1、73 组合第一课时 组合与组合数公式及其性质读教材填要点1组合从 n 个不同的元素中取出 m(mn) 个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合，我们用符号 C 表示所有不同的组合个数，称 C 为从 n 个不同的元素中取 m 个元素mn mn的组合数2组合数有关公式(1)C ,0m n.mnAmnAm nn 1n m 1m！(2)C ,0m n.mnn！m！ n m！3组合数的性质(1)C C ，mn n mn(2)如果 C C ，则 mk 或者 mnk ，mn kn(3)C C C .mn 1 mn m 1n小问题大思维1 “abc”和“acb” 是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“
2、abc” 与“acb” 的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列2如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题3 “组合”和“组合数”是同一个概念吗？有什么区别？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念， “组合”是指“从 n 个不同元素中取m(mn )个元素合成一组” ，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个
3、数” ，它是一个数.组合的概念例 1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题(1)从 1,2,3，9 九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从 1,2,3，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从 a，b，c，d 四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？解 (1)当取出 3 个数字后，如果改变 3 个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题(2)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排
4、顺序无关，是组合问题(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合 Aa，b，c ，d，e ，则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个？(2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少
5、种分工方法？(4)把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3)因为一种分工方法是从 5 种不同的工作中取出 3 种，按一定次序分给 3 个人去干，故是排列问题(4)因为 3 本书是相同的，无论把 3 本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题组合数公式及其性质应用例 2 (1)求值：C C ；5 nn 9 nn 1(2)求证：C C .mnm 1n mm 1n解 (1)Erro
6、r!解得 4n5.又因为 nN ，所以 n4 或 n5.当 n4 时，原式C C 5，14 5当 n5 时，原式C C 16.05 46(2)证明：因为 C ，mnn！m！ n m！C m 1n mm 1n m 1m 1！ n！n mn m 1！ ，n！m！ n m！所以 C C .mnm 1n mm 1n关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用 C Cnn m mn 1 nn m n 1！m！ n 1 m！ n！m！ n m！进行计算mn(2)涉及字母的可以用阶乘式 C 计算mnn！m！ n m！(3)计算时应注意利用组合数的性质 C C 简化运算mn n mn2(1)计算 C
7、 C C ；58 98100 7(2)计算 C C C C C C ；05 15 25 35 45 5(3)解方程：C C ；x2 x16 5x 516(4)解不等式：C C C .m 4m m 6 1 6m 1解：(1)原式C C 1 38 2100876321 1009921564 9505 006.(2)原式2(C C C )2(C C )05 15 25 16 252 32.(6 5421)(3)C C ，x2 x16 5x 516x2 x5x5 或 x2x5x 516. 解得 x1 或 x5.解得 x3 或 x7.经检验知，原方程的解是 x1 或 x3.(4)原不等式可化为 C C
8、C ，即 C C ，4m 5m 1 6m 1 4m 6m .m！4！ m 4！ m！6！ m 6！30(m4)(m5)即 m29m100， 1m10.又 m7 且 mN*，m 7 或 8 或 9.组合的简单应用例 3 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选 5 人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加解 (1)C 792 种不同的选法；512(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人，共有 C 36 种不同的选29法；(
9、3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 C 126 种不同的选59法；(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C 3 种13选法，再从另外的 9 人中选 4 人有 C 种选法共有 C C 378 种不同的选法49 13 49解简单的组合应用题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数，必要时，需要分清完成一件事情需要分类还是分步在分类和分步时，注意有无重复或遗漏3现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名(1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出 2 名男
