1、2019 年福建省南平市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ax| x240，Bx|2 x1 ，则 AB（ ）A x|0x2 Bx|x2 C x|2x0 D x|x22 （5 分）若复数 z 满足（12i）z2i ，则|z+1i| （ ）A1 B C D3 （5 分）若直线 与曲线 ymxln（2x +1）相切于点 O（0，0） ，则 m（ ）A0 B C D4 （5 分）如图，直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，三角形内的空白部分是由三个半
2、径为 3 的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay2x By x Cy x Dy x6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 ，ccosB（2ab）cosC，则 ABC 的面积为（ ）A B C6 D127 （5 分）从 6 位女学生和 5 位男学生中选出 3 位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这 3 位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）A810 种 B840 种
3、C1620 种 D1680 种8 （5 分）刘徽（225295） ，3 世纪杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积，因此他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”已知某“堵”与某“阳马”组第 2 页（共 25 页）合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D9 （5 分）已知点 A（1，1） ，B（4，0） ，C （2，2） ，平面区域是由所有满足 （12， 1 3）的点 D（x，y ）组成的区域，则区域 E 的面积是（ ）A8 B12 C16 D2010
4、 （5 分）已知（1x+mx 2） 6 的展开式中 x4 的系数小于 90，则 m 的取值范围为（ ）A （，5）（1，+）B （5，1）CD11 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPB3，BC ，AC8，ABBC ，平面PAB平面 ABC，若球 O 是三棱锥 PABC 的外接球，则球 O 的半径为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 的图象关于点O1（n，0）中心对称，关于直线 l：xm 对称（直线 l 是与点 O1 距离最近的一条对称轴） ，过函数 yf（x ）的图象上的任意一点 A（x 0，y 0）作点 O1、直线 l 的对称点分别为 A1（ x1，y
5、 1） 、A 2（x 2， y2） ，且 ，当 时， 记函数yf（x ）的导函数为 yf'（ x） ，则当 时，cos2（ ）A2 B1 C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知函数 yf（x）在 R 单调递减，且为奇函数若 f（x2）0，则 x 的取第 3 页（共 25 页）值范围是 ；14 （5 分）已知 ，则 15 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 16 （5 分）已知点 在离心率为 的椭圆 上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为 &
6、nbsp; 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 1，a n，S n 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n满足 bnlog 2a1+log2a2+log2an，记 ，求 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，ABCD，AB2CD，AD ，PC3，PAB 是正三角形，E 为 AB 的中点，平面 PAB平面 PCE（1）求证：CE平面 PAB（2）在棱 PD 上是否存在点 F，使得二面角 PABF 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由1
7、9 （12 分）从某工厂生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这 1000 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（ ， 2） ，其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2第 4 页（共 25 页）（i）利用该正态分布，求 P（127.6Z 140） ；（ii）某用户从该工厂购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（127.6，140）的产品件数，利用（i）的
