1、2019 年福建省厦门市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）在复平面内，复数 z （i 为虚数单位）所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知集合 AxZ|x 2+x60，Bx|x1，则 AB（ ）A x|1x2 Bx|1x3 C1 ，2 D1 ，2，33 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3+a5a 4+2，则 S7（ ）A14 B7 C7 D144 （5 分）斐波那契螺旋线，也称“
2、黄金螺旋线” 如图，矩形 ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为 90的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分在矩形 ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D5 （5 分）如图是某手机商城 2018 年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占 50%，苹果销量约占 20%，三星销量约占30%） 根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A华为的全年销量最大B苹果第二季度的销量大于第三季度的销量第 2 页（共 25 页）C华为销量最大的是第四季度D三星销量
3、最小的是第四季度6 （5 分）已知 O 为坐标原点，双曲线 C： 的右焦点为 F，焦距为 2 ，C 的一条渐近线被以 F 为圆心，OF 为半径的圆 F 所截得的弦长为 2，则 C 的方程是（ ）A BC D7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A2+38 B +38 C+12 D +128 （5 分）在同一平面中， ， 2 ，若 m +n （m，nR） ，则m+n（ ）A B C D19 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，曲线 yf（x）在点（0，f
4、（0） ）处的切线的倾斜角为 ，则曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为（ ）Ay By Cy Dy 10 （5 分）已知抛物线 E：y 22px （p0） ，直线 l 过 E 的焦点，交 E 于 AB，两点，且 A在 x 轴上方，M 是 E 的准线上一点， AM 平行于 x 轴，O 为坐标原点，若 4，则l 的斜率为（ ）第 3 页（共 25 页）A B C D11 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn， ，当 n2 时，a n，S n1，S n 成等比数列，若 Sm ，则 m 的最大值为（ ）A9 B11 C19 D2112 （
5、5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D 中，AB2，AD3，AA 12，E 是 AA1 的中点，F是棱 AD 上一点，AF 1，动点 P 在底面 A1B1C1D 内，且三棱锥 PBEF 与三棱锥BD 1EF 的体积相等，则直线 CP 与 BB1 所成角的正切值的最小值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 zxy 的最小值是 14 （5 分）在“2022 北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等 4 人报名参加了A、B 、C 三个项目的志愿者活动，每个项目至少需
6、要 1 名志愿者，则共有 种不同的方案 （用数字填写答案）15 （5 分）函数 f（x ）3sinx+4cosx ，若直线 x 是曲线 yf（x）的一条对称轴，则cos2+sincos 16 （5 分）若函数 f（x ）a 2e2x +a（2x +1）e x +x2+x（a0）的最小值为 ln2a+3lna+2，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共
7、 60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2bc2acos C（1）求 A；（2）若 a ，sinB+sin C6 sinBsinC，求ABC 的面积18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD，AD CD，AB AD2，CD4，PD1，平面 PAD平面 ABCD，二面角PCDB 为 60第 4 页（共 25 页）（1）求证：PA平面 PCD；（2）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值19 （12 分）2018 年 11 月 1 日，习总书记在民营企业座谈会上指出， “我国民营经济只能壮大、不能弱化” 某民营企业计划投资
8、引进新项目，项目一使用甲种机器生产 A 种产品；项目二使用乙种机器生产 B 种产品甲种机器每台 2 万元，乙种机器每台 1 万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为 2500 元/台和 1000 元/台该企业调查了甲、乙两种机器各 200 台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：维修次数 0 1甲种机器台数 40 160维修次数 0 1 2乙种机器台数 20 160 20以这各 200 台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替 1 台相应机器需要维修次数的概率（1）若该企业投入 100 万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；（2）该企业现有资金 111