10、教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出 2个元素的组合数，即 C 45.21010921(2)可把问题分两类情况：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 种方法；26第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C 种方法24根据分类加法计数原理，共有 C C 15621 种不同的选法26 24(3)分步：首先从 6 名男教师中任选 2 名，有 C 种选法，再从 4 名女教师中任选 2 名，26有 C 种选法，根据分步乘法计数原理，所
11、以共有 C C 90 种不同的选法.24 26 24解题高手 妙解题化简：A A A A .23 24 25 2100尝试 巧思 由于 A C A (n2)，所以原式可变形为(C C C C )A ，然2n 2n 2 23 24 25 2100 2后利用组合数性质 C C C 求解即可mn m 1n mn 1妙解 原式C A C A C A23 2 24 2 2100 2(C C C )A23 24 2100 2(C C C C C C )A3 23 24 25 2100 3 2(C C C C C )A34 24 25 2100 3 2(C C C C )A35 25 2100 3 2(C
12、C )A3101 3 2(C 1)A3101 22C 2333 298.31011以下四个问题，属于组合问题的是( )A从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星D从 13 位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选 C 由组合的定义可知，选项 C 属于组合问题2已知 C 10，则 n 的值为 ( )2nA10 B5C3 D4解析：选 B C 10，n5( n4 舍去)2nnn 1213异面直线 a，b 上分别有 4 个点和 5 个点，由这 9 个点可以确定的平面个数是( )A20
13、 B9CC DC C C C39 24 15 25 14解析：选 B 分两类：第一类，在直线 a 上任取一点，与直线 b 可确定 C 个平面；14第二类，在直线 b 上任取一点，与直线 a 可确定 C 个平面故可确定 C C 9 个不同15 14 15的平面4若 C ，C ，C 成等差数列，则 n_.4n 5n 6n解析：由已知得 2C C C ，所以 2 .整理5n 4n 6nn！5！ n 5！ n！4！ n 4！ n！6！ n 6！得 n221n980，解得 n7 或 n14.答案：7 或 145从 2,3,5,7 四个数中任取两个不同的数相乘，有 m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有
14、 n 个不同的商，则 mn_.解析：mC ，nA ，m n .24 2412答案：126已知 6C 10A ，求 x 的值x 7 3 2x 4解：原方程变为 (x7)，6x 3！x 7！ x 3 x 7！ 10x 4！x 4 2！即 x29x220.解得 x111 ，x 22(舍去) ，所以 x 的值为 11.一、选择题1计算：C C C ( )28 38 29A120 B240C60 D480解析：选 A C C C 120.28 38 297821 678321 89212已知平面内 A、B、C、D 这 4 个点中任何 3 点不共线，则由其中每 3 点为顶点的所有三角形的个数为( )A3
15、B4C12 D24解析：选 B 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有 C 4 个343将 2 名教师、4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( )A12 种 B10 种C9 种 D8 种解析：选 A 先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有 C C 12 种安排方案12 244某单位有 15 名成员，其中男性 10 人，女性 5 人，现需要从中选出 6 名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )A
16、C C BC C310 35 410 25CC DA A51 410 25解析：选 B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人，5 名女性中抽取 2 人，共有 C C 种抽法410 25二、填空题5若 C C C ，则 n_.7n 1 7n 8n解析：C C C ，即 C C C C ，7n 1 7n 8n 7n 1 8n 7n 8n 1所以 n178，即 n14.答案：146过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有_对解析：三棱柱共 6 个顶点，由此 6 个顶点可组成 C 312 个不同四面体，而每个四46面体有三对异面直线则共有 12336 对
17、答案：367对所有满足 1mn5 的自然数 m、n，方程 x2C y21 所表示的不同椭圆的mn个数为_解析：1mn5，C 有 C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C 共 10mn 12 13 23 14 24 34 15 25 35 45个其中 C C ，C C ， C C ，C C ，所以 x2C y21 能表示的不同椭圆有 613 23 14 34 15 45 25 35 mn个答案：68不等式 C n3C .x 18 x8解：(1)原方程等价于m(m1)(m2)6 ，mm 1m 2m 343214 m3，m7.(2)由已知得：Error!x 8，且 xN ，C 3C
18、，x 18 x8 .8！x 1！ 9 x！ 38！x！ 8 x！即 ，19 x3xx3(9x) ，解得 x ，x7,8.274原不等式的解集为7,810袋中装有大小相同标号不同的白球 4 个，黑球 5 个，从中任取 3 个球(1)共有多少种不同结果？(2)取出的 3 球中有 2 个白球，1 个黑球的结果有几个？(3)取出的 3 球中至少有 2 个白球的结果有几个？解：(1)从 4 个白球，5 个黑球中任取 3 个的所有结果有 C 84 个不同结果39(2)设“取出 3 球中有 2 个白球，1 个黑球”的所有结果组成的集合为 A，A 所包含的种数为 C C .24 15所以共有 C C 30 种