8、结果，求 EX附： 若 ZN（， 2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z +2）0.954420 （12 分）已知平面上动点 P 到点 H（1，0）距离比它到直线 x2 距离少 1（1）求动点 P 的轨迹方程（2）记动点 P 的轨迹为曲线 ，过点 H（1，0）作直线 l 与曲线 交于 A，B 两点，点 M（4，0） ，延长 AM，BM，与曲线 交于 C，D 两点，若直线 AB，CD 的斜率分别为 k1，k 2，试探究 是否为定值？若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由21 （12 分） （1）已知函数 是（1，+）上的增函数，求实数 a 的取值范围；（2）试比较两数 与 的大小，并
9、证明你得出的结论请考生在第 22、23 二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 ，射线 （ 0）交曲线 C 于点第 5 页（共 25 页）A，倾斜角为 的直线 l 过线段 OA 的中点 B 且与曲线 C 交于 P、Q 两点（1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程；（2）当直线 l 倾斜角 为何值时，|BP| |BQ|取最小值，并求
10、出 |BP|BQ|最小值选修 45：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x |+|x2|（1）解不等式：f（x ）5；（2）当 xR 时，f（x）ax+1，求实数 a 的取值范围；第 6 页（共 25 页）2019 年福建省南平市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ax| x240，Bx|2 x1 ，则 AB（ ）A x|0x2 Bx|x2 C x|2x0 D x|x2【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的并集即可
11、【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x2） （x +2）0，解得：2x2，即 Ax|2x 2 ，由 B 中不等式变形得：x 0，即 Bx| x0 ，则 ABx|x2故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2 （5 分）若复数 z 满足（12i）z2i ，则|z+1i| （ ）A1 B C D【分析】推导出 z i，从而| z+1i |1 2i|，由此能求出结果【解答】解：复数 z 满足（12i）z2i ，z i，|z+1i|1 2i| 故选：D【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3 （5
12、 分）若直线 与曲线 ymxln（2x +1）相切于点 O（0，0） ，则 m（ ）A0 B C D【分析】利用导数的几何意义可得：f（0） ，求解即可【解答】解：yf（x）mxln（2x+1） ，f （x）m ，第 7 页（共 25 页）由题意可得：f（0）m2 ，解得：m 故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义、切线方程，考查了计算能力，属于基础题4 （5 分）如图，直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，三角形内的空白部分是由三个半径为 3 的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】由几何概型中的面积型及扇形的面
13、积公式得：三个半径为 3 的扇形可拼凑为一个半径为 3 的半圆，则 S 阴 ，又 S 24，则该点落在阴影部分的概率为： ，得解【解答】解：由图可知，三个半径为 3 的扇形可拼凑为一个半径为 3 的半圆，由圆的面积公式得：S 阴 ，又 S 24，则向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为： ，故选：A【点评】本题考查了几何概型中的面积型及扇形的面积公式，属中档题5 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay2x By x Cy x Dy x【分析】根据离心率公式 e ，求出 a，b 的关系，继而得到渐近线方程【解答】解：因为
14、双曲线的离心率公式 e ，第 8 页（共 25 页） 2，双曲线的渐近线方程为： 0yy2x故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得 是关键，考查分析、运算能力，属于中档题6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 ，ccosB（2ab）cosC，则 ABC 的面积为（ ）A B C6 D12【分析】由正弦定理和三角恒等变换求得 cosC 与 C 的值，利用三角形的面积公式即可得解【解答】 （本题满分为 10 分）解：在ABC 中，由正弦定理知 2R，又（2ab）cosCccosB，2sinAcosCsinBcosC+cosBsinC ，即 2sinAcosCs
