1、2019 年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x10，B x|x|2 ，则 U（AB）（ ）A x| 2x1 Bx|x2 或 x1 C x|x2 或 x1 D x|x12 （5 分）复数 z （其中 i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 （ ）A i B i C + i D + i3 （5 分）函数 f（x ）sin2x+ cos2x 的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （k Z）B2k ， 2k+
2、（k Z）Ck ， k+ （kZ）D2k ，2k+ （k Z）4 （5 分）已知椭圆 +y21 与双曲线 y 21（m 0）共焦点，则双曲线的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断正确的是（ ）A乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高6 （5 分）已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相第 2 页（共
3、22 页）切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）A B C D7 （5 分）已知函数 f（x ）满足： 对任意 xR，f（x） +f（x）0，f（x+4）+f（x）0 成立； 当 x（0，2时，f（x ）x（x2） ，则 f（2019）（ ）A1 B0 C2 D18 （5 分）在ABC 中，若 2 2 ，则ABC 是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形9 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为（ ）A8 B8+4 C6+4 D610
4、（5 分）若 sin（ ） 2cos ，则 （ ）A B C2 D411 （5 分）若存在正实数 x，y 使得 x2+y2（lnylnx） axy0（aR）成立，则 a 的取值范围是（ ）A （，1 B1，+） C （0，+） D （0，112 （5 分）已知抛物线 C：x 24y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，延长AF 交抛物线 C 于点 D，若 AB 的中点纵坐标为| AB|1，则当 AFB 最大时，|AD|（ ）A4 B8 C16 D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上第 3 页
5、（共 22 页）13 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（ 4） 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z4xy 的最小值为 15 （5 分）谢尔宾斯基三角形（ Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形） 若通过该种方法把一个三角形挖 3 次，然后在原
6、三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为 16 （5 分）ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cosA cosB，b，c 4，M，N 是边 AC 上的两个动点，且 AM2CN，则 的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知数列a n的首项 a10，前 n 项和为 Sn，且满足 a1anS 1+Sn（）求数列a n的通项公式；（）若 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）梯形 ABCD 中，ADBC，ABC ，BCD ，ADCD2，过点A
7、 作 AEAB，交 BC 于 E（如图 1） 现沿 AE 将ABE 折起，使得 BCDE，得四棱锥BAECD（如图 2） （）求证：平面 BDE平面 ABC；（）若侧棱 BC 上的点 F 满足 FC2BF，求三棱锥 BDEF 的体积第 4 页（共 22 页）19 （12 分）为了打好“精准扶贫攻坚战”某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种：大量种植，适量种植，少量种植根据收集到的市场信息，得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图，然后，该扶贫书记同时调查了同类其他地区农民以往在各种情况下的平均收入如表 1（表中收入单位：万元）：表 1销量种植量好 中 差大量 8
8、4适量 9 7 0少量 4 4 2但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的 100 户农民在市场销量好的情况下收入情况如表 2：收入（万元） 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15频数（户） 5 10 15 10 15 20 10 10 5（）根据题中所给数据，请估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益 （用以往平均收入来估计） ；（）若该地区年销量在 10 千吨以下表示销量差，在 10 千吨至 30 千吨之间表示销量中，在 30 千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率（以频率代替