19、不同的结果24 15(3)设“取出 3 球中至少有 2 个白球”的所有结果组成集合为 B，B 包含的结果数是C C C .34 24 15所以共有 C C C 34 种不同的结果34 24 15第二课时 组合的综合应用有限制条件的组合问题例 1 某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名组成医疗小组到社区义诊，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问：(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？解 (1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C 种选法，再从除
20、去外科专家的246 名专家中任选 4 名，有 C 种选法，所以共有 C C 90(种)抽调方法46 24 46(2)“至少”的含义是“不低于” ，有两种解答方法：法一(直接法) ：按选取的外科专家的人数分类：选 2 名外科专家，共有 C C 种选法；24 46选 3 名外科专家，共有 C C 种选法；34 36选 4 名外科专家，共有 C C 种选法；4 26根据分类加法计数原理，共有 C C C C C C 185(种) 抽调方法24 46 34 36 4 26法二(间接法) ：不考虑是否有外科专家，共有 C 种选法考虑选取 1 名外科专家参610加，有 C C 种选法；考虑没有外科专家参加
21、，有 C 种选法，所以共有14 56 6C C C C 185( 种)抽调方法610 14 56 6(3)“至多 2 名”包括“没有” 、 “有 1 名” 、 “有 2 名”三种情况，分类解答：没有外科专家参加，有 C 种选法；6有 1 名外科专家参加，有 C C 种选法14 56有 2 名外科专家参加，有 C C 种选法24 46所以共有 C C C C C 115(种) 抽调方法6 14 56 24 46保持例题条件不变，求恰有 1 名外科专家的抽调方法有多少种？解：恰有 1 名外科专家指：1 名外科专家和 5 名非外科专家，故有 C C 462414 56种不同的抽调方法解答有限制条件的
22、组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法) ”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素而选择间接法的原则是“正难则反” ，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多” 、 “至少”等组合问题时更是如此此时正确理解“都不是” 、 “不都是” 、 “至多” 、 “至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键1课外活动小组共 13 人，其中男生 8 名，女生 5 名，并且男、女生各指定一名队长，现从中选 5 人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)
23、两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解：(1)一名女生，四名男生，故共有 C C 350(种) 选法15 48(2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C C 165(种)选法2 311(3)直接法：至少有一名队长当选含有两类情况：只有一名队长当选和两名队长都当选，故共有 C C C C 825( 种)选法12 411 2 311间接法：共有 C C 825( 种)选法513 511(4)至多有两名女生当选含有三类情况：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选故共有 C C C C C 966(种) 选法25
24、38 15 48 58(5)分两类：第一类女队长当选：C 种；第二类女队长不当选：412(C C C C C C C )种故共有 C C C C C C C C 790(种)选法.14 37 24 27 34 17 4 412 14 37 24 27 34 17 4几何问题中的组合问题例 2 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点共线(1)经过这 9 个点，可确定多少条直线？(2)以这 9 个点为顶点，可确定多少个三角形？(3)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个四边形？解 法一：(直接法)(1)可确定直线 C C C C 31(条)4 14 15 25(2)可确定三角形
25、C C C C C 80( 个)24 15 14 25 35(3)可确定四边形 C C C C C 105( 个)24 25 14 35 45法二：(间接法)(1)可确定直线 C C 131( 条)29 24(2)可确定三角形 C C 80(个)39 34(3)可确定四边形 C C C C 105(个)49 4 34 15解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数2已知 M，N 是两个平行平面，在 M 内取 4 个点，在 N 内取 5 个点，这
26、 9 个点中再无其他 4 点共面，则(1)这些点最多能确定几个平面？(2)以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？解：法一：直接法：(1)在平面 M 内取 2 个点有 C 种方法，在平面 N 内取 1 个点有 C 种方法，这 3 个点24 15肯定不共线，可构成 C C 个平面；在平面 M 内取 1 个点，在平面 N 内取 2 个点，可构成24 15C C 个平面，再有就是 M、 N 这两个平面14 25共有 C C C C 272 个平面；24 15 14 25(2)在平面 M 内取 3 个点有 C 种方法，在平面 N 内取 1 个点有 C 种方法，这 4 个点34 15可构成 C C 个三棱锥；