9、0 万元，计划只投资一个项目，其中 100 万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产据统计：当投入项目一的生产专用资金为 a 万元时，生产 A 产品获利的概率是 ，且一年获利 a 万元；亏损的概率是 ，且一年亏损 a 万元当投入项目二的生产专用资金为 a 万元时，生产 B 产品获利的概率是 ，且一年获利 a 万元；亏损的概率是 ，且一年亏损 a 万元你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由第 5 页（共 25 页）20 （12 分）已知椭圆 E： ，A，C 分别是 E 的上顶点和下顶点（1）若 B，D 是 E 上位于 y 轴两侧的两点，求证：
10、四边形 ABCD 不可能是矩形；（2）若 B 是 E 的左顶点，P 是 E 上一点，线段 PA 交 x 轴于点 M，线段 PB 交 y 轴于点N， ，求| MN|21 （12 分）已知函数 f（x ）ae 2xe x+x+b（a0，b R）（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若对任意 a0，f（x ）恰有一个零点，求 b 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修：坐标系与参数方程 （10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C1 的方程为 y24x 以坐标原
11、点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2cos l 交 C1 于 A，B 两点（A 在 x 轴上方） ，C 2 交极轴于点P（异于极点 O） （1）求 C2 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；（2）若 S 为 PA 的中点，T 为 C2 上的点，求| ST|的最小值选修：不等式选讲（10 分）23已知函数 f（x ）|ax 2|（1）当 a4 时，求不等式 f（x ）+|4x+2|8 的解集；（2）若 x2， 4时，不等式 f（x ）+|x3|x +3 成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年福建省厦门市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题
12、解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）在复平面内，复数 z （i 为虚数单位）所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案【解答】解：z ，复数 z 所对应的点的坐标为（2，1） ，在第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知集合 AxZ|x 2+x60，Bx|x1，则 AB（ ）A x|1x2 Bx|1x3 C1 ，2 D1
13、 ，2，3【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：AxZ| 3x2 3，2，1，0，1，2 ；AB1，2故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算3 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3+a5a 4+2，则 S7（ ）A14 B7 C7 D14【分析】根据题意，由等差数列的性质可得 a3+a52a 4a 4+2，解可得 a42，又由等差数列的前 n 项和公式可得 S7 7a 4，计算即可得答案【解答】解：根据题意，数列a n为等差数列，a 3+a5a 4+2，则 a3+a52a 4a 4+2，解可得 a42
14、，则 S7 7a 414；故选：D【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式以及等差数列的性质，属于基础题第 7 页（共 25 页）4 （5 分）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线” 如图，矩形 ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为 90的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分在矩形 ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】先设最大正方形的边长为 a，求出正方形的面积 S 及其内部扇形的面积 S，然后求出其面积之比为 ，其它以下图形的面积之比也是 ，然后由几何概型的概率求解公式可求【解答】解：设
15、最大正方形的边长为 a，则正方形的面积 Sa 2，其内部扇形的面积S ，其面积之比为 ，其它以下图形的面积之比同理可得也是 ，由几何概型的概率求解公式可得，矩形 ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为，故选：B【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概型的概率公式的简单应用，属于基础试题5 （5 分）如图是某手机商城 2018 年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占 50%，苹果销量约占 20%，三星销量约占30%） 根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）第 8 页（共 25 页）A华为的全年销量最大B苹果第二季度的销量大于第三季