15、inA； （4 分）0A，sinA0；cosC ； （6 分）又 0C ，C ； （ 8 分）S ABC absinC 42 6 （10 分）故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题第 9 页（共 25 页）7 （5 分）从 6 位女学生和 5 位男学生中选出 3 位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这 3 位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）A810 种 B840 种 C1620 种 D1680 种【分析】根据条件分 2 男 1 女，或 1 男
16、2 女，利用排列组合公式进行计算即可【解答】解：若 3 位科代表中男、女学生都要有，则分 2 男 1 女，或 1 男 2 女，若 1 男 2 女，则有 450，若 2 男 1 女，则有 360，共有 450+360810，故选：A【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据条件分 2 男 1 女，或 1 男 2 女是解决本题的关键8 （5 分）刘徽（225295） ，3 世纪杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积，因此他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”已知某“堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如
17、图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D【分析】根据三视图得出三棱柱与四棱锥的几何特征，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知直三棱柱的底面直角三角形边长为 1 和 ，高为 1，四棱锥的底面矩形为边长为 1 的正方形，高为 2，故几何体的体积 V + 故选：A第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查了棱柱与棱锥的三视图与体积计算，属于中档题9 （5 分）已知点 A（1，1） ，B（4，0） ，C （2，2） ，平面区域是由所有满足 （12， 1 3）的点 D（x，y ）组成的区域，则区域 E 的面积是（ ）A8 B12 C16 D20【分析】根据平面向量
18、加法的平行四边形法则，表示出区域 E然后根据向量的数量积运算，计算出BAC 的余弦值，进而得到其正弦值，即可求出以 AB，AC 为邻边的平行四边形的面积，即可表示出区域 E 的面积【解答】解：如图，以 AB，AC 为邻边构造平行四边形，以 2AB，2AC 为邻边构造平行四边形，以 2AB，3AC 为邻边构造平行四边形，则根据向量的平行四边形法则，所有满足 （12，13）的点 D（x，y）组成的区域，为图中的阴影区域其面积为以 AB，AC 为邻边的平行四边形面积 S 的二倍依题意， （3，1） ， （1，3） ，所以 cosBAC ，所以 sinBAC ，所以 S sinBAC 8所
19、以区域 E 的面积是 2S16故选：C第 11 页（共 25 页）【点评】本题通过求区域面积，考查了平面向量的加法的平行四边形法则、向量的数量积运算、向量模长公式、平行四边形的面积等知识属于中档题10 （5 分）已知（1x+mx 2） 6 的展开式中 x4 的系数小于 90，则 m 的取值范围为（ ）A （，5）（1，+）B （5，1）CD【分析】根据乘方的意义，根据排列组合数公式计算求得结果【解答】解：（1x+mx 2） 6 表示 6 个因式（1x+mx 2）的乘积，故展开式中含 x4 的项为：一个因式取 mx2，两个因式取x ，其余的 3 个因式都取 1；或者：有两个因式取 m
20、x2，其余的 4 个因式都取 1；或者有 4 个因式取x，其余的 2 个因式取 1，故 x4 的系数为 m （1） 2+ m2+ 15m 2+60m+1590，即 m2+4m 50，求得5m1，故选：B【点评】本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题11 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPB3，BC ，AC8，ABBC ，平面PAB平面 ABC，若球 O 是三棱锥 PABC 的外接球，则球 O 的半径为（ ）第 12 页（共 25 页）A B C D【分析】找到球心所在的位置，根据勾股定理列方程求解即可【解答】解：如图，D，E 为边 AC、AB 的中点，过点 D 作
21、平面 ABC 的垂线 l，因为三角形 ABC 为直角三角形，所以 ADBDCD，所以三棱锥 PABC 的外接球球心必在直线 l 上，设球心为 O因为 PAPB3，所以 PE AB，AB 4 所以 PE 1又因为平面 PAB平面 ABC，所以 PE平面 ABC，所以 PEOD，PE DE，过 O 作 OFDE，交 PE 的延长线与 F，则四边形 ODEF 为矩形所以 OFPE，即三角形 POF 为直角三角形DE 为三角形 ABC 的中位线，所以 DE BC2 ，设球的半径为 r，ODx，则 PFx +1，则 r2OF 2+PF2OD 2+AD2，即 x 2+42，解得 x ，所以 r 故选：A第
22、 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了三棱锥的外接球问题，找到球心的位置是解决此类问题的关键本题属于中档题12 （5 分）已知函数 的图象关于点O1（n，0）中心对称，关于直线 l：xm 对称（直线 l 是与点 O1 距离最近的一条对称轴） ，过函数 yf（x ）的图象上的任意一点 A（x 0，y 0）作点 O1、直线 l 的对称点分别为 A1（ x1，y 1） 、A 2（x 2， y2） ，且 ，当 时， 记函数yf（x ）的导函数为 yf'（ x） ，则当 时，cos2（ ）A2 B1 C D【分析】由已知可求 x2x 1，结合已知可求周期 T，进而可求 ，f（x
