （ ） D （ ，0）【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 B，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得 f（x）的一个对称中心【解答】解：根据 f（x ）Asin（x+）+B（A0， 0，| ）部分图象，可第 11 页（共 26 页）得 A+B1
19、，A+B3，求得 A2，B 1再根据 ，2，再根据五点法作图可得 2 + ， ，f（x）2sin（2x+ ）1令 2x+ k，求得 x ，故函数的图象的对称中心为（ ，0） ，kZ，结合所给的选项，故选：A【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 B，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值还考查了正弦函数的对称性，属于中档题9 （5 分）已知程序框图如图所示，若输入的 a2，则输出的结果 S 的值为（ ）A1009 B1008 C D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的第 12
20、 页（共 26 页）值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a2，S0，i0执行循环体，S2，a ，i1满足条件 i2018，执行循环体， S2 ，a1，i 2满足条件 i2018，执行循环体， S2 1，a2，i 3满足条件 i2018，执行循环体， S2 1+2，a ，i 4由于 20183672+2，观察规律可知，满足条件 i2018，执行循环体， S2 +，a2，i 2019此时，不满足条件 i2018，退出循环，输出 S2+ +（1）+2+ +（1）+2 故选：C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结
21、构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列10 （5 分）已知数列a n和b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且an0，6S na n2+3an4（n N*） ，b n ，若对任意的 nN*，kT n恒成立，则 k 的最小值为（ ）A B C D【分析】由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式可得 an4+3（n1）3n+1，bn （ ） ，由数列的裂项相消求和可得Tn，由不等式恒成立问题解法，可得 k 的最小值【解答】解：a n0，6S na n2+3an4（n N*） ，可得 6a16S 1a 12+3a14，可得 a14，当
22、n2 时，6S n1 a n1 2+3an1 4，6S na n2+3an4，第 13 页（共 26 页）相减可得 6ana n2+3an4a n1 23a n1 +4，可得 ana n1 3，可得 an4+3（n1）3n+1，bn （ ） ，可得 Tn （1 + + ） （1 ） ，对任意的 nN*，kT n 恒成立，可得 k ，k 的最小值为 故选：B【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题11 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形，则此空
23、间几何体的表面积是（ ）A B1 C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥 ABCD，正方体的棱长为 1，第 14 页（共 26 页）所以几何体的表面积为： 故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，画出直观图判断几何体的形状是解题的关键12 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的可导函数，对于任意的实数 x，都有e 2x，当 x0 时 f（ x）+f'（x）0，若 eaf（ 2a+1）f（a+1） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A0， B C0
24、，+） D （，0【分析】由已知可得， e x f（x ） ，构造函数 g（x）e xf（x） ，则g（x）g（x ） ，根据 x0 时 f（x）+f '（x）0，可得函数 g（x）在（，0）上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知 g（x）在（0，+）上单调递减，从而可求解【解答】解： e 2x， e x f（ x ） ，令 g（x）e xf（x） ，则 g（x）g（x） ，当 x0 时 f（x）+f' （x ）0 ， e xf（x）+f'（ x） 0，即函数 g（x ）在（，0）上单调递增根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知 g（x）在（0，+）上单
25、调递减，e af（2a+1）f（a+1） ，e 2a+1f（2a+1）e a+1f（a+1） ，g（2a+1）g（a+1 ） ，第 15 页（共 26 页）|2a+1|a+1|，解可得， ，故选：B【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解答本题的关键是偶函数对称性的灵活应用二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请在答题卷的相应区域答题.）13 （5 分）已知椭圆 C： 1，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短轴长为直径作圆O；以左顶点 A 为圆心，椭圆 C 的长轴长为直径作圆 A，则圆 O 与圆 A 的公共弦长为 【分析】利用椭圆方程，求出两个圆的圆心与半径，然
26、后求解公共弦长即可【解答】解：椭圆 C： 1，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短轴长为直径作圆O；圆心（0，0） ，半径为 1，圆的方程为： x2+y21，以左顶点 A 为圆心，椭圆 C 的长轴长为直径作圆 A，圆心（2，0）半径为 2，圆的方程（x+2） 2+y24，所以两个圆的公共弦所在的直线方程为：x ，公共弦长为： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力14 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，若 g（x）f（x）第 16 页（共 26 页）cosx+1，且 g（ ln2）2，则 4 【分析】根据题意，由函数