16、度的销量C华为销量最大的是第四季度D三星销量最小的是第四季度【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出 A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项 B，C，D 都错误【解答】解：根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；A 正确；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B，C，D 都错误故选：A【点评】考查对销量百分比堆积图的理解，在不知每个季度的销量
17、的情况下，是不能比较不同季度的销量多少的6 （5 分）已知 O 为坐标原点，双曲线 C： 的右焦点为 F，焦距为 2 ，C 的一条渐近线被以 F 为圆心，OF 为半径的圆 F 所截得的弦长为 2，则 C 的方程是（ ）A B第 9 页（共 25 页）C D【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用 OF 为半径的圆 F 所截得的弦长为 2，列出方程，通过焦距为 2 ，求出 a，b 即可得到双曲线方程【解答】解：O 为坐标原点，双曲线 C： 的右焦点为 F，焦距为 2 ，可得c ，C 的一条渐近线被以 F 为圆心， OF 为半径的圆 F 所截得的弦长为 2，可得 1 所以 b2，则 a1，
18、所以双曲线方程为： 故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A2+38 B +38 C+12 D +12【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，左边为圆柱，底面半径为 ，高为 2，右边为长方体，长、宽、高分别为 4、3、1，再由圆柱及长方体的体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为圆柱，底面半径为 ，高为 2，第 10 页（共 25 页）右边为长方体，长、宽、高分别为 4、3、1，则该几何体的体
19、积 V 故选：D【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题8 （5 分）在同一平面中， ， 2 ，若 m +n （m，nR） ，则m+n（ ）A B C D1【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：根据题意知， ， 2（ ）3 +2 + +mm+ n故选：A【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用9 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，曲线 yf（x）在点（0，f （0） ）处的切线的倾斜角为 ，则曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为（ ）Ay By Cy Dy 【分析】
20、由 R 上的奇函数可得 f（0）0，结合奇函数的导数为偶函数，可得 f（x）在x2 处的切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程【解答】解：定义在 R 上的奇函数 f（x） ，可得 f（0）0，f（2）f（2）f （0）0，f（x）f（x ） ，可得 f（x）f （x） ，第 11 页（共 25 页）由曲线 yf（x）在点（0，f （0） ）处的切线的倾斜角为 ，可得 f（0）tan ，f（2x）f（x ） ，可得f（2x）f （x） ，即 f（0）f（2）f（2） ，可得 f（2） ，则 yf（x）在点（2，f（ 2） ）处的切线方程为 y （x+2） ，即为 y x+2 故选：B【点评】本
21、题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的奇偶性，以及直线方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题10 （5 分）已知抛物线 E：y 22px （p0） ，直线 l 过 E 的焦点，交 E 于 AB，两点，且 A在 x 轴上方，M 是 E 的准线上一点， AM 平行于 x 轴，O 为坐标原点，若 4，则l 的斜率为（ ）A B C D【分析】设直线 l 的方程为 ，设点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则点，将直线 l 的方程与抛物线 E 的方程联立，列出韦达定理，计算直线 OB和 OM 的斜率得知， O、B 、 M 三点共线，再由已知条件得出 y14y 2，代入韦达
22、定理可得出 m 的值，从而求出直线 l 的斜率【解答】解：设点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则点 ，如下图所示，第 12 页（共 25 页）抛物线 E 的焦点为 ，设直线 AB 的方程为 ，将直线 AB 的方程与抛物线 E 的方程联立 ，得 y22mpy p 20，由韦达定理得 y1+y22mp， ，直线 OM 的斜率为 ，直线 OB 的斜率为，所以，B、O、M 三点共线， ，则 ，所以， y14y 2，则 y1+y23y 22mp，得 ，结合图形可知，直线 AB 的斜率为正数，所以， ，因此，直线 l 的斜率为 故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理
