1、2019年江西省上饶市铅山县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 个小题，第小题 3 分，共 18 分）每小题只有一个正确选项1 （3 分）下列几何体中，是圆柱的为（ ）A BC D2 （3 分）下列各数是 2019 的倒数的是（ ）A2019 B C D3 （3 分）某种细菌的半径是 0.00000618 米，用科学记数法把半径表示为（ ）A61810 6 B6.1810 7 C6.1810 6 D6.1810 64 （3 分）某同学记录了自己一周每天的零花钱（单位：元） ，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5这组数据的众数和平均数分别
2、是（ ）A5 和 5.5 B5 和 5 C5 和 D 和 5.55 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，B60，AB4，以 AD 为直径的 O 交 CD 于点E，则 的长为（ ）A B C D6 （3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0） ，下列结论：ab0， 0b 1， 0a+b+c2，当x1 时，y0其中正确结论的个数是（ ）第 2 页（共 28 页）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （3 分）计算：2019
3、 8 （3 分）不等式 2x40 的解集是 9 （3 分）如图，ABCD，若E34，D 20，则B 的度数为 10 （3 分） 九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 11 （3 分）已知方程 3x2x10 的两根分别是 x1 和 x2，则 3 2x 1x 2 的值 &
4、nbsp; 12 （3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，B（8，7） ，D（5，0） ，点P 沿 ABC O 运动，连接 OP，DP ，当ODP 为等腰三角形时，点 P 的坐标为 三、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）第 3 页（共 28 页）13 （6 分） （1）计算： ；（2）因式分解：2x 2214 （6 分）先化简 ，再选一个适当的数代入求值15 （6 分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A器乐，B舞蹈，C朗诵，D唱歌每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，
5、并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合图中所给信息，解答下列问题（1）本次调查的学生共有 人；（2）补全条形统计图；（3）七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率16 （6 分）图、图 都是由边长为 1 的小菱形构成 66 的网格，每个小菱形的顶点称为格点请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图 中，画出一个矩形 ABCD，使 C、D 两点不在格点上；（2）在图 中，若 P60，画一个矩形 EFGH，使矩形的各顶点不在格
6、点上，且两边长分别为 3 和 2 17 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，EF 经过对角线 BD 的中点 O，分别交 AD，BC 于点第 4 页（共 28 页）E，F（1）求证：BOFDOE；（2）若 AB4cm，AD5cm，当 EFBD 时，求四边形 ABFE 的面积四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18 （8 分）如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，ABBC 于点 B，底座 BC1.3米，底座 BC 与支架 AC 所成的角 ACB60，点 H 在支架 AF 上，篮板底部支架EHBC EF EH 于点 E，已知 AH 米，HF 米，HE1 米（1）求篮
7、板底部支架 HE 与支架 AF 所成的FHE 的度数（2）求篮板底部点 E 到地面的距离， （精确到 0.01 米） （参考数据：1.41， 1.73）19 （8 分）如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分FAB 交O 于点 C，过点 C 作 CEDF，垂足为点 E（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若 AE1，CE2，求O 的半径第 5 页（共 28 页）20 （8 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y （x0）的图象交于A（2， 1） ，B（ ，n）两点，直线 y2 与 y 轴交于点 C（1）求一次函数与反比例函数的解析式
8、；（2）求ABC 的面积五、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21 （9 分）某商店购买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，购买 50 件 A 商品和20 件 B 商品共用了 880 元（1）A、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买 B 商品的件数比购买 A 商品的件数的 2 倍少 4 件，如果需要购买A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，且该商店购买的 A、B 两种商品的总费用不超过296 元，那么该商店有哪几种购买方案？22 （9 分）定义：若ABC 中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称ABC 为“半角三角形” （1）
9、若 RtABC 为半角三角形，A90，则其余两个角的度数为 ；（2）如图 1，在ABCD 中，C72，点 E 在边 CD 上，以 BE 为折痕，将BCE 向上翻折，点 C 恰好落在 AD 边上的点 F，若 BFAD，求证：EDF 为半角三角形；（3）如图 2，以ABC 的边 AB 为直径画圆，与边 AC 交于 M，与边 BC 交于 N，已知ABC 的面积是CMN 面积的 4 倍；求证： C 60若 ABC 是半角三角形，CN1，直接写出 BN 的取值范围第 6 页（共 28 页）六、 （本大题 12 分）23 （12 分）如图，抛物线 yax 2+bx