23、） ，然后由时， ，可求 ，代入结合诱导公式可求【解答】解：A（x 0，y 0）关于 O1（n，0）直线 l：x m 的对称点分别为 A1（x 1，y 1） 、A2（x 2， y2） ，x 1+x02n， x0+x22m，x 2x 12（nm） ，|n m | 即 ，T， 2，f（x ）sin（2x+） ，当 时， ， ，| ，yf（x）sin（2x + ） ，f'（x）2cos（2x ） ， ，2sin（2 ）2 cos（2x ）4cos2 2，cos2第 14 页（共 25 页）故选：C【点评】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，属于中档试题二、填空题：本大题共 4 小题
24、，每小题 5 分13 （5 分）已知函数 yf（x）在 R 单调递减，且为奇函数若 f（x2）0，则 x 的取值范围是 （，2） ；【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）0，结合函数的单调性可得 f（x 2）0f（x2）f（0） x20，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 yf （x）在 R 上为奇函数，则 f（0）0，又由函数 yf（ x）在 R 单调递减，则 f（x2）0f（x2）f （0）x20，解可得 x2，即 x 的取值范围为（，2） ；故答案为：（，2） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析 f（0）0，属于基础题14 （5 分
25、）已知 ，则 3 【分析】由题意利用两角差的正切公式求得 tan 的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值【解答】解：已知 ，tan ，则 3，故答案为：3【点评】本题主要考查两角差的正切公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题15 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内动点与定点第 15 页（共 25 页）P（2，3）连线的斜率求解【解答】解：由 作出可行域如图，联立 ，解得 A（1，1） ，的几何意义为可行域内动点与定点 P（2，3）连线的斜率，则 的最小值
26、为 故答案为： 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16 （5 分）已知点 在离心率为 的椭圆 上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为 【分析】由已知求得 a，b 的值，结合椭圆内接 n 边形面积的最大值公式为求解，是中档题【解答】解：由题意，b ，e ，又 a2b 2+c2，解得 a2，b ，c1椭圆方程为 线面证明椭圆内接 n 边形面积的最大值为 事实上，设椭圆上弧 A1A2 所对的弧心角为 1，弧 A2A3 所对的弧心角为 2，弧 AnA1 所对的弧心角为 n，则 1+2+n2 ，0 1， 2， n 第 16 页（共 25 页）则
27、 考察函数 ysinx（0x）的凸性，求出二阶导数 ysinx0，则 ysin x 在（0，）上为上凸函数，由琴生不等式可知： 当且仅当 时，上式“”成立该椭圆的内接八边形面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，熟记公式椭圆内接 n 边形面积的最大值为 是关键，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 1，a n，S n 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n满足 bnlog 2a1+log2a2+log2an，记 ，求 Tn【分析】 （1）由题意可
28、得 Sn2a n1，由数列的递推式：n1 时，a 1S 1，n2 时，anS nS n1 ，结合等比数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得 log2ann1，由等差数列的求和公式和裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）1，a n，S n 成等差数列，可得 Sn2a n1，可得 a1S 12a 11，解得 a11，n2 时，a nS nS n1 2a n12a n1 +1，即 an2a n1 ，可得数列a n为首项为 1，公比为 2 的等比数列，可得 an2 n1 ；（2）log 2ann1，bnlog 2a1+log2a2+log2an0+1+（n1）第 17 页（共 25 页） n
29、（n1） ，即有 2（ ） ，可得 Tn2（1 + + ）2（1 ） 【点评】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，ABCD，AB2CD，AD ，PC3，PAB 是正三角形，E 为 AB 的中点，平面 PAB平面 PCE（1）求证：CE平面 PAB（2）在棱 PD 上是否存在点 F，使得二面角 PABF 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由【分析】 （1）推导出四边形 AECD 是平行四边形，ADCE，且ADCE ，CEPE ，由此能证明