23、设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题11 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn， ，当 n2 时，a n，S n1，S n 成等比数列，若 Sm ，则 m 的最大值为（ ）A9 B11 C19 D21【分析】因为当 n2 时，a n，S n1，S n 成等比数列，所以 ，即，即 ，所以 成等差数列，所以n ，即 Sn ，所以 Sm 可以转化为关于 m 的不等式，解不等式即可【解答】解：依题意，因为当 n2 时，a n，S n1，S n 成等比数列，第 13 页（共 25 页）所以 ，即 ，即 ，所以 成等差数列，所以 n ，即 Sn ，若 Sm
24、，即 ，解得 m10，所以 m 的最大值为 9故选：A【点评】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式、构造法求数列的通项公式等、属于中档题12 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D 中，AB2，AD3，AA 12，E 是 AA1 的中点，F是棱 AD 上一点，AF 1，动点 P 在底面 A1B1C1D 内，且三棱锥 PBEF 与三棱锥BD 1EF 的体积相等，则直线 CP 与 BB1 所成角的正切值的最小值为（ ）A B C D【分析】过 D1 构造与平面 BEF 平行的平面，得出 P 的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的 P 的位置【解答】解：V PBEF V V
25、 ，P 到平面 BEF 的距离等于 D1 到平面 BEF 的距离，取 CC1 的中点 M，在 B1C1 上取点 G，使得 C1GAF1，连接 D1G，MG ，D 1M，则 GM EF，D 1MBE，平面 D1GM平面 BEF，P 点轨迹为线段 D1G，又 BB1CC 1，C 1CP 为直线 CP 与 BB1 所成的角，而 tanC 1CP ，故当 C1PD 1G 时，C 1P 取得最小值，过 C1 作 C1H D1G，垂足为 H，则 C1H ，tanC 1CH 第 14 页（共 25 页）故选：C【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题二、填空
26、题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 zxy 的最小值是 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：由 ，可得 A（0，2） ，zxy 经过可行域的 A 时 z 取得最小值2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键14 （5 分）在“2022 北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等 4 人报名参加了A、B 、C 三个项目的志愿者活动，每个项目至少需要 1 名志愿者，则共有 36 种不同第 15 页（共 25 页）的方案
27、（用数字填写答案）【分析】先分组，然后全排列进行计算即可【解答】解：4 人选 2 人 1 组，有 6 种，然后进行全排列有 A 6636，故答案为：36【点评】本题主要考查计数问题的应用，先分组后排列是解决本题的关键15 （5 分）函数 f（x ）3sinx+4cosx ，若直线 x 是曲线 yf（x）的一条对称轴，则cos2+sincos 【分析】引入辅助角 ，根据对称性的性质可得，sin （+）1，从而 +，k z，结合诱导公式及二倍角公式可求【解答】解：f（x ）3sinx+4cosx 5（ sinx+ cosx）5sin（x+）（sin ，cos ）的一条对称
28、轴方程是 x，sin（+）1，+ ，k z+ ，k z22+2 k，k z，cos2 ，sin2 2 ，cos2cos2 ，cos2+sincoscos2 + sin2cos2 + sin2 + ，故答案为： 【点评】本题考查正弦函数的性质，突出考查其对称性，考查分析、运算能力，属于中档题16 （5 分）若函数 f（x ）a 2e2x +a（2x +1）e x +x2+x（a0）的最小值为 ln2a+3lna+2，则 a 的取值范围是 e ，+） 【分析】整理 f（x ）（ae x +x） 2+aex +x， （a0） 令 tg（x ）ae x +x，则f（x）h（t）t 2+t，
29、第 16 页（共 25 页）易得 g（x）g（lna）lna+1，即 tlna+1，+） 只需 lna+1 ，即可【解答】解：f（x ）a 2e2x +a（2x +1）e x +x2+x（ae x +x） 2+aex +x， （a0） 令 tg（x） aex +x，则 f（x）h（t ）t 2+t，g（x）ae x +1，令 g（x）0，可得 xlna，易得 g（x）在（，lna）递减，在（lna ，+）递增，g（x）g（lna）lna+1，即 tlna+1，+） h（t） minln 2a+3lna+2（lna+1 ） 2+lna+1，lna+1 ，即 a故答案为：e ，+ ）【点评】本题考
30、查了导数的应用，二次函数的最值，考查了转化思想，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2bc2acos C（1）求 A；（2）若 a ，sinB+sin C6 sinBsinC，求ABC 的面积【分析】 （1）利用余弦定理化简已知等式可得 b2+c2a 2bc，可求 cosA ，结合范围 A（0，） ，可求 A （2）由正弦定理可得 sinB ，sin
31、C ，由已知可求 b+c3 bc，根据余弦定理可得 6b2c2bc10，解得 bc 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）2bc2acos C2a ，整理可得：b 2+c2a 2bc，4 分cosA ，5 分A（0，） ，A 6 分第 17 页（共 25 页）（2）a ，A ，由正弦定理 ，可得：sinB ，sin C ，8 分又sinB+sinC6 sinBsinC，b+c3 bc，9 分a 2b 2+c22bc cosA，即：a 2（b+c） 23bc，6b 2c2bc10，解得：bc ，或 bc （舍去） ，11 分S ABC bc
