1、2018-2019 学年河北省唐山市开滦二中高二（下）6 月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题 60 分）1 （5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 PQ x|x P 且 xQ，如果 Px|log 2x1，Qx| x2| 1，那么 PQ （ ）A （0，1） B （0，1 C1 ，2） D2 ，3）2 （5 分）函数 f（x ）log 2（1x）的图象为（ ）A BC D3 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 af（ log3 ） ，bf（ ） ，cf（） ，则（ ）Acba Bcab Cacb Dabc4 （5 分）已
2、知 f（x ）是定义在 R 上奇函数，当 x0 时，f（x）log 2（x+1） ，则f（3）（ ）A2 B1 C2 D15 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 为 BC 的中点，且 ，则（ ）A B1 C D36 （5 分）执行如图的程序框图，若输出的 S48，则输入 k 的值可以为（ ）第 2 页（共 22 页）A4 B6 C8 D107 （5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A B C D8 （5 分）如图在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线
3、 ye x 的切线，切点为 P，过点 P 分别作 x，y 轴的垂线垂足分别为 A，B，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）第 3 页（共 22 页）A B C D9 （5 分）已知等差数列a n中，a 3+a5a 4+7，a 1019，则数列 ancosn的前 2018 项和为（ ）A1008 B1009 C2017 D201810 （5 分）已知在数列a n中，a 11，a n ，则 a12 等于（ ）A B C D11 （5 分）已知函数 f（x ）2cos 2xsin2x1，则以下判断中正确的是（ ）A函数 f
4、（x）的图象可由函数 的图象向左平移 而得到B函数 f（x ）的图象可由函数 的图象向左平移 而得到C函数 f（x ）的图象可由函数 的图象向右平移 而得到D函数 f（x）的图象可由函数 的图象向左平移 而得到12 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a75， S555，则 nSn 的最小值为（ ）A343 B324 C320 D243二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）13 （5 分）函数 f（x ）sin 2（x+ ）sin 2（x ） ，x （ ， ）的值域是 14 （5 分）已知向量 （1，cos x） ， （
5、sin x， ） （0） ，函数 f（x） ，且 f（x ）图象上一个最高点的坐标为（ ） ，与之相邻的一个最低点的坐标为（） ，f（x）的解析式为 15 （5 分）已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（3，4） ，端点 A 在圆（x+2） 2+（y1） 22上运动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是 16 （5 分）选做题：若 a，b，c0，且 a2+ab+ac+bc4，则 2a+b+c 的最小值为 三、解答题（第 17 题 10 分，第 18 题 12 分，第 19 题 12 分，第 20
6、题 12 分，第 21 题 12分，第 22 题 12 分，共 6 小题 70 分）第 4 页（共 22 页）17 （10 分）已知向量 （cos（ x） ，sinx） ， （sin（x+ ） ，sinx） ，函数f（x） （）求函数 f（x ）的最小正周期和单调递减区间；（）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2 ，f（C ） ，求ABC 面积的最大值18 （12 分）已知某校 5 个学生期末考试数学成绩和总分年级排名如表：学生的编号 i 1 2 3 4 5数学 xi 115 112 93 125 145年级排名 yi 250 300 450 70 10（）通过大量
7、事实证明发现，一个学生的数学成绩和总分年级排名具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用 x 表示数学成绩，用 y 表示年级排名，求 y 与x 的回归方程；（其中 都取整数）（）若在本次考试中，预计数学分数为 120 分的学生年级排名大概是多少？参考数据和公式： ，其中 ， x ，其中 （x i ） （y i ） 1304019 （12 分）已知数列a n满足 a1+2a2+3a3+nann 2（nN +） （1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn ，且 b1+b2+b3+bm ，求 m 的值20 （12 分）已知函数 f（x ）|x+2a|+| x1|，a R（1）当 a1 时
8、，解不等式 f（x ）5（2）若 f（x） 2 对于x R 恒成立，求实数 a 的取值范围21 （12 分）如图，设ABC 是边长为 2 的正三角形，DC平面 ABC，EADC，若EA： AB：DC2：2：1，F 是 BE 的中点（1）证明：FD平面 ABE；第 5 页（共 22 页）（2）求 CE 与平面 EAB 所成角的正弦值22 （12 分）已知圆 C1：x 2+y2+6x0 关于直线 l1：y2x+1 对称的圆为 C（1）求圆 C 的方程；（2）过点（1，0）作直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线 l，使得 OAOB若存在，求出所有满足条件的直线
