1、第 4 讲 包含与排除内容概述有重叠部分酌若干对象的计数问题能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题典型问题兴趣篇1暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？2在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长 ，有 21 人看过动画片大闹天宫 ，并且有 8 人两部动画片都看过请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3五年级一班 45 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满
2、分的有 10 人，数学及语文均得满分的有 3 人，这两科都没有得满分的有 29 人请问：语文成绩得满分的有多少人？4某餐馆有 27 道招牌菜小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃过的请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5如图 4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几
3、种，其中有 10 个人爱喝红茶，12 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 54 人、46人、36 人同时参加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有 7人，同时参加音乐小组和书法小组的有 10 人，三组都参加的有 2 人光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素 A 的有62 种，含维生素 C 的有 90 种，含维生素 E 的有 68 种，同时含维生素 A 和 C 的有 48 种，同时含维生素 A 和 E
4、 的有 36 种，同时含维生素 C 和 E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素 A 的食物有多少种？9操场上有 50 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 18 名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有 14 名跳绳的女生有多少名？10学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项根据报名的人数，学校决定对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖品请问：最少有几人获得奖品？拓展篇1在一个办公室中，有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶
5、或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？2五年级二班有 40 名同学，其中有 25:人没参加数学小组，有 18 人参加航模小组，有 10人两个小组都参加那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？3在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个？4渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生，参加游泳比赛的有 120 名男生和 70 名女生，有 110 名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？5森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或
6、者几种爱吃萝卜的小白兔中有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有 34 只不爱吃萝卜如果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只，那么这群小白兔一共有多少只？6三位基金经理投资若干只股票张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中 23 只张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买过的有 9 只，三个人都买过的有 6 只请问：这三位经理一共买过多少只股票？7唐僧西天取经共经历了 81 难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了 77 难，与猪八戒一起渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过
7、了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60难请问：师徒四人共同渡过的有多少难？8培英学校有学生 1000 人，其中有 500 人订阅了中国少年报 ，有 350 人订阅了少年文艺 ，有 250 人订阅了数学报 ，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有100 人请问：培英学校有多少人没有订报？9五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组
8、人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 2 倍求参加文艺小组的人数10图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 33 本、44 本和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时有乙、丙签名的图书为 36 本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？11 五年级三班有 50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 22 人，参加英语竞赛的有 20 人如果每人最多参加两科竞赛，那么该
9、班未参加竞赛人数最多可能有多少人？12甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 100 个故事已知甲读了 85 个故事，乙读了 70 个故事，丙读了 62 个故事请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？超越篇1森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？2育才小学匦展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画
10、不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 25 幅画其他年级的画共有多少幅？3巨人学校有 105 名男生和 75 名女生参加数学竞赛，有 95 名女生和 85 名男生参加作文竞赛已知该校一共有 280 名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？4冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里，爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37 张照
11、片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都拿出来放到了自己的相册请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？5一次测验共有 5 道试题测试后统计如下：有 81%的同学做对第 1 题，有 85%的同学做对第 2 题，有 91%的同学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的同学做对第5 题如果做对 3 道或 3 道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？6五年级一班有 22 人参加语文竞赛，32 人参加数学竞赛，27 人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有 12
