1、等比数列跟踪知识梳理考纲解读：1.理解等比数列的概念；2.掌握等比数列的通项公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系。考点梳理：1、等比数例的有关概念 （1 ）定义：一般的，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为 1-1()=(2)nnaaqNqNn或 且（2 ）等比中项：来源:Zxxk.Com如果 ,aGb成等比数列，那么 G叫做 ab与 的等比中项。即： G是 ab与 的等比中项 成等比数列 2 2
2、、等比数列的有关公式：通项公式： 1naq ； 通项公式的推广 ： nmaq等比数列前 项和：1,()nnaqS3、等比数列的性质：已知数列 na是等比数列。(1)若 2mpqr，则 2mnpqraa；(2)若数列 na、 b（项数相同）是等比数列，则 na、 1、 2na、 nb、 a(0)仍然是等比数列。(3)在等比数列 na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 23,nknkaa为等比数列，公比为 kq。4、等比数列的判定方法：(1)定义： 1( )n nanNa 是 不 为 零 的 常 数 ， 是等比数列。(2)通项公式： 1, )n ncq 均 是 不 为 零 的 常 数 ，
3、是等比数列。(3)等比中项法： 21212(0,nnnaaa是等比数列。核心能力必练一、选择题1 (2018 广东珠海模拟,4)S n 是正项等比数列a n的前 n 项和,a 3=18,S3=26,则 a1= ( ) KA.2 B.3 C.1 D.6 2 (2018 山东淄博一模,6)已知a n是等比数列,若 a1=1,a6=8a3,数列 的前 n 项和为 Tn,n则 T5= ( ) A. B.31 C. D.73161583 (2018 福建厦门模拟,8)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n+1+,则 = ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4 (2018 湖南长沙
4、一模,9)设首项为 1,公比为 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn,则 ( ) 23A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 5已知公差不为 的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， 为数列 的前 和，0134nna则 325S的值为（ ）A B C D23236已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于（ ）nanS24a425SaA B C D5573797在公差不为零的等差数列 中， 依次成等比数列，前 7 项和为 35，则数列na731,a的通项为 （ ）来源:ZXXKnanA B C D12n12n8已知等比数列 中， ，则其前
5、3 项的和 的取值范 围是（ ）na213SA B C D,1,0,39已知等差数列 的公差 ，且 成等 比数列，若 为数列nad2510,a15,naS的前 项和，则 的最小值为（ ）na231nSA B C D3720317310已知 是等比数列, 公比为 , 前 项和是 ，若 成等差数列，则（ naqnnS141,a）A 时， B 时，101nS1021nnqSC. 时， D 时，aqa11已知等比数列 中，各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则 （ na132291078a）A B C D1212312已知等比数列 的前 项和 ，则 等于（ ）na2nSa221naA B C D2n
6、3n4n143n13已知 是等比数列， ，则 ( )na251,4a1231naaA. B. C. D.164)（ 6()n 24321n14设 是正数组成的等比数列，公比 ，且 ，则na2q3123a（ ）3693A. B. C. D.1215220 215等比数列 的前 项和为 ，若 （ ， 为常数） ，则 的值nanS3nk*Nkk为（ ）A. B.3 C. D.13 116在各项均为正数的等比数列 中，公比 .若 ， ，na),0(q53a462，数列 的前 项和为 ，则当 取最大值时， 的值 为2lognnbanbnSnS21n（ ）A.8 B.9 C.8 或 9 D.1717设正项
7、数列 的前 项和 满足 ， ，且 ， ，nanS214na*nN2a5成等比数列，则 等于（ ）14a1238910.A B C D20912318正项等比数列 中， ，若存在两项 ， 使得 ，则na6542aman14mna的最小值是（ ）1mnA B C D 来源:3261155419设数列 是各项均为正数的等比数列， 是 的前 项之 积， ，nanTa27a，则当 最大时， 的值为（ ）369127TnA5 或 6 B C5 D4 或 5620在等比数列 中，已 知 ，则 （ ）na34a622413.naA. B. C. D.23n231n23n231n二、填空题21若等比数列 的前
8、项和为 10，前 项和为 30，则前 项和 为 .nan3n22已知正项等比数列 满足 ，则 .510912ea2021lnlaa23 非 零 实 数 ：,bc若 成 等 差 数 列 ， 则 也一定成等差数列；,a,ac若 成 等 差 数 列 ， 则 也一定成等差数列；,bc2,b若 成 等 比 数 列 ， 则 也一定成等比数列；,a1,ac若 成 等 比 数 列 ， 则 也一定成等比数列.,bc2,b上述结论中，正确的序号为 .24设 是等比数列，公比 ， 为 的前 项和，记 ，na2qnSa217nSTa，设 设为数列 的最大项，则 *NnBnT25已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公
