1、2019 年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z （其中 i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 （ ）A i B i C + i D + i2 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x40，B x|lnx2，则 U（AB）（ ）A x|x4 Bx|x0 或 x4 C x|0x4 D x|x4 或 xe 23 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36， S654，则数列a n的公比为（ ）A B C2
2、D34 （5 分）如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断正确的是（ ）A乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高5 （5 分）已知函数 f（x ）满足： 对任意 xR，f（x） +f（x）0，f（x+4）+f（x）0 成立； 当 x（0，2时，f（x ）x（x2） ，则 f（2019）（ ）A1 B0 C2 D16 （5 分）在ABC 中，若 2 2 ，则ABC 是（ &n
3、bsp;）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形7 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为（ ）第 2 页（共 22 页）A8 B8+4 C6+4 D68 （5 分）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（18291905）首先发现，所以以他的名字命名其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（ ）A BC D9 （5 分
4、）已知双曲线 C： 1（a，b0）的左焦点为 F，过点 F 作圆O：x 2+y2 b2 的切线，切点为 M，且交双曲线 C 右支于点 N若 2 ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A3xy0 Bx3y0 C2xy0 Dx 2y010 （5 分）三棱锥 ABCD 中，棱 AD 是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，AB AC AD2，平面 ABD平面 ACD，则该三棱锥的体积为（ ）A B1 C2 D311 （5 分）已知椭圆 ，直线 l1，l 2 分别平行于 x 轴和 y 轴，l 1 交椭圆于 A， B 两点， l2 交椭圆于 C，D 两点，l 1，l 2 交于点
5、M，若|MA|：| MB|：| MC|：|MD|6：2：1：3，则该椭圆的离心率为（ ）第 3 页（共 22 页）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ） ，给出三个命题：f （x ）的最小值为4， f（x）是轴对称图形，f （x）4|x |其中真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z4xy 的最小值为 14 （5 分） （x+ 3） 5 展开式中 x4 的系数为 （用数字
6、作答）15 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Snn 2，数列b n满足 b1a 1，b n+1b na n，则数列b n的通项公式 bn 16 （5 分）若存在正实数 x，y 使得 x2+y2（lnylnx） axy0（aR）成立，则 a 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinBasinAc（）求证：BA ；（）若 c ，C ，求ABC 的面积18 （12 分）梯形 ABCD 中，ADBC，ABC ，BCD
7、 ，ADCD2，过点A 作 AEAB，交 BC 于 E（如图 1） 现沿 AE 将ABE 折起，使得 BCDE，得四棱锥BAECD（如图 2） （）求证：平面 BDE平面 ABC；（）若 F 为 BC 的中点，求二面角 DEFC 的余弦值19 （12 分）已知动直线 l： yk（x+3） （k0）与 y 轴交于点 A，过点 A 作直线 ABl，第 4 页（共 22 页）交 x 轴于点 B，点 C 满足 3 ，C 的轨迹为 E（）求 E 的方程；（）已知点 F（1，0） ，点 G（2，0） ，过 F 作斜率为 k1 的直线交 E 于 M，N 两点，延长 MG，NG 分别交 E 于 P，Q 两点，
8、记直线 PQ 的斜率为 k2，求证： 为定值20 （12 分）某企业打算处理一批产品，这些产品每箱 100 件，以箱为单位销售已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能 10%或者 20%，两种可能对应的概率均为0.5假设该产品正品每件市场价格为 100 元，废品不值钱现处理价格为每箱 8400 元，遇到废品不予更换以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据（）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取 2 件产品进行检验（i）若此箱出现的废品率为 20%，记抽到的废品数为 X，求 X 的分布列和数学期望；（ii）若已发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有