9、l 的方程；若不存在，请说明理由第 6 页（共 22 页）2018-2019 学年河北省唐山市开滦二中高二（下）6 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题 60 分）1 （5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 PQ x|x P 且 xQ，如果 Px|log 2x1，Qx| x2| 1，那么 PQ （ ）A （0，1） B （0，1 C1 ，2） D2 ，3）【分析】先根据对数函数的性质求出集合 P 中的不等式 log2x1 的解集得 P，再求出集合 Q 中的绝对值不等式的解集即 Q，然后根据题中的新定义即可求出 PQ 即可【解答】
10、解：由不等式 log2x1log 22，得到集合 P（0，2） ；集合 Q 中的不等式|x2|1 可化为： ，解得 1x3，故集合 Q（1，3） ，定义集合 PQx |xP 且 xQ，则 PQ（0，1故选：B【点评】此题要求学生掌握对数函数的定义域、对数函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题2 （5 分）函数 f（x ）log 2（1x）的图象为（ ）A BC D【分析】由题中函数知，当 x0 时，y0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，第 7 页（共 22 页）此函数是减函数，根据此两点可得答案【解答】解：观察四个图的不同发现，A、
11、C 图中的图象过原点，而当 x0 时，y 0，故排除 B、D ；剩下 A 和 C又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除 C故选：A【点评】本题考查对数函数的图象与性质，对于选择题，排除法是一种找出正确选项的很好的方式3 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 af（ log3 ） ，bf（ ） ，cf（） ，则（ ）Acba Bcab Cacb Dabc【分析】由分段函数运用对数函数的单调性求出 a1，运用指数函数的单调性，判断0cb1，进而得到 a，b，c 的大小【解答】解：函数 f（x ） ，则 af（log 3 ）1log 3 1+log 321，bf（ ）f（ ） （0，1
12、） ，cf（ ） （0，1） ，由 y2 x 在 R 上递增， ，可得 ，则 cba，故选：D【点评】本题考查分段函数的运用：比较函数值的大小，注意运用对数函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题4 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上奇函数，当 x0 时，f（x）log 2（x+1） ，则f（3）（ ）A2 B1 C2 D1第 8 页（共 22 页）【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（3）的值，结合函数的奇偶性分析可得f（3）f（3） ，即可得答案【解答】解：根据题意，当 x0 时，f （x）log 2（x +1） ，则 f（3）log 242，又由函数 f（
13、x）为奇函数，则 f（3）f （3）2；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题5 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 为 BC 的中点，且 ，则（ ）A B1 C D3【分析】由平面向量数量积的性质及其运算得： ，可得点 P 为线段 BC 的三等分点且靠近点 C，由| |cos的几何意义为 在 方向上的投影，则有：| | |cos| |2（ ） 23，得解【解答】解：由 ，可得点 P 为线段 BC 的三等分点且靠近点 C，设 ， 的夹角为 ，由| |cos的几何意义为 在 方向上的投影，则有： | | |cos|
14、 |2（ ） 23，故选：D【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题6 （5 分）执行如图的程序框图，若输出的 S48，则输入 k 的值可以为（ ）第 9 页（共 22 页）A4 B6 C8 D10【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 S48 时，由题意，此时应该满足条件 n10k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应有：7k10【解答】解：模拟执行程序框图，可得n1，S1不满足条件 nk，n4，S6不满足条件 nk，n7，S19不满足条件 nk，n10，S48由题意，此时应该满足条件 n10k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应
15、有：7k10故选：C【点评】本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析 k 的取值范围是解题的关键，属于基础题7 （5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A B C D【分析】先求出基本事件总数，再求出 3 位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率【解答】解：2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，基本事件总数 n 120，第 10 页（共 22 页）3 位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数 m 72，3 位女生中有且只有两位女生