10、过 A（4，0） ，B（ 1，3）两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BHx 轴，交 x 轴于点 H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点 C 的坐标，并求出 ABC 的面积；（3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标；（4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN 的面积第 7 页（共 28 页）2019 年江西省上饶市铅山县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 个小题，第小题 3 分，共 18 分）每
11、小题只有一个正确选项1 （3 分）下列几何体中，是圆柱的为（ ）A BC D【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内2 （3 分）下列各数是 2019 的倒数的是（ ）A2019 B C D【分析】直接利用倒数的定义：乘积是 1 的两数互为倒数，进而得出答案【解答】解：2019
12、 的倒数是： 故选：B【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键3 （3 分）某种细菌的半径是 0.00000618 米，用科学记数法把半径表示为（ ）A61810 6 B6.1810 7 C6.1810 6 D6.1810 6第 8 页（共 28 页）【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.00000618 米，用科学记数法把半径表示为 6.18106 故选：D【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般
13、形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4 （3 分）某同学记录了自己一周每天的零花钱（单位：元） ，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5这组数据的众数和平均数分别是（ ）A5 和 5.5 B5 和 5 C5 和 D 和 5.5【分析】根据众数和平均数的定义求解【解答】解：5 出现了三次，出现次数最多，所以这组数据的众数是 5，这组数据的平均数 （5+4.5+5+5.5+5.5+5+4.5）5故选：B【点评】本题考查了平均数的求法以及众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数5 （3 分）如图，菱形
14、ABCD 中，B60，AB4，以 AD 为直径的 O 交 CD 于点E，则 的长为（ ）A B C D【分析】连接 OE，由菱形的性质得出 D B60， ADAB4，得出OAOD 2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出DOE60，再由弧长公式即可得出答案第 9 页（共 28 页）【解答】解：连接 OE，如图所示：四边形 ABCD 是菱形，DB60，ADAB4，OAOD 2 ，ODOE ，OED D60，DOE 180 260 60， 的长 ；故选：B【点评】本题考查了弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出DOE 的度数是解决问题的关键6 （3
15、分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0） ，下列结论：ab0， 0b 1， 0a+b+c2，当x1 时，y0其中正确结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】抛物线开口方向得 a0，利用对称轴在 y 轴的右侧得 b0，则可对进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得 c1，ab+c0，则 ba+ca+1，所以0b1，于是可对进行判断；由于 a+b+ca+ a+1+12a+2，利用 a0 可得a+b+c 2，再根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在（1，0）和第 10 页（共 28 页）（
16、2，0）之间，则 x1 时，函数值为正数，即 a+b+c0，由此可对进行判断；观察函数图象得到 x1 时，抛物线有部分在 x 轴上方，有部分在 x 轴下方，则可对进行判断【解答】解：由抛物线开口向下，a0，对称轴在 y 轴的右侧，b0，ab0，所以正确；点（0，1）和（1，0）都在抛物线 yax 2+bx+c 上，c1，ab+c 0，ba+ca+1，而 a0，0b1，所以正确；a+b+ca+ a+1+12a+2 ，而 a0，2a+22，即 a+b+c2，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，而抛物线的对称轴在 y 轴右侧，在直线x1 的左侧，抛物线与 x 轴的另一个交点在（1，0）和（
17、2，0）之间，x1 时，y0，即 a+b+c0，0a+b+c2，所以正确；x1 时，抛物线有部分在 x 轴上方，有部分在 x 轴下方，y0 或 y0 或 y0，所以 错误故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 yax 2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴
18、交于（0，c） ；抛物线与 x 轴交点个数由第 11 页（共 28 页）决定，b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （3 分）计算：2019 39 【分析】两数相加，同号（即都为正数或都为负数）相加取那个符号，把绝对值相加，据此求出计算26 的结果是多少即可【解答】解：2019（20+9）39，所以计算2019 的结果是39故答案：39【点评】此题主要考查了正、负数的运算，要熟练掌握运算方法8 （3 分）不等式 2x40
19、的解集是 x2 【分析】两边同时加 4，再同时除以 2，不等号不变【解答】解：2x40，2x4，x2【点评】不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等式方向不变9 （3 分）如图，ABCD，若E34，D 20，则B 的度数为 54 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出BCD，再根据两直线平行，内错角相等进行解答即可【解答】解：如图，E34，D 20，BCDD+E20+3454，ABCD，BBCD54故答案为：54第 12 页（共 28 页）【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键10 （3 分） 九章算术中记载：“今有牛五、