9、一件是废品，判断是否可以购买21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+a（a R） （）若 a0，求过点（1，0）与曲线 yf （x）相切的切线方程；（）若不等式 f（x ）ln（xa）恒成立，求 a 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，直线 l：y kx（k 0） ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于
10、A，B 两点，求|OA| OB|的值23已知不等式|2x 1|+|2x 2| x+3 的解集是 A（）求集合 A；（）设 x，yA，对任意 aR，求证：xy（|x+a|y +a|）x 2+y2第 5 页（共 22 页）2019 年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z （其中 i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 （ ）A i B i C + i D + i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 z 的共轭复数 可求【
11、解答】解：z ， 故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x40，B x|lnx2，则 U（AB）（ ）A x|x4 Bx|x0 或 x4 C x|0x4 D x|x4 或 xe 2【分析】应先将集合 A、B 化简，然后再利用交集、补集的概念求解【解答】解：全集 UR，集合 A x|x40 x|x4，B x|lnx2 x|0xe 2，则 ABx|0x 4，则 U（AB ）x |x0 或 x4 ，故选：B【点评】本题较简单，要做到计算准确、正确理解相关概念才能得分3 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若
12、S36， S654，则数列a n的公比为（ ）A B C2 D3【分析】先利用等比数列的求和公式分别表示出 S3 及 S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于 q 的方程，求出方程的解得到 q 的值【解答】解：依题意可得 q1，第 6 页（共 22 页）S 3 6，S 6 54，1+q 39，q2，故选：C【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前 n 项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键4 （5 分）如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断正确的是（ ）A乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B由于
13、丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高【分析】先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解【解答】解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故 A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故 B错，甲企业其他费用开支确实最低，故 C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为 4000 万元，乙企业为 5400 万元，丙企业为 6000 万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故 D 错误，故选：C【点评】本题考查
14、了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题5 （5 分）已知函数 f（x ）满足： 对任意 xR，f（x） +f（x）0，f（x+4）+f（x）0 成立； 当 x（0，2时，f（x ）x（x2） ，则 f（2019）（ ）A1 B0 C2 D1【分析】推导出函数 f（x ）是奇函数，是以 4 为周期的周期函数，从而 f（2019）第 7 页（共 22 页）f（1）f（1） ，由此能求出结果【解答】解：f（x ）+f（x）0，函数 f（x）是奇函数，f（x+4）+f（x）0，f（x）f（x+4） ，f（x）是以 4 为周期的周期函数，f（2019）f（1）f（1）1故选
15、：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）在ABC 中，若 2 2 ，则ABC 是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【分析】由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求 c2a 2+b2，利用勾股定理即可判断得解【解答】解： 2 2 ，c 2a 2bccosA，c 2a 2bc ，化简可得：c 2a 2+b2，ABC 是直角三角形故选：B【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长