32、sinA 12 分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD，AD CD，AB AD2，CD4，PD1，平面 PAD平面 ABCD，二面角PCDB 为 60（1）求证：PA平面 PCD；（2）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值【分析】 （1）证明 CD平面 PAD 可得 CDPA，且PDA 为二面角 PCDB 的平面角，计算 PA 可根据勾股定理得出 PAPD，于是 PA平面 ADC；（2）建立空间坐标系，求出平面 PAC 的法向量 ，则|cos ，
33、| 为直线 PB 与平面PAC 所成角的正弦值【解答】 （1）证明：平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面ABCDAD ，CDAD，CD平面 PAD，CDPD，CDAD，CDPA，PDA 为二面角 PCD B 的平面角，第 18 页（共 25 页）即PDA60，又 PD1，AD2，故 PA ，PD 2+PA2AD 2，即 PDPA，又 PD平面 PCD，CD平面 PCD，PD CDD ，PA平面 PCD（2）解：在平面 PAD 内过 P 作 POAD，垂足为 O，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，POAD，PO平面 ABCD，PD1，PDA60，PO ，OD ，
34、以 O 为原点建立空间坐标系 Oxyz 如图所示，则 A（ ，0，0） ，P（0，0， ） ，B（ ，2，0） ，C （ ，4，0） ， （ ，2， ） ， （ ，0， ） ， （2，4，0） ，设平面 PAC 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，令 x2，则 （2，1，2 ） ，cos ， 直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为|cos ， | 【点评】本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题19 （12 分）2018 年 11 月 1 日，习总书记在民营企业座谈会上指出， “我国民营经济只能壮大、不能弱化” 某民营企业计划投资引进新项目，
35、项目一使用甲种机器生产 A 种产品；项目二使用乙种机器生产 B 种产品甲种机器每台 2 万元，乙种机器每台 1 万元，第 19 页（共 25 页）当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为 2500 元/台和 1000 元/台该企业调查了甲、乙两种机器各 200 台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：维修次数 0 1甲种机器台数 40 160维修次数 0 1 2乙种机器台数 20 160 20以这各 200 台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替 1 台相应机器需要维修次数的概率（1）若该企业投入 100 万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；（2）该企业
36、现有资金 1110 万元，计划只投资一个项目，其中 100 万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产据统计：当投入项目一的生产专用资金为 a 万元时，生产 A 产品获利的概率是 ，且一年获利 a 万元；亏损的概率是 ，且一年亏损 a 万元当投入项目二的生产专用资金为 a 万元时，生产 B 产品获利的概率是 ，且一年获利 a 万元；亏损的概率是 ，且一年亏损 a 万元你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由【分析】 （1）计算需要维修的次数，维修费用得出数学期望；（2）分别计算投资两项目的利润期望和方差，根据期望和方差大小得出结论【解答】解：（
37、1）购买甲机器台数为 50，一台甲机器一年需要维修一次的频率为 0.8，不需要维修的频率为 0.2设一年内该企业维修费用为 X，则 EX500.82500100000 元即一年内该企业维修费用的数学期望为 10 万元（2）若投资项目一，由（1）可知则预留维修费用为 10 万元，故投入生产专用资金为1000 万元，设一年的利润为 万元，则 的可能取值为 300，100，且 P（300）第 20 页（共 25 页） ，P（100） ，E300 +（100） 200若投资项目二，则购买机器 100 台，则一年需要维修一次的机器频率为 0.8，一年需要维修二次的频率为 0.1，则需要预留的维修费用为
38、10001000.8+1000.110002100000 元10 万元故投入生产的专业资金为 1000 万元，设一年的利润为 万元，则 的可能取值有 400，200，且 P（ 400） ，P（ 200） ，E 400 +（200） 200D（）（300200） 2 +（100200） 2 30000，D（）（400200） 2 +（200200） 2 80000故显然 EE ，D（）D（ ） 投资两个项目的利润期望相等，但投资项目一风险更小，故选择投资项目一【点评】本题考查了用样本估计总体的统计思想，考查离散型随机变量的数学期望计算，方差计算，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 E： ，A，