16、相邻的概率 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用8 （5 分）如图在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线 ye x 的切线，切点为 P，过点 P 分别作 x，y 轴的垂线垂足分别为 A，B，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】由导数的几何意义，求过曲线外一点的切线方程得：点 P 为切点过原点的切线方程为：yex 由定积分的几何意义得：S 阴 （e xex）d x（e x ）| ，由几何概型中的面积型得：P（A ） ，得解【解答】解：设 P（x 0，e ）
17、 ，由 ye x，则以点 P 为切点过原点的切线方程为：ye e （x x0） ，第 11 页（共 22 页）又此切线过点（0，0） ，求得：x 01，即 P（1，e ） ，以点 P 为切点过原点的切线方程为：yex由定积分的几何意义得：S 阴 （e xex）d x（e x ）| ，设“向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件 A，由几何概型的面积型可得：P（A） ，故选：A【点评】本题考查的过曲线外一点的切线方程、定积分的几何意义及几何概型中的面积型，属中档题9 （5 分）已知等差数列a n中，a 3+a5a 4+7，a 1019，则数列 ancosn的前 2018 项和
18、为（ ）A1008 B1009 C2017 D2018【分析】首先利用等差数列的项求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解等差数列a n中，a 3+a5a 4+7，a 1019，则：2a 4a 47，第 12 页（共 22 页）所以：a 47，整理得：a n2n1，则：数列设 bna ncosn，则：b 11，b 23，b 35，b 47，S2018（1+3）+ （5+7 ） +（4033+4035） ，21009，2018故选：D【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10 （5 分）
19、已知在数列a n中，a 11，a n ，则 a12 等于（ ）A B C D【分析】由递推公式依次求出数列的前四项由此猜想 再用数学归纳法进行证明，从而能求出 a12【解答】解：在数列a n中，a 11，a n ， ， ， ，由此猜想 当 n 1 时， 1，成立假设 nk（k2）时， 成立，第 13 页（共 22 页）则当 nk+1 时， ，也成立， ，a 12 故选：B【点评】本题考查数列的第 12 项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想和数学归纳法的合理运用11 （5 分）已知函数 f（x ）2cos 2xsin2x1，则以下判断中正确的是（ ）A函数
20、f（x）的图象可由函数 的图象向左平移 而得到B函数 f（x ）的图象可由函数 的图象向左平移 而得到C函数 f（x ）的图象可由函数 的图象向右平移 而得到D函数 f（x）的图象可由函数 的图象向左平移 而得到【分析】利用三角恒等变换化简 f（x ）的解析式，再根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数 f（x ）2cos 2xsin2x1cos2x sin2x cos（2x+ ） ，故把函数 的图象向左平移 个单位，可得 f（x）的图象，故选：A【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，属于基础题12 （5 分）设 Sn 为等差
21、数列a n的前 n 项和，若 a75， S555，则 nSn 的最小值为（ ）A343 B324 C320 D243【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得 a1，d，在代入求和公式即可求解【解答】解：由题意可得， 解可得 a119，d4，第 14 页（共 22 页）S n19n 2n 221n，nS n2n 321n 2，设 f（x）2x 321x 2，f（x）6x（x7） ，当 0x7 时，f（x）0；函数是减函数；当 x7 时，f （x）0，函数是增函数；所以 n7 时，nS n 取得最小值：343故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的 通项公式
22、及求和公式的简单应用，属于基础试题二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）13 （5 分）函数 f（x ）sin 2（x+ ）sin 2（x ） ，x （ ， ）的值域是 （，1 【分析】利用三角函数中的恒等变换可求得 f（x ）sin2x，x（ ， ）2x（ ， ） ，利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域【解答】解：f（x ）sin 2（x+ ）sin 2（x ） （sin2x+sin2x）sin2x ，x（ ， ） ，2x（ ， ） ， sin2x 1，即当 x（ ， ）时，函数 f（x）sin 2（x+ ）sin 2（x ）的值域是（ ，1故答案为：（ ，1【
23、点评】本题考查二倍角的余弦与诱导公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于第 15 页（共 22 页）中档题14 （5 分）已知向量 （1，cos x） ， （sin x， ） （0） ，函数 f（x） ，且 f（x ）图象上一个最高点的坐标为（ ） ，与之相邻的一个最低点的坐标为（） ，f（x）的解析式为 f（x）2sin （2x+ ） 【分析】计算平面向量的数量积，根据三角恒等变换与三角函数的图象与性质，即可求出 f（x）的解析式【解答】解：向量 （1，cos x） ， （sin x， ） （0） ，则函数 f（x） cos x+ sinx2sin （ x+ ） ，