16、为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为（ ）A8 B8+4 C6+4 D6第 8 页（共 22 页）【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为 1 的 4 段的圆弧，柱体的高为 3，所以几何体的表面积为：46+4故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键也的难点8 （5 分）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（18291905）首先发现，所以以他的名字命名其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以
17、边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（ ）A BC D【分析】设正三角形 ABC 的边长为 a，先求出 SABC ，S 扇形 BAC，即可求出 S 勒洛三角形 ，根据几何概型的概率公式计算即可【解答】解：如图，设 BC 2，以 B 为圆心的扇形的面积为 ，ABC 的面积为 22 ，勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形的面积，即为 32 22 ，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为 ，故选：B第 9 页（共 22 页）【点评】本题考查了几何概型的概率问题，
18、关键是求出相对应的面积，属于基础题9 （5 分）已知双曲线 C： 1（a，b0）的左焦点为 F，过点 F 作圆O：x 2+y2 b2 的切线，切点为 M，且交双曲线 C 右支于点 N若 2 ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A3xy0 Bx3y0 C2xy0 Dx 2y0【分析】设双曲线的右焦点为 F'，由向量共线定理可得 M 为 FN 的中点，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，化简可得 b2a，即可得到所求双曲线的方程【解答】解：设双曲线的右焦点为 F'，若 2 ，可得 M 为 FN 的中点，又 O 为 FF'的中点，可得 OMFF'，由
19、 M 为切点，可得FNF'90，且|F'N |2|OM|b，由双曲线的定义可得|FN| b+2a，由勾股定理可得 b2+（b+2 a） 24c 24a 2+4b2，化简可得 b2a，则双曲线的渐近线方程为 y2x故选：C【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题10 （5 分）三棱锥 ABCD 中，棱 AD 是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，AB AC AD2，平面 ABD平面 ACD，则该三棱锥的体积为（ ）A B1 C2 D3【分析】由题意画出图形，求出过 BC 且与 AD 垂直的球的截面
20、半径，再由等积法求解第 10 页（共 22 页）【解答】解：如图，ABAC AD2，AD 是球 O 得直径，BDCD ，且ABDACD90，BO 平面 ABD平面 ACD，BOC90， 故选：C【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题11 （5 分）已知椭圆 ，直线 l1，l 2 分别平行于 x 轴和 y 轴，l 1 交椭圆于 A， B 两点， l2 交椭圆于 C，D 两点，l 1，l 2 交于点 M，若|MA|：| MB|：| MC|：|MD|6：2：1：3，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】由|MA|：| MB|：| MC|：
21、| MD|6：2：1：3，不妨设|MA|6，|MB|2，| MC|1，| MD|3，可得 A（4，1） ，B（2，2） 代入椭圆方程可得： 1， + 1联立解得 a2，b 2即可得出该椭圆的离心率 【解答】解：由|MA |：| MB|：|MC|：| MD|6：2：1：3，不妨设|MA| 6，| MB|2，| MC|1，| MD|3，可得 A（4，1） ，B（2，2） 代入椭圆方程可得： 1， + 1联立解得 a220，b 25第 11 页（共 22 页）则该椭圆的离心率 故选：D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）
22、，给出三个命题：f （x ）的最小值为4， f（x）是轴对称图形，f （x）4|x |其中真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据条件分别进行判断即可【解答】解：若 f（x ）的最小值为 4 等价为 4 恒成立，且能取等号，即 4x212x+12+3sin（x）0 恒成立，设 g（x）4x 212x +12+3sin（x） ，则 g（x ）4（x ） 2+3+3sin（x）3+3sin（ x）0，当 x 时，g（x ）3+3sin 330，即 0 能取到，故 正确，x 是 y3sin（x）和 yx 23x+3 共同的对称轴，x 是 f（x）的对称轴，即 f（x ）是轴