30、CE平面 PAB（2）由 PECE ，且 PEAB，得 PE平面 ABCD，AD平面 PAB，AD AE，以点E 为原点，分别以 EC，EA ，EP 所在直线分别为 x，y，z 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱 PD 上存在点 F，使得二面角 PABF 的余弦值为 ，且 【解答】证明：（1）AECD，且 AECD ，四边形 AECD 是平行四边形，ADCE，且 ADCE ，又在正PAB 中，PE AB ，在PCE 中，PE 2+CE2PC 2，CEPE，又平面 PAB平面 PCE，平面 PAB平面 PCE，第 18 页（共 25 页）CE平面 PCE，CE平面 PAB解：（
31、2）由（1）知 PECE，且 PEAB，CEABE，PE平面 ABCD，AD平面 PAB，AE平面 PAB，ADAE，以点 E 为原点，分别以 EC，EA，EP 所在直线分别为 x，y，z 为 z 轴，建立空间直角坐标系，P（0，0， ） ，D（ ，0） ，A（0， ，0） ，B （0， ，0） ，假设在棱 PD 上存在点 F 满足题意，设 ，则 （ ）（ ） ， （ ） ， （0，2 ，0） ，设平面 ABF 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 z1，得 （ ） ，又平面 PAB 的一个法向量 （0，0，1） ，在棱 PD 上存在点 F，使得二面角 PABF 的余弦值为 ，|cos | ，
32、即 82+210，由 0，得 ，在棱 PD 上存在点 F，使得二面角 PABF 的余弦值为 ，且 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求第 19 页（共 25 页）法，考查利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题19 （12 分）从某工厂生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这 1000 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从
33、正态分布 N（ ， 2） ，其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2（i）利用该正态分布，求 P（127.6Z 140） ；（ii）某用户从该工厂购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（127.6，140）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX附： 若 ZN（， 2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z +2）0.9544【分析】 （1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2（i）由（）知 ZN（ 140，154） ，P（127.6Z 140） 0.3413；（ii）由（i）知 XB（100， 0.3413） ，EXnp 即可
34、求得【解答】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2 分别为：1100.02+1200.10+1300.20+140 0.35+1500.22+1600.09+1700.02140第 20 页（共 25 页）s2（30） 20.02+（20） 20.10+（10）20.20+00.35+1020.22+2020.09+3020.02154（2） （i）由（1）知，ZN（ 140，154） ，从而 P（127.6Z140） 0.3413（ii）由（i）知，一件产品的质量指标位于区间（127.6，140）的概率为 0.3413，依题意 XB （100，0.3413） 所以 E（
35、X ）1000.341334.13【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，二项分别的期望，考查运算能力属于基础题20 （12 分）已知平面上动点 P 到点 H（1，0）距离比它到直线 x2 距离少 1（1）求动点 P 的轨迹方程（2）记动点 P 的轨迹为曲线 ，过点 H（1，0）作直线 l 与曲线 交于 A，B 两点，点 M（4，0） ，延长 AM，BM，与曲线 交于 C，D 两点，若直线 AB，CD 的斜率分别为 k1，k 2，试探究 是否为定值？若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由【分析】 （1）利用抛物线定义可得方程；（2）设 A，B ，C，