24、又 f（x）图象上最高点与之相邻的最低点坐标，计算 T2（ ），即 ，解得 2；又 f（x）图象上最高点的坐标为（ ） ，所以 f（x）的解析式为 f（x）2sin （2x+ ） 故答案为：f（x ）2sin（2x+ ） 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题15 （5 分）已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（3，4） ，端点 A 在圆（x+2） 2+（y1） 22上运动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是 （2x1） 2+（2y 5） 22 【分析】设出 A 和 M 的坐标，由中点坐标公式把 A 的坐标用 M 的坐标表示，然后代入圆
25、的方程即可得到答案【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，线段 AB 的中点 M 为（x ，y） 则 ，即 端点 A 在圆（x +2） 2+（y1） 22 上运动， 第 16 页（共 22 页）把代入得：（2x1） 2+（2y5） 22线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是（2x1） 2+（2y5） 22故答案为（2x1） 2+（2y 5） 22【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了代入法，关键是运用中点坐标公式，是中档题16 （5 分）选做题：若 a，b，c0，且 a2+ab+ac+bc4，则 2a+b+c 的最小值为 4 【分析】因为（2a+b+ c） 24a 2+b2+c2+4
26、ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式 b2+c22bc 即可求出结果【解答】解：44（a 2+ab+ac+bc）44a 2+4ab+4ac+4bc4a 2+4ab+b2+c2+4ca+2bc（2a+b+c） 2，所以 2a+b+c4故答案为：4【点评】本小题主要考查均值不等式的有关知识及配方法的有关知识，以及转化与化归的思想方法解答的关键是利用平方关系 4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc（2a+b+c） 2 建立条件与结论之间的联系三、解答题（第 17 题 10 分，第 18 题 12 分，第 19 题 12 分，第 20 题 12 分，第 21 题 12分，第
27、 22 题 12 分，共 6 小题 70 分）17 （10 分）已知向量 （cos（ x） ，sinx） ， （sin（x+ ） ，sinx） ，函数f（x） （）求函数 f（x ）的最小正周期和单调递减区间；（）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2 ，f（C ） ，求ABC 面积的最大值【分析】 （）根据向量数量积的定义求出函数的解析式，结合周期公式以及单调性进行求解即可；（）根据条件求出 C 的值，结合余弦定理以及基本不等式，以及三角形的公式进行求解即可【解答】解：（）f（x ） （cos （ x ） ，sinx）（sin（x+ ） ，sinx）（cos（ x）
28、 （sin （x + ）sin 2x第 17 页（共 22 页）（ cosx+ sinx） 2sin 2x （cos 2xsin 2x）+ sinxcosx cos2x+ sin2x sin（2x+ ） ，函数的周期 T ，由 2k+ 2x + 2k + ，k Z，即 k+ x k+ ，k Z，即函数的单调递减区间为k+ ，k + ，kZ（）f（C） ， sin（2C + ） ，sin（2C + ）1，即 2C+ 2k ，得 Ck ，kZ，0C ，当 k1 时，C ，由余弦定理得 c2a 2+b22abcosC，c2 ，12a 2+b22abcos a 2+b2+ab2ab+ab3ab，即 a
29、b4，则三角形的面积 S absinC ，当且仅当 ab 时取等号，即三角形的面积的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的定义以及辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键本题考查的公式比较多18 （12 分）已知某校 5 个学生期末考试数学成绩和总分年级排名如表：学生的编号 i 1 2 3 4 5数学 xi 115 112 93 125 145年级排名 yi 250 300 450 70 10（）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和总分年级排名具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用 x 表示数学成绩，用 y 表示年级排名，求 y 与第 18
30、页（共 22 页）x 的回归方程；（其中 都取整数）（）若在本次考试中，预计数学分数为 120 分的学生年级排名大概是多少？参考数据和公式： ，其中 ， x ，其中 （x i ） （y i ） 13040【分析】 （）求出 x，y 的平均数，求出相关系数，求出回归方程即可；（）代入 x 的值，求出 y 的预报值即可【解答】解：（） （115+112+93+125+145）118， （250+300+450+70+10）216，故 9， 1278，故 9x+1278；（）x120 时， 198，故预计数学分数为 120 分的学生年级排名大概是 198 名【点评】本题考查了求回归方程问题，考查函数