20、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 【分析】根据“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两” ，得到等量关系，即可列出方程组【解答】解：根据题意得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系11 （3 分）已知方程 3x2x10 的两根分别是 x1 和 x2，则 3 2x 1x
21、2 的值 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得3 x 110，x 1+x2 ，那么 3 x 1+1，再将它们代入 3 2x 1x 2，计算即可【解答】解：方程 3x2x 10 的两根分别是 x1 和 x2，3 x 110，x 1+x2 ，3 x 1+1，3 2x 1x 2x 1+12x 1x 2（x 1+x2）+1 +1 故答案为 【点评】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法也考查了一元二次方程的解的定义第 13
22、页（共 28 页）12 （3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，B（8，7） ，D（5，0） ，点P 沿 ABC O 运动，连接 OP，DP ，当ODP 为等腰三角形时，点 P 的坐标为 （8，4）或（ ，7）或（0，5） 【分析】分三种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：四边形 OABC 是矩形，B（8，7） ，OABC8，OCAB7，D（5，0） ，OD5，点 P 是边 AB 或边 BC 上的一点，当点 P 在 AB 边时，OD DP5，AD3，PA 4，点 P（8，4） 当点 P 在边 BC 上时，只有 POPD，此时点 P（ ，7）当点 P 在边
23、OC 时，只有 ODOP5，此时点 P（0，5）综上所述，满足条件的点 P 坐标为（8，4）或（ ，7）或（0，5）故答案为（8，4）或（ ，7）或（0，5）【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型三、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）13 （6 分） （1）计算： ；（2）因式分解：2x 22【分析】 （1）原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式提取 2，再利用平方差公式分解即可第 14 页（共 28 页）【解答】解：（1）原式1 ；（2）原式2（x 21
24、）2（x+1） （x 1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14 （6 分）先化简 ，再选一个适当的数代入求值【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解： ，当 x1 时，原式1【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法15 （6 分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A器乐，B舞蹈，C朗诵，D唱歌每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合图
25、中所给信息，解答下列问题（1）本次调查的学生共有 100 人；（2）补全条形统计图；（3）七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，第 15 页（共 28 页）现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率【分析】 （1）根据 A 项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去 A、C、D 项目的人数，求出 B 项目的人数，从而补全统计图；（3）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）本次调查的学生共有：3030%100（
26、人） ；故答案为：100；（2）喜欢 B 类项目的人数有：10030104020（人） ，补全条形统计图如图 1 所示：（3）画树形图如图 2 所示：共有 12 种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有 2 种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图16 （6 分）图、图 都是由边长为 1 的小菱形构成 66 的网格，每个小菱形的顶点称为格点请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图 中，画出一个矩形 ABC
27、D，使 C、D 两点不在格点上；（2）在图 中，若 P60，画一个矩形 EFGH，使矩形的各顶点不在格点上，且两第 16 页（共 28 页）边长分别为 3 和 2 【分析】 （1）根据菱形和矩形的性质即可解决问题；（2）利用菱形以及矩形的性质即可解决问题；【解答】解：（1）如图，矩形 ABCD 即为所求；（2）如图 ，矩形 EFGH 即为所求【点评】本题考查作图应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型17 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，EF 经过对角线 BD 的中点 O，分别交 AD，BC 于点E，F（1）求证：BOFDOE；（2）若 AB4
28、cm，AD5cm，当 EFBD 时，求四边形 ABFE 的面积【分析】 （1）利用矩形的性质可得：ADBC，进而可证全等；（2）利用全等的性质可得：EDFBAECF，可得四边形 ABFE 的面积是矩形面积的一半【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，第 17 页（共 28 页）BFODEO，FBOEDO，又O 是 BD 中点，OBOD ，BOFDOE（ASA） （2）由（1）可得 EDFB AECF，S 四边形 ABFES 四边形 CDEF又AB4cm，AD5cmS 矩形 ABCD20cm 2，S 四边形 ABFE10cm 2【点评】本题运用了矩形的性质和全等的性质和判定，关