39、C 分别是 E 的上顶点和下顶点（1）若 B，D 是 E 上位于 y 轴两侧的两点，求证：四边形 ABCD 不可能是矩形；（2）若 B 是 E 的左顶点，P 是 E 上一点，线段 PA 交 x 轴于点 M，线段 PB 交 y 轴于点N， ，求| MN|【分析】 （1）B（x 1，y 1） ，根据斜率公式即可证明，（2）设 P（x 0，y 0） ，分别求出直线 PA，PB 的方程，求出点 M，N 的坐标，再根据，结合点 P 在椭圆上即可求出【解答】证明：（1）依题意 A（0，1） ，C（0，1） ，设 B（x 1，y 1） ，则 x10，且 +y121，设直线 BA，BC 的斜率分别为 k1，k
40、 2，第 21 页（共 25 页）则 k1k2 1，BA 与 BC 不垂直，四边形 ABCD 不可能是矩形（2）设 P（x 0，y 0） ，不妨设点在第一象限， +y021，直线 PA 的方程为 y x+1，令 y0，得 x ，则 M（ ，0） ，直线 PB 的方程为：y （x +2） ，N（0， ） ， ， +2 （1 ） ，4x 0+9y01 0，由 ，可得 145x0232x 03200，解得 x0 ，或 x0 （舍去） ，P（ ， ） ，M（1，0） ，N（0， ） ，故|MN | 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系等知识，考查了运算求解能力，推理论证能力等，考查数形结
41、合思想，函数与方程的思想，化归与转化思想等，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ae 2xe x+x+b（a0，b R）第 22 页（共 25 页）（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若对任意 a0，f（x ）恰有一个零点，求 b 的取值范围【分析】 （1）讨论 a 的范围，得出 f（x ）0 的解的情况，从而得出 f（x）的单调区间；（2）分类参数可得bae 2xe x+x，令 g（x）ae 2xe x+x，求出 g（x）的单调性和值域，从而可得出 b 的范围【解答】解：（1）f（x ）2ae 2xe x+1，令 f（x）0 可得 2ae2xe x+10，当 a 时， f（x
42、）0 恒成立，故 f（x）在 R 上单调递增，当 0 a 时，解方程 f（x）0 可得 ex ，当 ex 或 ex 时，f（x ）0，当 e x 时，f（x ）0，综上，当 a 时，f（x ）在 R 上单调递增，当 0a 时，f（x ）在（，ln ）上单调递增，在（ ln ，ln）上单调递减，在（ln ，+）上单调递增（2）由 f（x） 0 可得bae 2xe x+x，记 g（x）ae 2xe x+x，则 g（x）f（x） ，（i）当 a 时，由（1）可知 g（x ）在 R 上单调递增，又当 x时，g（x ），当 x+时，g（x）+，故当 bR 时，bg（x）总有一解，即 f（x）恰好有一解（
43、ii）当 0a 时，由（1）知 g（x）在（，ln ）上单调递增，在（ln，ln ）上单调递减，在（ ln ，+）上单调递增设 x1ln ，x 2ln ，则 g（x 1）g（x 2）0，即2ae e +10，a ，第 23 页（共 25 页）g（x）的极大值为 g（x 1）ae e +x1 +x1 ，g（x）的极小值为 g（x 2）ae e +x2 +x2 ，又当 x时，g（x ），当 x+时，g（x）+，若 f（x）只有一个零点，则 bg（x）只有一解，故b +x1 或b+x2 恒成立，设 h（x） +x ，则 h（x ） +1 ，当 xln2 时， h（x）0，当 xln2 时，h（x）0
44、，h（x）在（，ln2）上单调递增，在（ln 2，+）上单调递减，又 x1ln ln ln 2，x 2ln ln ln2，且x10，0h（x 1） +ln2，h（x 2） +ln2，即 0g（x 1） +ln2，g（x 2） +ln2，b +ln2，即 b +ln2综上，b 的取值范围为（， +ln2【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查分类讨论思想，考查函数值域的求解，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修：坐标系与参数方程 （10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t
45、 为参数） ，曲线 C1 的方程为 y24x 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2cos l 交 C1 于 A，B 两点（A 在 x 轴上方） ，C 2 交极轴于点P（异于极点 O） 第 24 页（共 25 页）（1）求 C2 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；（2）若 S 为 PA 的中点，T 为 C2 上的点，求| ST|的最小值【分析】 （1）把 2cos 两边同时乘以 ，结合 2x 2+y2，xcos 可得 C2 的直角坐标方程，取 y0，可得点 P 的直角坐标为（2，0） ；（2）设 A，S 所对应的参数分别为 t1，t 2（t 10） ，将
46、 代入 y24x ，得到关于 t 的一元二次方程，求得 t，进一步得到 S 的坐标，再求出 C2 的圆心 M（1，0） ，可得|SM |，则|ST|的最小值可求【解答】解：（1）由 2cos ，得 22 cos，即 x2+y22x0，C 2 的直角坐标方程为（x 1） 2+y21，令 y0，得 x2 或 x0（舍） ，则点 P 的直角坐标为（ 2，0） ；（2）设 A，S 所对应的参数分别为 t1，t 2（t 10） ，将 代入 y24x ，得 解得 t 或 t S 为 PA 的中点， 设 S（x 0，y 0） ，则 ， ，则 S（3，2） ，依题意，C 2 的圆心 M（1，0） ，|SM| |ST |的最小值为 【点评】本题考查极坐标方程，直线的参数方程等基础知识，考查