31、求值，是一道常规题19 （12 分）已知数列a n满足 a1+2a2+3a3+nann 2（nN +） （1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn ，且 b1+b2+b3+bm ，求 m 的值【分析】 （1）由 a1+2a2+3a3+nann 2 推出 a1+2a2+3a3+（n1）a n1 （n1）2，两式相减即可得到数列的通项公式；（2）化简 bn ，利用裂项消项法求解数列的和，然后求解 m 即可【解答】解：（1）由 a1+2a2+3a3+nann 2得 a1+2a2+3a3+（n1）a n1 （n1） 2，第 19 页（共 22 页）两式相减得 nan2n1，即 an （n2） ，当
32、n1 时也满足（2）b n ，所以 b1+b2+b3+bm ，解得 m16【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力20 （12 分）已知函数 f（x ）|x+2a|+| x1|，a R（1）当 a1 时，解不等式 f（x ）5（2）若 f（x） 2 对于x R 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）当 a1 时，可得 f（x ）解析式，分段去绝对值即可求不等式；（2）根据绝对值不等式求解即可【解答】解：（1）当 a1 时，f（x ）|x+2|+|x1| 5当 x1 时，f（x ）x+2+x15，解得：x2，即 1x2当 1 x2 时，f（x ）x
33、+2+1x35，恒成立当 x2 时，f（x ）x2x+15，解得：x3，即3x2综上，不等式的解集是3， 2（2）若 f（x）对于 xR 恒成立，即 f（x）|x+2a|+|x1| |x +2a|+|1x| |2a+1|2 a+1|2，即（2a+1） 24解得：a 或 a ，实数 a 的取值范围是（， ，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用了零点分段去绝对值和绝对值不等式的性质的运用属于中档题21 （12 分）如图，设ABC 是边长为 2 的正三角形，DC平面 ABC，EADC，若EA： AB：DC2：2：1，F 是 BE 的中点第 20 页（共 22 页）（1）证明：FD平面 A
34、BE；（2）求 CE 与平面 EAB 所成角的正弦值【分析】 （1）取 AB 中点 M，连结 MC，推导出 FMEA，从而 FMDC，且FMDC ，进而四边形 FMCD 是平行四边形，FD MC，由 CD平面 ABC，得CDCM，从而 AECM，求出 DFAE，DFAB，由此能证明 FD平面 ABE（2）连结 EM，由 MC平面 ABE，得CEM 是 CE 与平面 EAB 所成角，由此能求出CE 与平面 EAB 所成角的正弦值【解答】证明：（1）取 AB 中点 M，连结 MC，ABC 是边长为 2 的正三角形，F 是 BE 的中点，FMEA，FM EA1DC，又 EADC，FM DC ，且 F
35、MDC，四边形 FMCD 是平行四边形， FD MC，CD平面 ABC，CDCM ，又 AECD，AE CM，CMAB，DF AE，DFAB，AEABA，FD平面 ABE解：（2）连结 EM，MC平面 ABE，CEM 是 CE 与平面 EAB 所成角，ABC 是边长为 2 的正三角形，DC 平面 ABC，EADC，EA： AB：DC2：2：1，CM ，CM 2 ，sinCEM CE 与平面 EAB 所成角的正弦值为 第 21 页（共 22 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题
36、22 （12 分）已知圆 C1：x 2+y2+6x0 关于直线 l1：y2x+1 对称的圆为 C（1）求圆 C 的方程；（2）过点（1，0）作直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线 l，使得 OAOB若存在，求出所有满足条件的直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【分析】 （1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，解出圆心关于直线 l1：y2x+1的对称点，即可得到圆 C 的圆心坐标，求得圆 C 的标准方程；（2）分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时，直接求出直线方程，与圆的方程联立求出 A，B 的坐标，已知 即可；当直线的斜率存在
37、时，设出直线方程，与圆的方程联立，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 A，B 的横坐标的和与积，代入向量垂直的坐标运算求得 k，则直线方程可求【解答】解：（1）圆 C1 化为标准式为（ x+3） 2+y29，设圆 C1 的圆心 C1（3，0）关于直线 l1：y 2x+1 的对称点为 C（a，b） ，则 ，且 CC1 的中点 在直线 l1：y2x +1 上，有 ，解得： ，圆 C 的方程为（x 1） 2+（ y+2） 29；（2）要使 OAOB，必须使 ，即：x 1x2+y1y20当直线 l 的斜率不存在时，可得直线 l 的方程为 x1，与圆 C：（x1）第 22 页（共 22
38、 页）2+（y+2） 29 交于两点 ， ，OAOB，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x1 满足条件当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 yk（x+1 ） 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）由 得：（1+k 2）x 2+（2k 2+4k2）x+k 2+4k40， ，由于点（1，0）在圆 C 内部， 0 恒成立要使 OAOB ，必须使 ，即 x1x2+y1y20，也就是： ，即 ，整理得：4k40，解得：k1，直线 l 的方程为 yx+1故存在直线 x1 和 yx +1，使得 OAOB【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，是中档题