9、概率） ；（）如果你是这位扶贫书记，请根据（） （） ，从农民预期收益的角度分析，你应该选择哪一种种植量第 5 页（共 22 页）20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，其内接正方形的面积为 4（）求椭圆 C 的标准方程；（）设 M 为椭圆 C 的右顶点，过点（3 ，0）且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记直线 PM，QM 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值21 （12 分）已知函数 f（x ）a（xlnx） （aR） （）试讨论函数 f（x ）的单调性；（）若对任意 x（0，+） ，不等式 f（x） +x1 恒成立，求实数 a
10、 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，直线 l：y kx（k 0） ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA| OB|的值23已知不等式|2x 1|+|2x 2| x+3 的解集是 A（）求集合 A；（）设 x，yA，对任意 aR，求证：xy（|x+a|y +a|）x 2+y2第 6 页（
11、共 22 页）2019 年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x10，B x|x|2 ，则 U（AB）（ ）A x| 2x1 Bx|x2 或 x1 C x|x2 或 x1 D x|x1【分析】根据题意，求出集合 A、B，进而求出集合 AB，进而由补集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，集合 Ax|x10x|x1，Bx| x|2x|2x2，则 ABx| 2x 1，则 U（AB ）x |x2 或 x1 ；故选：
12、B【点评】本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题2 （5 分）复数 z （其中 i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 （ ）A i B i C + i D + i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 z 的共轭复数 可求【解答】解：z ， 故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）函数 f（x ）sin2x+ cos2x 的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （k Z）B2k ， 2k+ （k Z）Ck ， k+ （kZ）第 7 页（共 22 页）D2k ，2k+ （k Z）【分析】利用辅助角公
13、式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：f（x ）sin2x + cos2x2sin（2x + ） ，由 2k 2x+ 2k+ ，k Z，得 k xk+ ， （ kZ） ，即获即函数的单调递增区间为k ，k + （k Z） ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，利用辅助角公式进行化简以及结合三角函数的单调性公式是解决本题的关键4 （5 分）已知椭圆 +y21 与双曲线 y 21（m 0）共焦点，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】求得椭圆的焦点可得双曲线的 c，解方程可得 m2，可得 a，由离心率公式可得所求值【解答】解：椭圆 +y21 的焦
14、点为（ ，0） ，可得双曲线的 c ，解得 m2，可得双曲线的 a ，双曲线的 e ，故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题5 （5 分）如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断正确的是（ ）A乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大第 8 页（共 22 页）B由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高【分析】先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解【解答】解：三个企
15、业中甲企业工资所占成本的比重最大，故 A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故 B错，甲企业其他费用开支确实最低，故 C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为 4000 万元，乙企业为 5400 万元，丙企业为 6000 万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故 D 错误，故选：C【点评】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题6 （5 分）已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）A B C D【分析】设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r
16、，根据题意画出图形，结合图形求出 R与 r 的关系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值【解答】解：设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以 r R，S 球的表面积 4r 24 R2，S 圆锥表面积 R2R+ R23R 2，第 9 页（共 22 页）所以球与圆锥的表面积之比为 故选：B【点评】本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题，是基础题7 （5 分）已知函数 f（x ）满足： 对任意 xR，f（x） +f（x）0，f（x+4）+f（x）0 成立； 当 x（0，2时，f（x ）x（