23、对称图形，故正确，yx 23x+3 （x ） 2+ ，f（x）|f（x）| | |4|sin x|，只要证明|sinx| |x |，即可，第 12 页（共 22 页）设|sint| |t| ， （t0）当 t1 时不等式恒成立，当 0t1 时，即证明 sintt ，设 h（t）sintt，h（t） cost10，即 h（t ）在 0t1 上是减函数，则 h（t）sintth（0）sin000，即 sintt 成立，综上 4|sinx| 4|x|，成立，故正确，故三个命题都是真命题，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查
24、学生的运算和推理能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z4xy 的最小值为 2 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，再计算目标函数的最小值【解答】解：画出满足约束条件 表示的平面区域，如图所示；当目标函数 z4xy 过点 A 时，z 取得最小值，由 ，求得 A（1，2） ，所以 z 的最小值为 4122故答案为：2【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题第 13 页（共 22 页）14 （5 分） （x+ 3） 5 展开式中 x4 的系数为 15 （用数字作答）【分析】
25、根据幂的意义，其中一个因式取3，其余的因式都取 x，可得含 x4 的项，从而求得含 x4 的项的系数【解答】解：（x+ 3） 5 表示 5 个因式（x+ 3）的乘积，其中一个因式取3，其余的因式都取 x，可得含 x4 的项，故含 x4 的项的系数为 （3）15，故答案为：15【点评】本题主要考查幂的意义，组合的应用，属于基础题15 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Snn 2，数列b n满足 b1a 1，b n+1b na n，则数列b n的通项公式 bn n22n+2 【分析】本题可先利用公式 求出数列a n的通项公式，再根据题干中条件得到 bn+1b n2n1由此可逐项
26、写出算式，再利用累加法即可求出数列bn的通项公式【解答】解：由题意，可知：对于数列a n：当 n 1 时， a1S 11， 当 n 2 时， anS nS n1 n 2（n1） 2n 2n 2+2n12n1a n2n1， （nN*） 对于数列b n：当 n 1 时， b1a 11，当 n 2 时， bn+1b n2n1b 11，b2b 1211，b3b 2221，第 14 页（共 22 页）bn1 b n2 2（n2）1，bnb n1 2（n1）1以上各式相加，得：bn1+（211）+ （221）+ +2（n2）1+2（n1）11+21+2+（n2）+ （n1）1（n1）1+2 n+1n 22
27、n+2故答案为：n 22n+2【点评】本题主要考查已知前 n 项和利用公式 求出数列a n的通项公式，再利用累加法即可求出数列b n的通项公式本题属中档题16 （5 分）若存在正实数 x，y 使得 x2+y2（lnylnx） axy0（aR）成立，则 a 的取值范围是 1，+） 【分析】由导数的应用研究函数的单调性、最值得：f（t）在（0，1）为减函数，在（1，+）为增函数，所以 f（t ） minf（1）1，由方程的有解问题得：a 的取值范围是 a1，得解【解答】解：由 x2+y2（lnylnx ）axy0，等式左右两边同时除以 x2得：1+ ln a 0，设 t （t0） ，则方程 1+t
28、2lnt at0 有实根，即 a +tlnt 有实根，设 f（t） +tlnt，则 f（t） +1+lnt，令 g（t） +1+lnt，则 g（t） 0，所以 f（t）在（0，+）为增函数，第 15 页（共 22 页）又因为 f（1）0，所以 f（t）在（0，1）为减函数，在（1，+）为增函数，所以 f（t） minf（1）1，所以要使 a +tlnt 有实根，则 a 的取值范围是 a1，故答案为：1，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值及方程的有解问题，属中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
29、b，c已知 bsinBasinAc（）求证：BA ；（）若 c ，C ，求ABC 的面积【分析】 （）用正弦定理边化角后，利用和差化积公式变形可证；（）结合（）可得 A，B，再用正弦定理可得 a，然后用面积公式可得【解答】解：（）证明：bsinBasin Ac，由正弦定理可得：sin 2Bsin 2AsinC ，可得：sin 2Bsin 2Asin（A+B） ，（sinBsinA） （sinB+sin A）sin（A+B） ，2cos sin 2sin cos 2sin cos ，cos 0，sin 0，2sin cos 1，sin（BA）1，BA ，BA ，即 BA+ （）C ，A+B ，又
30、 BA ，所以 B ，A ，由正弦定理得 ，a ，S ABC acsinB 【点评】本题考查了正弦定理，属中档题第 16 页（共 22 页）18 （12 分）梯形 ABCD 中，ADBC，ABC ，BCD ，ADCD2，过点A 作 AEAB，交 BC 于 E（如图 1） 现沿 AE 将ABE 折起，使得 BCDE，得四棱锥BAECD（如图 2） （）求证：平面 BDE平面 ABC；（）若 F 为 BC 的中点，求二面角 DEFC 的余弦值【分析】 （）在ABE 中，求解三角形可得 AEDC，又 ADBC，得到四边形 AECD为平行四边形，进一步得到平行四边形 AECD 为菱形，则 DEAC，再