29、键是找好对应关系四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18 （8 分）如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，ABBC 于点 B，底座 BC1.3米，底座 BC 与支架 AC 所成的角 ACB60，点 H 在支架 AF 上，篮板底部支架EHBC EF EH 于点 E，已知 AH 米，HF 米，HE1 米（1）求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的FHE 的度数（2）求篮板底部点 E 到地面的距离， （精确到 0.01 米） （参考数据：1.41， 1.73）【分析】 （1）由 cosFHE 可得答案；（2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过点 A 作 AG
30、FM 于 G，过点 H 作 HNAG 于N，据此知 GMAB，HNEG，RtABC 中，求得 ABBCtan601.3 ；Rt ANH中，求得 HNAHsin45 ；根据 EMEG+GM 可得答案第 18 页（共 28 页）【解答】解：（1）在 RtEFH 中，cos FHE ，FHE45答：篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE 的度数为 45；（2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过点 A 作 AGFM 于 G，过点 H 作 HNAG 于N，则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形，GM AB，HN EG，在 Rt ABC 中，tanACB ，ABBCtan601.3
31、 1.3 （米） ，GM AB1.3 （米） ，在 Rt ANH 中， FANFHE45，HNAHsin45 （米） ，EMEG +GM +1.3 2.75（米） 答：篮板底部点 E 到地面的距离大约是 2.75 米【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型19 （8 分）如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分FAB 交O 于点 C，过点 C 作 CEDF，垂足为点 E（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若 AE1，CE2，求O 的半径第 19 页（共 28 页）
32、【分析】 （1）证明：连接 CO，证得OCACAE ，由平行线的判定得到 OCFD，再证得 OCCE，即可证得结论；（2）证明：连接 BC，由圆周角定理得到 BCA90，再证得ABC ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论【解答】 （1）证明：连接 CO，OAOC，OCAOAC，AC 平分FAB，OCACAE，OCFD，CEDF，OCCE，CE 是O 的切线；（2）证明：连接 BC，在 Rt ACE 中，AC ，AB 是O 的直径，BCA90，BCACEA，CAECAB，ABCACE， ， ，AB5，AO2.5，即O 的半径为 2.5第 20 页（共 28 页）【点评】本题主要考查了圆周角定
33、理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键20 （8 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y （x0）的图象交于A（2， 1） ，B（ ，n）两点，直线 y2 与 y 轴交于点 C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求ABC 的面积【分析】 （1）把 A 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，确定出反比例解析式，再将 B坐标代入求出 n 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式求出 k 与 b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式求出 AB 的长，利用点到直线的距离
34、公式求出点 C 到直线AB 的距离，即可确定出三角形 ABC 面积【解答】解：（1）把 A（2，1）代入反比例解析式得：1 ，即 m2，反比例解析式为 y ，把 B（ ，n）代入反比例解析式得：n4，即 B（ ，4） ，把 A 与 B 坐标代入 ykx+ b 中得： ，解得：k2，b5，则一次函数解析式为 y2x 5；（2）A（2，1） ，B（ ，4） ，直线 AB 解析式为 y2x5，第 21 页（共 28 页）C（0，2） ，直线 BC 解析式为 y12x+2，将 y1 代入 BC 的解析式得 x ，则 AD2 x Cx B2（4）6，S ABC AD（y Cy B） 6 【点评】此题考查
35、了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键五、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21 （9 分）某商店购买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，购买 50 件 A 商品和20 件 B 商品共用了 880 元（1）A、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买 B 商品的件数比购买 A 商品的件数的 2 倍少 4 件，如果需要购买A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，且该商店购买的 A、B 两种商品的总费用不超过296 元，那么该商店有哪几种购买方案？【分析】 （1）设 A 种商品的单价为 x 元、B 种商品的单
36、价为 y 元，根据等量关系：购买 60 件 A 商品的钱数+30 件 B 商品的钱数1080 元，购买 50 件 A 商品的钱数+20件 B 商品的钱数880 元分别列出方程，联立求解即可（2）设购买 A 商品的件数为 m 件，则购买 B 商品的件数为（2m 4）件，根据不等关系： 购买 A、 B 两种商品的总件数不少于 32 件， 购买的 A、B 两种商品的总费用不超过 296 元可分别列出不等式，联立求解可得出 m 的取值范围，进而讨论各方案即可【解答】解：（1）设 A 种商品的单价为 x 元、B 种商品的单价为 y 元，由题意得：，解得 答：A 种商品的单价为 16 元、B 种商品的单价