27、的解析式可得 g（ln 2）f （ln2）cos （ln 2）+12，变形可得 f（ln2）cos（ln2）3，进而由对数的运算性质可得 g（ln ）f（ln ）cos（ln ）+1f（ln2）cos ln2+1，计算可得答案【解答】解：根据题意，g（x）f （x）cosx+1，则 g（ln2）f（ln2）cos（ln 2）+1 2，变形可得 f（ln2）cos（ln2）3，g（ln ）f（ln ）cos（ln ）+1 ，又由 ln ln2，且 f（x ） +f（x）0，则 f（ln 2） f （ln ） ，则 g（ln ）f（ln ）cos（ln ）+1 f （ln 2）cosln 2+14
28、；故答案为：4【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题15 （5 分）若整数 x、y 满足不等式组 ，则 的最小值为 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解最小值即可【解答】解：整数 x、y 满足不等式组 的可行域如图：三角形区域内的点A（2，1） 、B （2，2） 、C（2，3） 、D（1，2） ，AO 连线的斜率是最小值则 的最小值为： 故答案为： 第 17 页（共 26 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，正确判断约束条件的可行域是解题的关键，易错题16 （5 分）ABC 满足 asinAbsinB
29、，a 2+2b2+3c24，则ABC 面积的最大值为 【分析】由 asinAbsinB，利用正弦定理可得 ab由 a2+2b2+3c24，可得a2+c2 ABC 面积 S 再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：asinAbsinB，aabb，解得 aba2+2b2+3c24，a 2+c2 ，则ABC 面积 S ，S 2 ，当且仅当 c2，即 c2 ，a 2 时取等号S 故答案为： 第 18 页（共 26 页）【点评】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证
30、明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）17 （12 分）已知数列 的前 n 项和 Snn，n N*（）求数列a n的通项公式；（）令 bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的nN*，都有 Tn1【分析】 （）由数列的递推式和等差数列的通项公式可得所求通项；（）由（）知，b n ，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（）因为 Snn；当 n2 时，S n1 n1由 得 ，故 ann+1；又因为 a12 适合上式，所以 ann+1（n N*） （）证明：由（）知，bn ，前 n 项和 Tn1 + + 1 ，所以 Tn1【点评】本题考查数列的递推式的运用，数列的
31、裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题第 19 页（共 26 页）18 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 是 BC 的中点，且 ADBC，四边形ABB1A1 为正方形（）求证：A 1C平面 AB1D；（）若BAC60，BC4，求点 A1 到平面 AB1D 的距离【分析】 （）连接 BA1，交 AB1 于点 E，再连接 DE，由证明 DEA 1C，然后证明A1C平面 AB1D（）设 A1 到平面 AB1D 的距离为 h，由等体积法可得： ，转化求解点 A1 到平面 AB1D 的距离【解答】 （本小题满分 12 分）（）证明：如图，连接 BA1，交 AB1 于点 E，
32、再连接 DE，由已知得，四边形 ABB1A1为正方形，E 为 AB1 的中点，D 是 BC 的中点，DEA 1C，又 DE平面 AB1D，A 1C平面 AB1D，A 1C平面 AB1D（5 分）（）解：在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 BCC1B1平面 ABC，且 BC 为它们的交线，又 ADBC，AD平面 CBB1C1，又B 1D平面 CBB1C1，ADB 1D，且 同理可得，过 D 作 DGAB，则 DG面 ABB1A1，且 （9 分）设 A1 到平面 AB1D 的距离为 h，由等体积法可得： ，即 ，h 第 20 页（共 26 页）即点 A1 到平面 AB1D 的距离为 （12
33、 分）【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力19 （12 分）2019 年全国“两会” ，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于 2019 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召开为了了解哪些人更关注“两会” ，某机构随机抽取了年龄在 1575 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15，35 ）和35，75 内的人分别称为“青少年人”和“中老年人” 经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为 19：21其中“青
34、少年人”中有 40 人关注“两会” ， “中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是 2：1（）求图中 a，b 的值；（）现采用分层抽样在25，35）和45 ，55）中随机抽取 8 名代表，从 8 人中任选 2人，求 2 人中至少有 1 个是“中老年人”的概率是多少？（）根据已知条件，完成下面的 22 列联表，并根据此统计结果判断：能否有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？关注 不关注 合计青少年人中老年人合计（参考公式：K 2 ，其中 na+b+c+d）第 21 页（共 26 页）【分析】 （1）由“青少年人”和“中老年人”的人数之比为 19：21，求
35、出 a，b（2）由古典概型求出 2 人中至少有 1 个是“中老年人”的概率（3）用公式求 K2，比较得结果【解答】解：（）由题意得 ，解得（）由题意得在25，35）中抽取 6 人，记为 A，B，C，D，E，F，在45 ，55）中抽取 2 人，记为 1，2则从 8 人中任取 2 人的全部基本事件（共 28 种）列举如下：AB，AC，AD ， AE，AF，A 1，A2，BC，BD，BE，BF， B1，B2，CD，CE ，CF，C1，C2，DE，DF，D1，D2，EF，E1，E2，F1，F2，12，记 2 人中至少有 1 个是“中老年人”的概率是 P，则 （）22 列联表如下 关注 不关注 合计青少
36、年人 40 55 95中老年人 70 35 105合计 110 90 200所以有 99.9%的把握认为“中老年人 ”比“青少年人”更加关注“两会” 【点评】本题考查了频率直方图，古典概型，独立性检验，属于简单题20 （12 分）在ABC 中，AB2，且 sinA（12cosB）+sinB（12cosA）0以 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系第 22 页（共 26 页）（）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（）已知定点 P（4，0） ，不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M，N 两点，若直线 MP、NP 关于直线 AB 对称，求PMN 面积的取值范