31、由 BCDE，得DE平面 ABC，从而得到平面 BDE平面 ABC；（）由 DE平面 ABC，得到 ABDE，再由 ABAE，得 AB平面 AECD，设ACEDO，可得 O，F 分别为 AC，BC 的中点，则 OFAB，得到 OF平面AECD，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 AD CD2，求得 F（0，0， ） ，C（0， ，0） ，E（1，0， 0） ，分别求出平面 EFC 与平面 DEF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 DEFC 的余弦值【解答】 （）证明：在ABE 中，ABC ，AE AB，BEA ，又 ，AEDC，又 ADBC，四边形 AECD 为平行四边形
32、，ADCD，平行四边形 AECD 为菱形，则 DEAC ，又 BCDE，AC，BC平面 ABC，ACBC C ，DE平面 ABC，又DE 平面 BDE，平面 BDE平面 ABC；（）解：DE平面 ABC，AB平面 ABC，ABDE，又 ABAE，AE，DE 平面 AECD，AEDEE，AB平面 AECD，设 ACEDO，O，F 分别为 AC，BC 的中点，则 OFAB，第 17 页（共 22 页）OF平面 AECD由（）得，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ADCD2，可知 AECD2，BAAEtan 则 F（0，0， ） ，C（0， ，0） ，E （1，0，0） ，设平面
33、EFC 的一个法向量为 ，则 ，取 x ，得 平面 DEF 的一个法向量 设二面角 DEFC 的平面角为 ，则 cos|cos | 即二面角 DEFC 的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题19 （12 分）已知动直线 l： yk（x+3） （k0）与 y 轴交于点 A，过点 A 作直线 ABl，交 x 轴于点 B，点 C 满足 3 ，C 的轨迹为 E（）求 E 的方程；（）已知点 F（1，0） ，点 G（2，0） ，过 F 作斜率为 k1 的直线交 E 于 M，N 两点，延长 MG，NG 分别交 E 于 P，Q 两
34、点，记直线 PQ 的斜率为 k2，求证： 为定值【分析】 （I）动直线 l：y k（x+3） （k0）与 y 轴交于点 A（0，3k） 由直线 ABl，第 18 页（共 22 页）可得直线 AB 的方程为：y x+3k，交 x 轴于点 B（3k 2，0） 设 C（x，y ） ，点 C 满足 3 ，代入即可得出轨迹方程 E（II）设 M，N ，P，Q 的坐标依次为（ xi，y i） （i1，2，3，4） 直线 MN 的方程为：xty +1，与抛物线方程联立化为：y 24ty 40，设直线 MG 的方程为：xmy+2，与抛物线方程联立化为：y 28my80，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出
35、【解答】解：（I）动直线 l：yk （x+3） （k0）与 y 轴交于点 A（0，3k） ，直线 ABl， 直线 AB 的方程为：y x+3k，交 x 轴于点 B（3k 2，0） 设 C（x ，y ） ，点 C 满足 3 ，（x，y3k） 3（3k 2，3k） x9k 2，y 6k消去 k 可得：y 24x （x0） 即为 C 的轨迹方程 E（II）证明：设 M，N，P，Q 的坐标依次为（x i，y i） （i1，2，3，4） 直线 MN 的方程为：xty +1，联立 ，化为：y 24ty40，y 1+y24t，y 1y24，设直线 MG 的方程为： xmy+2 ，联立 ，化为：y 28my8
36、0，y 1y38，y 3 同理可得： y4 k 1 ，k 2 2 为定值第 19 页（共 22 页）【点评】本题考查了抛物线的标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （12 分）某企业打算处理一批产品，这些产品每箱 100 件，以箱为单位销售已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能 10%或者 20%，两种可能对应的概率均为0.5假设该产品正品每件市场价格为 100 元，废品不值钱现处理价格为每箱 8400 元，遇到废品不予更换以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据（）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（）现允许开箱，有放回地随机
37、从一箱中抽取 2 件产品进行检验（i）若此箱出现的废品率为 20%，记抽到的废品数为 X，求 X 的分布列和数学期望；（ii）若已发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买【分析】 （）在不开箱检验的情况下，求出一箱产品中正品的价格期望值为85008400，从而在不开箱检验的情况下，可以购买（） （i）X 的可能取值为 0，1，2，分别法度出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） （ii）设事件 A：发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品，则 P（A）0.25，一箱产品中，设正品的价格的期望值为 ，则 8000，9000 ，事件 B1：抽取的废品