36、D 各点坐标，利用直线 AB 与抛物线联立得 A，B 坐标关系，利用直线 AC 与抛物线联立得 A，C 坐标的关系，同样可得 B，D 坐标的关系，进而可以把 k2与 k1 联系起来，求出定值【解答】解：（1）由题意可知动点 P 到点 H 的距离等于到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得动点 P 的轨迹方程为 y24x ；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C （x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） ，由题意可令直线 AB 的方程为 （k 10） ，直线 AC 的方程为 xty +4，将直线 AB 的方程代入抛物线方程消去 x 可得，第 21 页（共 25 页）则 ，y
37、 1y24，将直线 AC 的方程代入抛物线方程消去 x 得y24ty 160，则 y1y316，同理可得 y2y416， ， ， ，故 ，即 为定值【点评】此题考查了定义法求轨迹方程，直线与抛物线的综合，难度较大21 （12 分） （1）已知函数 是（1，+）上的增函数，求实数 a 的取值范围；（2）试比较两数 与 的大小，并证明你得出的结论【分析】 （1） ，即 xa（lnx+1）0 在（1，+）恒成立令 g（x） ， （x 1）利用函数的最值求得实数 a 的取值范围（2） 由（1）知 h（x）是（1，+）上的增函数，当 mm1， ，则 ，取 m23，n21，得 第 22 页（共 25 页）
38、【解答】解：（1） ，函数是（1，+）上的增函数，f（x ）0 在（1，+）恒成立即 xa（lnx+1 ）0 在（1，+）恒成立则 a 在（1，+）恒成立令 g（x） ， （x 1）而 ，g（x）是（1，+）上的增函数，ag（1）1，实数 a 的取值范围为（，1；（2） 证明：先证明一个结论，m n1 时， 要证 ln ln ， ， ，由（1）知 h（x）是（1，+）上的增函数，mm1， ，则 ，取 m23，n21，得 【点评】本题考查了函数的单调性，不等式的证明，属于中档题请考生在第 22、23 二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔
39、在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：第 23 页（共 25 页）坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 ，射线 （ 0）交曲线 C 于点A，倾斜角为 的直线 l 过线段 OA 的中点 B 且与曲线 C 交于 P、Q 两点（1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程；（2）当直线 l 倾斜角 为何值时，|BP| |BQ|取最小值，并求出 |BP|BQ|最小值【分析】 （1）把 xcos，ysin ， 2x 2+y2 代入曲线 C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标
40、方程，求出点 A 的极坐标，进一步得到直角坐标，再求出 OA 的中点 B 的坐标，则倾斜角为 且过线段 OA 的中点 B 的直线 l 的参数方程可求；（2）将直线 l 的参数方程代入 x2+2y212，整理得到关于 t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及 t 的几何意义求解【解答】解：（1）xcos，ysin ， 2x 2+y2，且 2 ，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+2y212，即 射线 （ 0）交曲线 C 于点 A，故点 A 的极坐标为（ ， ） ，点 A 的直角坐标为（2，2） ，OA 的中点 B（1，1） 倾斜角为 且过线段 OA 的中点 B 的直线 l 的参数方程为 （t 为参
41、数） ；（2）将直线 l 的参数方程代入 x2+2y212，整理得：（cos 2+2sin2）t 2+（2cos+4sin ）t90设 P，Q 对应的参数分别为 t1，t 2，则 故|BP| |BQ| t1t2| 当 sin 1，即 时，| BP|BQ|取最小值为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程中参数 t 的几何意义的应用，是中档题选修 45：不等式选讲第 24 页（共 25 页）23已知函数 f（x ）|2x |+|x2|（1）解不等式：f（x ）5；（2）当 xR 时，f（x）ax+1，求实数 a 的取值范围；【分析】 （1）由题意利用分段函数求化简函数 f（x ） ，
42、利用分类讨论法求出不等式f（x）5 的解集；（2）画出函数 f（x ）的图象，当 xR 时 f（x ）ax+1 等价于 yf（x）的图象在直线yax+1 的上方，结合图象求出满足条件的 a 的取值范围【解答】解：（1）由题意知 f（x ） ，当 x0 时，不等式 f（x）5 化为 23x5，解得 x1，即1x0；当 0x2 时，不等式 f（x）5 化为 x+25，解得 x3，即 0x2；当 x2 时，不等式 f（x）5 化为 3x25，解得 x ，即 2x ；综上所述，不等式 f（x ）5 的解集为 x|1x ；（2）画出函数 f（x ）的图象，如图所示；当 xR 时，f（ x）ax+1 等价于 yf （x）的图象在直线 yax+1 的上方，直线 yax+1 恒过点 P（0，1） ，且点 A（2，4） ，计算直线 PA 的斜率为 kPA ，又 x0 时，f（ x）3x+2；由图象可知，a 的取值范围是3a 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，第 25 页（共 25 页）是中档题