17、x2） ，则 f（2019）（ ）A1 B0 C2 D1【分析】推导出函数 f（x ）是奇函数，是以 4 为周期的周期函数，从而 f（2019）f（1）f（1） ，由此能求出结果【解答】解：f（x ）+f（x）0，函数 f（x）是奇函数，f（x+4）+f（x）0，f（x）f（x+4） ，f（x）是以 4 为周期的周期函数，f（2019）f（1）f（1）1故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）在ABC 中，若 2 2 ，则ABC 是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【分析】由已知利
18、用平面向量数量积的运算，余弦定理可求 c2a 2+b2，利用勾股定理即可判断得解【解答】解： 2 2 ，c 2a 2bccosA，c 2a 2bc ，化简可得：c 2a 2+b2，ABC 是直角三角形故选：B第 10 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题9 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为（ ）A8 B8+4 C6+4 D6【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可
19、【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为 1 的 4 段的圆弧，柱体的高为 3，所以几何体的表面积为：46+4故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键也的难点10 （5 分）若 sin（ ） 2cos ，则 （ ）A B C2 D4【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简条件求得 tan3tan ，再利用两角和差的三角公式化简要求的式子，并把 tan3tan 代入，可的结果【解答】解：sin（ ）2cos ，sincos cossin 2cos，第 11 页（共 22 页）即 sincos 3cossin
20、 ，tan 3tan ，则 ，故选：B【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题11 （5 分）若存在正实数 x，y 使得 x2+y2（lnylnx） axy0（aR）成立，则 a 的取值范围是（ ）A （，1 B1，+） C （0，+） D （0，1【分析】存在性问题转化为有解问题求解，利用到函数研究其单调性求解最小可得 a 的范围；【解答】解：由 x2+y2（lnylnx ）axy0（a R）成立，可得 x0，y0；同时除以 xy，可得 存在实数解；令 ， （t0）可得函数 f（t） ，f（t）令 f（t）0，可得 t1，当 t 在（0，1）时，f（t）0，那么
21、f（t）在（0，1）上单调递减；当 t 在（1，+ ）时，f（t）0，那么 f（t）在（1，+ ）上单调递增；f（t） minf（1）1；使得 x2+y2（lnylnx）axy 0（a R）存在实数解，则 a1，故选：B第 12 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，导函数的单调性的应用12 （5 分）已知抛物线 C：x 24y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，延长AF 交抛物线 C 于点 D，若 AB 的中点纵坐标为| AB|1，则当 AFB 最大时，|AD|（ ）A4 B8 C16 D【分析】设出 A，B，D 的
22、坐标，利用抛物线定义可得 |AF|+|BF|2|AB|，再由余弦定理写出 cosAFB，利用基本不等式求最值，可得当AFB 最大时，AEB 为等边三角形，得到 AF 所在直线方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及抛物线定义求得|AD|【解答】解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，D（x 3，y 3） ，由抛物线定义得：y 1+y2+2|AF |+|BF|， ，|AF|+|BF| 2|AB|，cosAFB ，当且仅当|AF |BF|时取等号当AFB 最大时，AFB 为等边三角形，联立 ，消去 y 得， |AD |16故选：C第 13 页（共 22 页）【点评】本题考查
23、抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上13 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（ 4） 0 【分析】由函数的性质得 f（ 4）f （2）f（0） ，由此能求出结果【解答】解：函数 f（x ） ，f（4）f（2）f（0）2 010故答案为：0【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z4xy 的最小值为 2 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，再计算目标函数
24、的最小值【解答】解：画出满足约束条件 表示的平面区域，如图所示；当目标函数 z4xy 过点 A 时，z 取得最小值，由 ，求得 A（1，2） ，所以 z 的最小值为 4122故答案为：2【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题第 14 页（共 22 页）15 （5 分）谢尔宾斯基三角形（ Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为