12、 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 15 人请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？7在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆，丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问：(1)恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？ (2)恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？8一根 1.8 米长的木棍，从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度，每隔 3 厘米划一个刻度，每隔 5 厘米划一个刻度，每隔 7 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？第 4 讲 包含与排除内容概述有重叠部分酌
13、若干对象的计数问题能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题典型问题兴趣篇1暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？冬冬去的景有 18+5-12=11 处2在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长 ，有 21 人看过动画片大闹天宫 ，并且有 8 人两部动画片都看过请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？至少看过一部的小朋友有 12+21-8=25 人3五年级一班 4
14、5 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有 10 人，数学及语文均得满分的有 3 人，这两科都没有得满分的有 29 人请问：语文成绩得满分的有多少人？至少有一科得满分的人数是：45-29=16 人，这样语文得满分的人数是：16+3-10=9 人4某餐馆有 27 道招牌菜小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃过的请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？至少有一人吃过的菜有 13+7-2=18 道，这样两人都没吃过的菜有 27-18=9 道。5如图 4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6、8、5，同
15、时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？只被甲覆盖的部分有 30-6-5+2=21，只被乙覆盖的部分有 30-6-8+2=18，这样只被甲或乙覆盖的部分有 21+18=39甲、乙、丙三个圆覆盖的总面积为 303-6-8-5+2=73，73-6-8-5+22=586在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有 10 个人爱喝红茶，12 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？因为 A+D+G+F=10，B+E=12，且一共是 30
16、人，所以只喝花茶的人是 C 在的部分，有 30-10-12=8 人7光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 54 人、46人、36 人同时参加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有 7人，同时参加音乐小组和书法小组的有 10 人，三组都参加的有 2 人光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？光明小学参加课外活动的人有 54+46+36-4-7-10+2=117 人8卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素 A 的有62 种，含维生素 C 的有 90 种，含维生素 E 的有 68 种，同时含维生素 A
17、和 C 的有 48 种，同时含维生素 A 和 E 的有 36 种，同时含维生素 C 和 E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素 A 的食物有多少种？（1）至少含有一种维生素的食物有 62+90+68-48-36-50+25=111 种，所以都不含的食物有120-111=9 种。（2）仅含 A 的食物有 62-48-36+25=3 种9操场上有 50 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 18 名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有 14 名跳绳的女生有多少名？因为这 50 人只跑步或跳绳，所以 E、F 都为 0，这样：B+
18、D=18 ，A+B=31，C=14，所以B=18+31+14-50=13 人10学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项根据报名的人数，学校决定对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖品请问：最少有几人获得奖品？因为每个人最多参加两个项目，所以每个人最多活动两个奖品，而共有 9+10+11=30 个奖品，所以最少有 302=15 个人获得奖品。获奖分布如下图（横线代表获奖）：拓展篇1在一个办公室中，有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？办公室有 7+1
19、0-3=14 人2五年级二班有 40 名同学，其中有 25 人没参加数学小组，有 18 人参加航模小组，有 10人两个小组都参加那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？只参加航模小组的人有 18-10=8 人，所以什么都没参加的人有 25-8=17 人，所以只参加了两个小组之一的学生有 40-17-10=13 人3在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个？如图，用长方形表示 的全部自然数， 圆表示 中 的倍数， 圆表10A10B示 中 2 的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是 的倍数也不是 的倍0 5数的数由 可知， 中 的倍数有 个；
20、由 1002=50 个，可知，13 3中 2 的倍数有 50 个；由 1006=164 可知， 既是 的倍数又是 23的倍数的数有 1 个6由包含排除法， 或 2 的倍数有：33+50-16=67 (个)从而不是 的倍数也不是 2 的倍数的数有 100-67=33 (个)4渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生，参加游泳比赛的有 120 名男生和 70 名女生，有 110 名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？由 A+E=150，B+F=90，E+C=120，E=110.易知 C=10，C+D=30
21、5-150-90=65，所以 D=65-10=55 人A B5森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种爱吃萝卜的小白兔中有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有 34 只不爱吃萝卜如果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只，那么这群小白兔一共有多少只？A+F=12，B+D=23，C+E=34，G=5，所以白兔的只数为 12+23+34+5=74 只。6三位基金经理投资若干只股票张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中 23 只张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李