38、率为 20%的一箱，则P（ 8000） P（B 1|A） 0.64，事件 B2：抽取的废品率为 10%的一箱，则 P（ 900） P（B 2|A） 0.36，求出 E（ ）83608400，从而已发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买【解答】解：（）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：第 20 页（共 22 页）E100（10.2）1000.5+100（10.1）1000.585008400，在不开箱检验的情况下，可以购买（） （i）X 的可能取值为 0，1，2，P（X0） 0.64，P（X1） 0.32，P（X2） 0.04，X 的分布列为：X &nb
39、sp;0 1 2P 0.64 0.32 0.04E（X）00.64+10.32+20.040.4（ii）设事件 A：发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品，则 P（A） 0.25，一箱产品中，设正品的价格的期望值为 ，则 8000， 9000，事件 B1：抽取的废品率为 20%的一箱，则 P（8000）P（B 1|A） 0.64，事件 B2：抽取的废品率为 10%的一箱，则 P（900）P（B 2|A） 0.36，E（ ）8000 0.64+90000.3683608400，已发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品，不可以
40、购买【点评】本题考查概率的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+a（a R） （）若 a0，求过点（1，0）与曲线 yf （x）相切的切线方程；（）若不等式 f（x ）ln（xa）恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （）当 a0 时，f（x ）e x，f（x）e x，由切线的斜率相等列式求得第 21 页（共 22 页）x00，则切线方程可求；（）依题意，得 ex+aln（xa） ，即 ex+xln （xa） +xa，也就是ex+xln（xa ）+e ln（x a） 恒成立，构造
41、函数 g（x）e x+x，由 g（x）在 R 上单调递增，可得 axe x 恒成立，再令 h（x）x e x，利用导数求其最大值，则 a 的取值范围可求【解答】解：（）当 a0 时，f（x ）e x，f（x）e x，设切点为（x 0， ） ，则 ，得 x00所求切线方程为 yx +1；（）依题意，得 ex+aln（xa） ，即 ex+xln（x a）+x a，也就是 ex+xln （xa）+e ln（xa） 恒成立，令 g（x）e x+x，则 g（x ）在 R 上单调递增，则 ex+xln（x a）+e ln（x a） 等价于 xln （xa）恒成立即 exx a 恒成立，即 axe x 恒成
42、立令 h（x）xe x，h（x ） 1e x，由 h（x）0，得 x0，由 h（x ）0，得 x0，h（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减h（x） maxh（0）1a1故实数 a 的取值范围为（1，+） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，体现了数学转化思想方法，是中档题请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，直线 l：y kx（k 0） ，以
43、 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA| OB|的值【分析】 （）先消去参数得曲线 C 的普通方程，再根据互化公式化成极坐标方程；第 22 页（共 22 页）（）把直线 l 的极坐标方程代入曲线 C 的极坐标方程后根据韦达定理及极径的几何意义可得【解答】解：（）由曲线 C 的参数方程消去参数 可得曲线 C 的普通方程为：（x1） 2+y2 4，即 x2+y2 2x30，化为极坐标方程为 22cos 30（）直线 l 的极坐标方程为 （ （0， ） ） ，将 代入方程 22 cos30，得
44、22cos 30， 123，|OA |OB| 1 2|3【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23已知不等式|2x 1|+|2x 2| x+3 的解集是 A（）求集合 A；（）设 x，yA，对任意 aR，求证：xy（|x+a|y +a|）x 2+y2【分析】 （）分 3 段去绝对值解不等数组，再相并可得 A；（）先证|x+ a|y +a|x y|，再证| xy|2， + 2，最后根据不等式的传递性可证【解答】解：（）当 x 时，不等式变形为 12x+22xx+3，解得 0x ；当 时，不等式变形为 2x1+22xx +3，解得 ；当 x1 时，不等式变形为 2x1+2x 2x+3，解得 1x2；综上得 A x|0x 2（）x，yA，0x ，y2，|x+a|y+ a|（x +a）（ y+a）| |xy |，0x，y2，2x y2，|x y|2，|x+a|y+a|2， + 2 2，|x+a|y+a| + ，即 xy（ |x+a| y+a|）x 2+y2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的传递性，基本不等式，属中档题