37、围【分析】 （）由 sinA（1 2cosB）+sinB（12cosA）0得 sinA+sinB2sinC根据正弦定理|AC|+| BC|2|AB|4|AB| ，所以轨迹 E 是以 A，B 为焦点的椭圆（除 x 轴上的点） ，即可得出轨迹 E 的方程（）由题 P（4，0） ，设 l 的方程为 xny+m（n0） ，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） 将直线 l 的方程代入 E 的方程得：（3n 2+4）y 2+6mny+3m2120又直线 l 与轨迹 E 相交于不同的两点，所以0，即 3n2m 2+40，根据直线 MP、NP 关于 x 轴对称，可以得到 ，把根与系数的关系代入可得
38、m，再利用弦长公式、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（）由 sinA（12cosB）+sin B（12cos A）0得sinA+sinB2sin（A +B）2sin C根据正弦定理|AC|+|BC| 2|AB|4|AB| ，所以轨迹 E 是以 A，B 为焦点的椭圆（除 x 轴上的点） ，由于 ，所以轨迹 E 的方程为 （）由题 P（4，0） ，设 l 的方程为 xny+m（n0） ，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） 将直线 l 的方程代入 E 的方程得：（3n 2+4）y 2+6mny+3m2120y 1+y2 ，y 1y2 又直线 l 与轨迹 E 相交于不同的两点，所以0
39、，即 3n2m 2+40，直线 MP、NP 关于 x 轴对称，可以得到 ，化简得 2ny1y2+（m4） （y 1+y2）0， ，得m1，第 23 页（共 26 页）那么直线 l 过点 B，y 1+y2 ，y 1y2 所以三角形PMN 面积：S |BP|y1y 2| 18设 n2+1t1， S18 ，在 t（1，+）上单调递减， 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、三角函数的单调性、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx+x，直线 l：y 2kx1（）设 P（x ，y ）是 yf（
40、x ）图象上一点，O 为原点，直线 OP 的斜率 kg（x） ，若g（x）在 x（m，m+1） （m 0）上存在极值，求 m 的取值范围；（）是否存在实数 k，使得直线 l 是曲线 yf（x ）的切线？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（）试确定曲线 yf（x）与直线 l 的交点个数，并说明理由【分析】 （）由题意求得 g（x） ，求其导函数，令导函数为 0 解得 xe则 m 的取值范围可求（）令切点 P（x 0，y 0） ，得到切线的斜率 ，写出切线方程，把点（0，1）代入求得 x01，则 k 可求（）由题意，令 lnx+x2kx1，得 令 ，利用导数求最值，对 k 分类可得曲线
41、yf （x）与直线 l 的交点个数【解答】解：（） ， ，解得 xe由题意得：0mem+1 ，解得 e1me（）假设存在实数 k，使得直线是曲线 yf （x）的切线，令切点 P（x 0，y 0） ，切线的斜率 切线的方程为 ，第 24 页（共 26 页）又切线过（0，1）点， 解得 x01，2k 2，得 k 1（）由题意，令 lnx+x2kx1，得 令 ， ，由 h'（x ）0，解得 x1h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，h（x） maxh（1）1，又 x0 时，h（x）；x+ 时， 时，只有一个交点；时，有两个交点；k（1，+）时，没有交点【点评】本题考查利用导
42、数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点的判定，是中档题考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线 C 的参数方程为 （ 是参数） ，直线 l 的极坐标方程为sin cos+1 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（）设点 P（1，m） ，若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA| ，求 m 的值
43、【分析】 （）根据平方关系消去参数 可得曲线 C 的普通方程；由互化公式可得直线l 的普通方程，再根据直线 l 过定点（1，m ）和倾斜角得直线 l 的参数方程；（）联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程，根据韦达定理以及参数 t 的几何意义可得【解答】解：（）由题可得，曲线 C 的普通方程为（x1） 2+y21第 25 页（共 26 页）直线 l 的直角坐标方程为 ，即 （3 分）由于直线 l 过点 P（1，m） ，倾斜角为 30，故直线 l 的参数方程 （t 是参数） （5 分）（注意：直线 l 的参数方程的结果不是唯一的 ）（）设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t 2，将直
44、线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程并化简得： （8 分）所以 ，解得 m3（10分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |2x |4x| （）关于 x 的不等式 f（x）a 23a 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 f（m）+f（n）4，且 mn，求 m+n 的取值范围【分析】 （）通过去掉绝对值符号，求出函数的最小值，利用不等式 f（x）a 23a恒成立，得到新的不等式求实数 a 的取值范围；（）通过函数的最大值 f（ m）+f（n）4，且 mn，转化求 m+n 的取值范围【解答】 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解：（） ，所以 fmin（x）2，（3 分）f（x）a 2 3a 恒成立，则 a23af min（x）2，解得 1a2（5 分）（）f max（ x）2，f（ m）2，f（n）2，则 f（m）+f（n ）4，（8 分）又 f（m）+f（n ）4，所以 f（m ）f （n）2，于是 n m4，故 m+n 8（10 分）第 26 页（共 26 页）【点评】本题考查不等式恒成立条件体积的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力