25、谢尔宾斯基三角形） 若通过该种方法把一个三角形挖 3 次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为 【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得【解答】解：由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的 ，每次剩下的面积为上一次剩下的面积的 ，设最初的面积为 1，则挖 3 此后剩下的面积为（ ） 3 ，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为 ，故答案为：【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题16 （5 分）ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cosA cosB，b，c 4，M，N 是边 AC
26、上的两个动点，且 AM2CN，则 的最大值为 【分析】由 b 结合正弦定理可得，sinB sinA，然后再由二倍角公式及已知a，b 关系可求ABC 为直角三角形，C ，然后求出 a，b，建立坐标系，利用向量的数量积的坐标表示及二次函数的性质即可求解【解答】解：由 b 可得，sinB sinA，cosA cosB，sinAcosA sinBcos B，即 sin2Asin2B，02A，2B 2，第 15 页（共 22 页）2A2B 或 2A+2B，AB，或 A+BabAB ，ABC 为直角三角形，Cb ，c4，b2 ，a2建立如图所示的直角坐标系，设 N（0，t ）则 M（0，2
27、） ， （0 ）则 当 t 时， 取得最大值【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，向量数量积的坐标表示及二次函数性质的应用，属于中档试题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知数列a n的首项 a10，前 n 项和为 Sn，且满足 a1anS 1+Sn（）求数列a n的通项公式；（）若 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）首先利用递推关系式求出数列的通项公式第 16 页（共 22 页）（）利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（）数列a n的首项 a10，前 n 项和为 Sn，且满足 a1anS 1+Sn当 n1 时，解得：a 12当 n
28、2 时，2a n2+S n，2an1 2+S n1 ，得：a n2a n1 ，整理得： ，所以： ，（）由于 Sn ， ，所以： ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18 （12 分）梯形 ABCD 中，ADBC，ABC ，BCD ，ADCD2，过点A 作 AEAB，交 BC 于 E（如图 1） 现沿 AE 将ABE 折起，使得 BCDE，得四棱锥BAECD（如图 2） （）求证：平面 BDE平面 ABC；（）若侧棱 BC 上的点 F 满足 FC2BF，求三棱锥 BDEF 的体积第 17 页（共
29、 22 页）【分析】 （I）证明四边形 ADCE 是菱形得出 DEAC ，结合 DEBC 得出 DE平面ABC，故而平面 BDE平面 ABC；（II）证明 AB平面 ADCE，求出 VBCDE 即可得知 VBDEF VBCDE 【解答】 （I）证明：在ABE 中，AB AE，ABC ，BEA ，又BCD ，AECD，又 ADCE，ADCD，四边形 ADCE 是菱形，DEAC，又 DEBC，ACBCC，DE平面 ABC，又 DE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC（II）解：由（I）知 DE平面 ABC，又 AB平面 ABC，DEAB，又 ABAE，AEDEE，AB平面 ADCE，AECD2，
30、ABC ，BAE ，AB2 ，又 SCDE ，V BCDE SCDE AB 2FC2BF，V BDEF VBCDE 【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题19 （12 分）为了打好“精准扶贫攻坚战”某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种：大量种植，适量种植，少量种植根据收集到的市场信息，第 18 页（共 22 页）得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图，然后，该扶贫书记同时调查了同类其他地区农民以往在各种情况下的平均收入如表 1（表中收入单位：万元）：表 1销量种植量好 中 差大量 8 4适量 9 7 0少量 4 4 2但表格中有一格数据被
31、墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的 100 户农民在市场销量好的情况下收入情况如表 2：收入（万元） 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15频数（户） 5 10 15 10 15 20 10 10 5（）根据题中所给数据，请估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益 （用以往平均收入来估计） ；（）若该地区年销量在 10 千吨以下表示销量差，在 10 千吨至 30 千吨之间表示销量中，在 30 千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率（以频率代替概率） ；（）如果你是这位扶贫书记，请根据（） （）
32、，从农民预期收益的角度分析，你应该选择哪一种种植量【分析】 （）直接由表格中的数据结合平均数公式求解；（）由频率分布直方图中的数据求解概率；（）由概率乘以相应的平均数作和比较【解答】解：（）在市场销量好的情况下，表 2 中的 100 户农民收入的平均数：第 19 页（共 22 页）（115+11.510+1215+12.5 10+1315+13.520+1410+14.510+155） （55+115+180+125+195+270+140+145+75） （万元） 由此估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益可达到 13 万元；（）由频率分布直方图可知，市场销量好的概率 P1（