37、为 4 元第 22 页（共 28 页）（2）设购买 A 商品的件数为 m 件，则购买 B 商品的件数为（2m 4）件，由题意得：，解得：12m13，m 是整数，m12 或 13，故有如下两种方案：方案（1）：m12，2m420 即购买 A 商品的件数为 12 件，则购买 B 商品的件数为20 件；方案（2）：m13，2m422 即购买 A 商品的件数为 13 件，则购买 B 商品的件数为22 件【点评】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏22 （9 分）定义：若
38、ABC 中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称ABC 为“半角三角形” （1）若 RtABC 为半角三角形，A90，则其余两个角的度数为 60，30或45，45 ；（2）如图 1，在ABCD 中，C72，点 E 在边 CD 上，以 BE 为折痕，将BCE 向上翻折，点 C 恰好落在 AD 边上的点 F，若 BFAD，求证：EDF 为半角三角形；（3）如图 2，以ABC 的边 AB 为直径画圆，与边 AC 交于 M，与边 BC 交于 N，已知ABC 的面积是CMN 面积的 4 倍；求证： C 60若 ABC 是半角三角形，CN1，直接写出 BN 的取值范围【分析】 （1）根据半角三
39、角形定义和三角形内角和定理即可得出正确答案；第 23 页（共 28 页）（2）由定义，已知：D 108，由翻折可得BFE C72，根据平角定义和三角形内角和定理即可得出DFE18，DEF54，得证；（3） 应用相似三角形性质，将面积比转化为对应边的比，再根据解三角形和特殊角三角函数值即可；分两种情况讨论计算即可得到 BN 的最大值和最小值【解答】解：（1）RtABC 为半角三角形，A90 ，BC45，或B60，C30或B30，C 60，其余两个角的度数为 45，45或 30，60，故答案为 45，45或 30，60；（2）如图 1 中，平行四边形 ABCD 中，C72，D108，由翻折可知：E
40、FB72，BFAD ，EFD18，DEF54，DEF D ，即DEF 是半角三角形；（3） 如图 2 中，连接 ANAB 是直径，ANB90，CC ，CMN B ，CMNCBA，（ ） 2 ，即 ，在 Rt ACN 中， sinCAN ，CAN 30 ，C60由知： C60，ABC 是半角三角形B30或 90，当B90时，点 N 与点 B 重合，BN 取得最小值 0，当B30时，BN 取得最大值，第 24 页（共 28 页）CN1，BACANB90CAN 30 ，BAN60ANCNtanCtan60 ，BNAN tanBAN tan6030BN3【点评】本题是一道新定义的有关圆的综合题，主要考
41、查了三角形内角和定理，三角函数值及解三角形知识，平行四边形性质，相似三角形性质，圆的性质等，解题关键理解并应用新定义解决问题六、 （本大题 12 分）23 （12 分）如图，抛物线 yax 2+bx 过 A（4，0） ，B（ 1，3）两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BHx 轴，交 x 轴于点 H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点 C 的坐标，并求出 ABC 的面积；第 25 页（共 28 页）（3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标；（4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C
42、、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN 的面积【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴 x2 写出点 C 的坐标为（3，3） ，根据面积公式求ABC的面积；（3）因为点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点 P 的坐标（m，m 2+4m） ，利用差表示ABP 的面积，列式计算求出 m 的值，写出点 P 的坐标；（4）分别以点 C、M、N 为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM 或 CN 的长，利用面积公式进行计算【解答】解：（1）把点 A（4，0） ，B（1，3）代入抛物线 yax 2+bx 中，得 &nb
43、sp; 解得： ，抛物线表达式为：yx 2+4x；（2）点 C 的坐标为（3，3） ，又点 B 的坐标为（1，3） ，BC2，S ABC 233； （3）过 P 点作 PDBH 交 BH 于点 D，设点 P（m，m 2+4m） ，根据题意，得：BHAH3，HDm 24m ，PDm1，S ABP S ABH +S 四边形 HAPDS BPD ，6 33+ （3+ m1） （m 24m ） （
44、m1） （3+m 24m） ，3m 215m0，m10（舍去） ，m 25，点 P 坐标为（5，5） （4）以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴上方时，如图 2，CMMN，CMN 90，第 26 页（共 28 页）则CBMMHN，BCMH 2，BM HN321，M（1，2） ，N（2，0） ，由勾股定理得：MC ，S CMN ；以点 M 为直角顶点
45、且 M 在 x 轴下方时，如图 3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt NEM 和 RtMDC ，得 Rt NEMRtMDC，EMCD 5，MD NE2，由勾股定理得：CM ，S CMN ；以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴左侧时，如图 4，CNMN，MNC90，作辅助线，同理得：CN ，S CMN 17；以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴右侧时，作辅助线，如图 5，同理得：CN ，S CMN 5；以 C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，如图 6；综上所述：CMN 的面积为： 或 或 17 或 5第 27 页（共 28 页）第 28 页（共 28 页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标；利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题