27、在平面 M 内取 2 个点，在平面 N 内取 2 个点；还可以在平面 M34 15内取 1 个点，在平面 N 内取 3 个点可构成 C C C C C C 120 个三棱锥34 15 24 25 14 35法二：排除法：(1)从 9 个点中任取 3 个点的方法有 C 种，其中从平面 M 内 4 个点中任取 3 个点，即39C 种，从平面 N 内 5 个点中任取 3 个点，即 C 种，这 C 及 C 表示的都仅仅是平面 M34 35 34 35及平面 N.能构成 C C C 272 个平面；39 34 35(2)从 9 个点中任取 4 个点的方法 C 中去掉从平面 M 内 4 个点取 4 个及从
28、平面 N 内 549个点任取 4 个点这两类构不成三棱锥(仅是平面 M 或平面 N)的情况能构成 C C C 120 个三棱锥49 4 45排列与组合的综合应用例 3 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解 (1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先选有 C C C C35 23 45种，后排有 A 种，13 5共(
29、C C C C )A 5 400 种35 23 45 13 5(2)除去该女生后，先选后排有 C A 840 种47 4(3)先选后排，但先安排该男生有 C C A 3 360 种47 14 4(4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C 种，再安排该男生有 C 种，其余 3 人36 13全排有 A 种，3共 C C A 360 种36 13 3解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类解决时通常从三个途径考虑；以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑
30、附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数3有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)共有几种放法？(2)恰有 1 个空盒，有几种放法？(3)恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？解：(1)4 4256(种)(2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C 种不同的取法，再把取出的两个小球与另24外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A 种不同的放法根据34分步乘法计数原理，不同的放法共有 C A 144(种) 24 34(3)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中，有两类放法；第一类，1 个盒
31、子放 3 个小球，1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有 C 种，再放到 234个小盒中有 A 种放法，共有 C A 种放法；第二类，2 个盒子中各放 2 个小球有 C C 种24 34 24 24 24放法，故恰有 2 个盒子不放球的方法共有 C A C C 84(种)34 24 24 24解题高手 多解题用 0 到 9 这 10 个数字组成没有重复数字的五位数，其中含 3 个奇数与 2 个偶数的五位数有多少个？解 法一：直接法把从 5 个偶数中任取 2 个分为两类：(1)不含 0 的：由 3 个奇数和 2 个偶数组成的五位数，可分两步进行：第 1 步，选出 3奇 2 偶的数字，方法有
32、C C 种；第 2 步，对选出的 5 个数字全排列有 A 种方法35 24 5故所有适合条件的五位数有 C C A 个35 24 5(2)含有 0 的：这时 0 只能排在除首位( 万位)以外的四个位置中的一个，有 A 种排法；14再从 2,4,6,8 中任取一个，有 C 种取法，从 5 个奇数数字中任取 3 个，有 C 种取法，再14 35把取出的 4 个数全排列有 A 种方法，故有 A C C A 种排法4 14 14 35 4根据分类加法计数原理，共有 C C A A C C A 11 040 个符合要求的数35 24 5 14 14 35 4法二：间接法如果对 0 不限制，共有 C C
33、A 种，其中 0 居首位的有 C C A 种故共有35 25 5 35 14 4C C A C C A 11 040 个符合条件的数35 25 5 35 14 41甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有( )A36 种 B48 种C96 种 D192 种解析：选 C 完成这件事情可用分步计数原理，有 C C C 96 种24 34 342某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A140 种 B120 种C35 种 D34 种解析：选 D 若选 1
34、 男 3 女有 C C 4 种；若选 2 男 2 女有 C C 18 种；若选 3 男14 3 24 231 女有 C C 12 种，所以共有 4181234 种不同的选法34 133某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A30 种 B35 种C42 种 D48 种解析：选 A 法一：选修 1 门 A 类，2 门 B 类课程的选法有 C C 种；选修 2 门 A 类，13 241 门 B 类的课程的选法有 C C 种故选法共有 C C C C 181230( 种)23 14 13 24 23 14法二：
35、从 7 门选修课中选修 3 门的选法有 C 种，其中 3 门课都为 A 类的选法有 C 种，37 3都为 B 类的选法有 C 种，故选法共有 C C C 30( 种) 34 37 3 3447 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答) 解析：第 1 步，从 7 名志愿者中选出 3 人在周六参加社区公益活动，有 C 种不同的37选法；第 2 步，从余下的 4 人中选出 3 人在周日参加社区公益活动，有 C 种不同的选34法根据分步乘法计数原理，共有 C C 140 种不同的安排方案37 34答案：1405从 4 台甲型和 5