33、0.02+0.02）50.2市场销量中的概率 P2（0.02+0.03+0.03+0.02）50.5 市场销量差的概率 P3（0.02+0.04）50.3；（）由（） （）可得，大量种植方案的预期收益 Q10.213+0.5 8+0.3（4）5.4（万元） 适量种植方案的预期收益 Q20.29+0.5 7+0.305.3（万元） 少量种植方案的预期收益 Q30.24+0.5 4+0.323.4（万元） 从预期收益看，大量种植的预期收益最大，因此应该选择大量种植【点评】本题考查频率分布直方图，考查由直方图求平均数的估计值，考查计算能力，是中档题20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心
34、率为 ，其内接正方形的面积为 4（）求椭圆 C 的标准方程；（）设 M 为椭圆 C 的右顶点，过点（3 ，0）且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记直线 PM，QM 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值【分析】 （）利用椭圆 E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，可得a2b，利用 a2b 2+c2，求出 a，b，即可求椭圆 E 的方程；（）依题意得直线 l 的斜率存在，设其方程为 yk（x3 ） ，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，可得结论【解答】解：（）e ，a c，即 a22b 2， ，由对称性可得，椭圆内接正方形位于第一象限顶点的
35、坐标为（x 0，y 0） ，4x 024，x 01，第 20 页（共 22 页） + 1，由解得 a ，b ，椭圆 C 的标准方程为 + 1（）由（）可知 M（ ，0） ，依题意得直线 l 的斜率存在，设其方程为yk（x3 ） ，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ， （x 1，x 2 ） ，联立方程 ，消去 y 并整理可得（1+2k 2）x2 12 k2x+54k230，x 1+x2 ，x 1x2 ，k 1k2 1，k 1k21【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）a（xlnx） （
36、aR） （）试讨论函数 f（x ）的单调性；（）若对任意 x（0，+） ，不等式 f（x） +x1 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）f（x ）a（1 ） ， （x 0） 对 a 分类讨论即可得出单调性（）对任意 x（0，+） ，不等式 f（x） +x1 恒成立 a（xlnx）第 21 页（共 22 页） x+10令 g（x ）a（x lnx） x+1， （x0） g（x）a（1 ）+1 ，对 a 分类讨论，利用单调性即可得出【解答】解：（I）f（x ）a（1 ） ， （x0） 当 a0 时，函数 f（x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增当 a0 时，函数 f（x
37、）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当 a0 时，函数 f（x ）0（x0） ，不具有单调性（）对任意 x（0，+） ，不等式 f（x） +x1 恒成立 a（xlnx） x+10， （*）令 g（x）a（x lnx） x+1， （x0） g（x）a（1 ）+ 1 ，当 a1 时，x0，（a1）x10，h（x ）00x1；h（x）0x1h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减h（x）h（1）a1，要使不等式（*）恒成立，则 a10，即 a1当 a1 时，h（1）a10，不等式（*）不恒成立故实数 a 的取值范围是（，1） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与
38、最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，直线 l：y kx（k 0） ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA| OB|的值【分析】 （）先消去参数得曲线 C 的普通方程，再根据互化公式化成极坐标方程；（）把直线 l
39、 的极坐标方程代入曲线 C 的极坐标方程后根据韦达定理及极径的几何意义可得第 22 页（共 22 页）【解答】解：（）由曲线 C 的参数方程消去参数 可得曲线 C 的普通方程为：（x1） 2+y2 4，即 x2+y2 2x30，化为极坐标方程为 22cos 30（）直线 l 的极坐标方程为 （ （0， ） ） ，将 代入方程 22 cos30，得 22cos 30， 123，|OA |OB| 1 2|3【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23已知不等式|2x 1|+|2x 2| x+3 的解集是 A（）求集合 A；（）设 x，yA，对任意 aR，求证：xy（|x+a|
40、y +a|）x 2+y2【分析】 （）分 3 段去绝对值解不等数组，再相并可得 A；（）先证|x+ a|y +a|x y|，再证| xy|2， + 2，最后根据不等式的传递性可证【解答】解：（）当 x 时，不等式变形为 12x+22xx+3，解得 0x ；当 时，不等式变形为 2x1+22xx +3，解得 ；当 x1 时，不等式变形为 2x1+2x 2x+3，解得 1x2；综上得 A x|0x 2（）x，yA，0x ，y2，|x+a|y+ a|（x +a）（ y+a）| |xy |，0x，y2，2x y2，|x y|2，|x+a|y+a|2， + 2 2，|x+a|y+a| + ，即 xy（ |x+a| y+a|）x 2+y2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的传递性，基本不等式，属中档题