22、经理和张经理都买过的有 9 只，三个人都买过的有 6 只请问：这三位经理一共买过多少只股票？由公式得：66+40+23-17-13-9+6=96 只7唐僧西天取经共经历了 81 难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了 77 难，与猪八戒一起渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60难请问：师徒四人共同渡过的有多少难？因为唐僧只单独度过了 3 难，所以余下的 78 难至少有孙、猪、沙三人中的一人陪他一起度过，这样孙、猪、沙一起度过的难有 78-77+65+62-64
23、-61-60=59 难，而唐僧一直都在，所以师徒四人同渡的难有 59 难。8培英学校有学生 1000 人，其中有 500 人订阅了中国少年报 ，有 350 人订阅了少年文艺 ，有 250 人订阅了数学报 ，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有100 人请问：培英学校有多少人没有订报？至少订了一种报纸的人有 500+350+250-400-100=600 人，所以没有订报纸的人有 1000-600=400 人。9五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人参加文艺小组的
24、人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 2 倍求参加文艺小组的人数设三项都参加的人数有 X 人，则参加朗诵小组的人数为 7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为 2X 人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X 人，于是有 46=（24+20+7X-2X-2X-10+X） ，解得 X=3,所以参加朗诵小组的人数为 21 人。10图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 33 本、44 本和 55 本，其中同时有甲、乙签名的
25、图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时有乙、丙签名的图书为 36 本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？由于 甲、丙共同签名的书只有 25 本， 所以甲、乙、丙都借过的书最多为 25 本，所以至少一人借过的书，最多有：33+44+55-29-25-36+25=67 本，这时没有被借过的书，至少有：100-67=33 本11 五年级三班有 50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 22 人，参加英语竞赛的有 20 人如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？由于参赛的共有 28+22+20=70 人次，而每
26、人最多只能参加两项，所以最少有 702=35 人参赛，这时没参赛的人最多有 50-35=15 人。12甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 100 个故事已知甲读了 85 个故事，乙读了 70 个故事，丙读了 62 个故事请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？（1）甲有 100-85=15 个故事没读，乙有 100-70=30 个故事没读，丙有 100-62=38 个故事没读，所以没读的故事最多有 15+30+38=83 个，所以三人共同读过的书至少有 100-83=17
27、个（2）三人都读过的故事最少有 100-30-38=32 个超越篇1森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？有题意知：A+B+C=100 ，A+C=2 (B+C),A=3B.由第二个式子我们有 A=2B+C，在结合第三个式子我们有 B=C，这样第一个式子就可以变成 3B+B+B=100，所以 B=20，这样 C 也就等于 20 了。2育才小学匦展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是
28、五年级的，五、六年级共展出 25 幅画其他年级的画共有多少幅？通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16，通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15，那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，进而可以求出五年级画作有 13幅，六年级画作有 12 幅，那么久可以求出其他年级的画作共有 3 幅3巨人学校有 105 名男生和 75 名女生参加数学竞赛，有 95 名女生和 85 名男生参加作文竞赛已知该校一共有 280 名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同请问
29、：只参加数学竞赛的女生有多少人？由公式知：E+F=105+75+95+85-280=80，由于 A=D,所以有 E-F=(A+E)-(F+D)=105-95=10.所以 F=35，这样 B=75-35=40 人4冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里，爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37 张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都拿出来放到了自己的相册请问：究竟是
30、妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？最开始分的时候，A、D、F、G 这四部分全在东东那，然后 E、C 在妈妈那，B 在爸爸那。然后爸爸把 D、G、E 三部分拿到自己那了，再然后妈妈把 F、G 、E 三部分拿回去了。这样我们就知道 D+G+E=37，F+G+E=45，又妈妈与东东的合影部分为 F、G，爸爸与东东合影的部分为 D、G，易知，与妈妈的多，多 F+G+E-（D+G+E ）=45-37=8 张5一次测验共有 5 道试题测试后统计如下：有 81%的同学做对第 1 题，有 85%的同学做对第 2 题，有 91%的同学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的
31、同学做对第5 题如果做对 3 道或 3 道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？第一题错的有 19%人，第二题错的有 15%人，第三题错的有 9%人，第四题错的有 26%人，第五题错的有 21%人。这样错的总量为 19%+15%+9%+26%+21%=90，所以要使合格率最高是，我们只要然 90%的人每人错一道题，这时候合格率为 100%。若要使得合格率最低，我就尽量让人错 3 道题，这样 90%3=30%，所以最多有 30%的人不合格，也就是至少有70%的人合格。6五年级一班有 22 人参加语文竞赛，32 人参加数学竞赛，27 人参加英语竞赛，其中同
32、时参加语文竞赛和数学竞赛的有 12 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 15 人请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？假设三个比赛都参加的有 a 人，这样参赛总人数=22+32+27-12-14-15+a=40+a，我要让参赛人数尽量少，也就是要让 a 尽量小。由于同时参加语文竞赛和数学竞赛的有 12 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，而参加语文的总人数才 22 人，所以至少有 12+14-22=4人参加了三个比赛，也就是 a 至少等于 4，所以 40+a=44 人。7在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆，丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问：(1)恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？ (2)恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？8一根 1.8 米长的木棍，从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度，每隔 3 厘米划一个刻度，每隔 5 厘米划一个刻度，每隔 7 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