36、 台乙型电视机中任选 3 台，其中至少有甲型和乙型电视各一台，则不同的取法有_种解析：分为两类：第一类，选出的 3 台电视机有 2 台甲型 1 台乙型有 C C 种选法；24 15第二类，选出的 3 台电视机有 1 台甲型 2 台乙型有 C C 种选法；根据分类加法计数原理14 25共有 C C C C 70 种24 15 14 25答案：706某车间有 11 名工人，其中 5 名钳工，4 名车工，另外 2 名既能当车工又能当钳工，现在要从这 11 名工人中选 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，则有多少种选法？解：分三类：第一类，选出的 4 名钳工中无“多面手” ，此时选法有 C C 75(
37、 种)；45 46第二类，选的 4 名钳工中有 1 名“多面手” ，此时选法为 C C C 100(种) ；12 35 45第三类，选的 4 名钳工中有 2 名“多面手” ，此时选法为 C C C 10(种) 2 25 4由分类加法计数原理，得不同的选法共有 7510010185(种) 一、选择题1某班共有 10 名任课教师，其中 4 名男教师，6 名女教师教师节这天要表彰一位男教师和一位女教师，不同的表彰方法有( )A12 种 B30 种C15 种 D24 种解析：选 D 分两步：第一步先选女教师，有 C 种选法；第二步选男教师，有 C 种16 14选法，共有 C C 24 种选法16 14
38、2以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )A6 个 B12 个C18 个 D30 个解析：选 B 从 6 个顶点中任取 4 个有 C 15 种取法，其中四点共面的有 3 个，所46以满足题意的四面体有 15312 个3将 5 名同学分成甲、乙、丙 3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为( )A180 B120C80 D60解析：选 C 由题意可得不同的组合方案种数为 C C A C C 80.25 23 2 35 124某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A140 种
39、 B120 种C35 种 D34 种解析：选 D 从 7 人中选 4 人，共有 C 35 种选法，4 人全是男生的选法有 C 147 4种故 4 人中既有男生又有女生的选法种数为 35134.二、填空题5从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_种解析：5 人中选 4 人则有 C 种，周五一人有 C 种，周六两人则有 C ，周日则有 C45 14 23种，故共有 C C C 60( 种) 1 45 14 23答案：6065 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选
40、出 3 名队员排成 1,2,3号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1,2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种解析：当入选的 3 名队员为 2 名老队员 1 名新队员时，有 C C A 12 种排法；当入13 12 2选的 3 名队员为 2 名新队员 1 名老队员时，有 C C A 36 种排法故共有 12364812 23 3种排法答案：487将 0,1,2,3,4,5 这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有_个解析：先选取三个不同的数有 C 种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两36个不同的数放在十位或个位上
41、，有 A 种排法故共有 C A 40( 个)三位数2 36 2答案：408某公司为员工制定了一项旅游计划，从 7 个旅游城市中选择 5 个进行游览如果M，N 为必选城市，并且在浏览过程中必须按先 M 后 N 的次序经过 M，N 两城市(M ，N 两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是 _解析：先 M 后 N 的次序和先 N 后 M 的次序各占总数的 .通过分析，我们可以得到不12同的游览线路种数为 C C A 600.12 2 35 5答案：600三、解答题93 名男同志和 3 名女同志到 4 辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男
42、女各包 2 辆车，有多少种安排方法？解：(1)先将 3 名男同志安排到车上有 A 种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同34志有 C 种方法，还有 2 个女同志有 A 种安排方法，故共有 A C A 432(种) 安排方法13 23 34 13 23(2)男同志分 2 组有 C 种方法，女同志分 2 组有 C 种方法，将 4 组安排到 4 辆车上有23 23A 种方法，故共有 C C A 216( 种)安排方法4 23 23 410有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：
43、法一：(直接法)从 0 与 1 两个特殊值着眼，可分三类：(1)取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C 种方法；0 可在后两位，有14C 种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有 C 种方法；又除含 0 的那张外，其他两12 13张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有 C C C 22 个14 12 13(2)取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数 C 22A 个24 3(3)0 和 1 都不取，有不同的三位数 C 23A 个34 3综上所述，共有不同的三位数：C C C 22C 22A C 23A 432(个)14 12 13 24 3 34 3法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数 C 23A 个，其中 0 在百位的有35 3C 22A 个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 23A C 22A 432(个) 24 2 35 3 24 2
