1、222 二次函数与一元二次方程1通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系2能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集3根据函数图象与 x 轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围一、情境导入如图，是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程 ax2 bx c0 的解集吗？不等式 ax2 bx c0 的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与 x 轴交点情况判断下列函数的图象与 x 只有一个交点的是( )A y x22 x3 B y x22 x3C y x22 x3 D y x22 x1解析：选项 A 中 b24
2、ac2 241(3)160，选项 B 中b24 ac2 241380，选项 C 中 b24 ac(2) 241380，选项 D中 b24 ac(2) 24110，所以选项 D 的函数图象与 x 轴只有一个交点，故选 D.【类型二】利用二次函数图象与 x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为_解析：点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，对称轴的方程是x2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确定字母取值范围若函数 y
3、mx2( m2) x m1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( )12A0 B0 或 2C2 或2 D0，2 或2解析：若 m0，二次函数与 x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若 m0，原函数是一次函数，图象与 x 轴也有一个交点由( m2)24 m( m1)0，解得 m2 或2，当 m0 时原函数是一次函数，图象与 x 轴有一个交12点，所以当 m0，2 或2 时，图象与 x 轴只有一个交点方法总结：二次函数 y ax2 bx c，当 b24 ac0 时，图象与 x轴有两个交点；当b24 ac0 时，图象与 x轴有一个交点；当 b24 ac0 时，
4、图象与 x轴没有交点【类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数 y x2 ax b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2 ax b0 的解是( )A无解B x1C x4D x1 或 x4解析：二次函数 y x2 ax b 的图象与 x 轴交于(1，0)和(4，0)，即当 x1或 4 时， x2 ax b0，关于 x 的方程 x2 ax b0 的解为 x11， x24，故选 D.方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解探究点二：二次函数 y ax2 bx c 中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线 y
5、ax2 bx c(a0)如图所示，则关于 x 的不等式 ax2 bx c0 的解集是( )A x2B x3C3 x1D x3 或 x1解析：观察图象，可知当3 x1 时，抛物线在 x 轴上方，此时 y0，即ax2 bx c0，关于 x 的不等式 ax2 bx c0 的解集是3 x1.故选 C.方法总结：抛物线 y ax2 bx c在 x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是一元二次不等式 ax2 bx c0 的解集；在 x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是一元二次不等式 ax2 bx c0 的解集【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图所示，则函数值 y0 时， x 的取值范围是( )A x1B x3C1 x3D x1 或 x3解析：根据图象可知抛物线与 x 轴的一个交点为(1，0)且其对称轴为 x1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为(3，0)当 y0 时，函数的图象在 x 轴的上方，由左边一段图象可知 x1，由右边一段图象可知 x3.因此， x1 或 x3.故选 D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与 x轴的交点坐标是解题的关键三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况体会知识间的相互转化和相互联系.