9、式为 ，设aapnb43nb在数列 中， ，则实数 的取值范围是 .,nbcnc4()ncNp三、解答题26设数列 满足 ，且 na1nna1（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若 为 与 的等比中项，求数列 的前 项和 .nba1n2nbnT27已知公差不为零的等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列.来源:na131a413（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）若 表示数列 的前 项和，求数列 的前 项和 .nSna1nSnT28已知数列 满足 .n *1221,4,3naaN（1 ）求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式 ；nan（2 ）记数列 的前 项和 ，求使得 成立的最小整数
10、 .nSn29已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ，且 ， ， 成 等比数na520S1a37列（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实nT1n*nN10nTa数 的取值范围30数列 是公比为 的等比数列，且 是 与 的等比中项，前 项和为 ；na221a13 nS数列 是等差数列， ，其前 项和为 ，满足 （ 为常数，且 ）b18bnnT1nb1（1 ）求数列 的通项公式及 的值；na（2 ）比较 与 的大小并说明理由1231nTT2S等比数列跟踪知识梳理考纲解读：1.理解等比数列的概念；2.掌握等比数列的通项公式；3.能在具体的问题情境
11、中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系。考点梳理：1、等比数例的有关概念 （1 ）定义：一般的，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为 1-1()=(2)nnaaqNqNn或 且（2 ）等比中项：如果 ,aGb成等比数列，那么 G叫做 ab与 的等比中项。即： G是 ab与 的等比中项 成等比数列 2 2、等比数列的有关公式：通项公式： 1naq ； 通项公式的推广： nmaq等比数列前 项和：1,()nnaqS3、等比数列的性质
12、：已知数列 na是等比数列(1)若 2mpqr，则 2mnpqraa；(2)若数列 na、 b（项数相同）是等比数列，则 n、 1a、 2n、 nab、 (0)仍然是等比数列。(3)在等比数列 n中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 23,nknk为等比数列，公比为 kq。4、等比数列的判定方法：(1)定义： 1( )n nanNa 是 不 为 零 的 常 数 ， 是等比数列。(2)通项公式： 1(, )n nacqnNa 均 是 不 为 零 的 常 数 ， 是等比数列。(3)等比中项法： 212120,nnna是等比数列。核心能力必练一、选择题1 (2018 广东珠海模拟,4)S n
13、是正项等比数列a n的前 n 项和,a 3=18,S3=26,则 a1= ( ) A.2 B.3 C.1 D.6 【答案】A2 (2018 山东淄博一模,6)已知a n是等比数列,若 a1=1,a6=8a3,数列 的前 n 项和为 Tn,1n则 T5=( ) A. B.31 C. D.7316158【答案】A【解析】设等比数列a n的公比为 q,a 1=1,a6=8a3,q 3=8,解得 q=2.a n=2n-1. = .112n 数列 是首项为 1,公比为 的等比数列.则 T5= = .故选 A. 1na251263 (2018 福建厦门模拟,8)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若
14、Sn=2n+1+,则 = ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】A来源:Zxxk.Com4 (2018 湖南长沙一模,9)设首项为 1,公比为 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn,则 ( ) 来源:23A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 【答案】D【解析】因为 a1=1,公比 q= ,所以 an= ,Sn= =3 =3-2 =3-231()nq123n1n2an,故选 D. 5已知公差不为 的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， 为数列 的前 和，0na13a4nSna则 的值为（ ）325SA B C D323【答案】A【
15、解析】设等差数列的公差为 ，首项为 ，则 ， 因为d1a31d41ad成等比数列，所以 ，解得 所以134a、 、 21（ ） （ ） ，故选 A.2153 27Sd6已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于（ ）nanS24a425SaA B C D557379【答案】A【解析】设公比为 ，由 得 .故选 Aq24a414255,26aSq7在公差不为零的等差数列 中， 依次成等比数列，前 7 项和为 35，则数n731,列 的通项为 （ ）nanA B C D12n12n【答案】B8已知等比数列 中， ，则其前 3 项的和 的取值范围是（ ）na213SA B C D,1,0,3【
16、答案】D【解析】设等比数列 的公比为 ，由 得na0q21a2321,aqq当 时， 时取等号，当 时，31,Sq0313,1Sq0q时取等号，所以 或 ，故选 D.3,33S9已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 为数列na0d2510,a15,naS的前 项和，则 的最小值为（ ）na231nSA B C D37203173【答案】C【解析】由于 成等比数列，所以 ，2510,a2510a，解得 ，所以149dd 3d.故选 C.2238327(1)nSnna10已知 是等比数列, 公比为 , 前 项和是 ，若 成等差数列，则（ nqnS1341,a）A 时， B 时，10a1nS1
17、021nnqSC. 时， D 时，qa【答案】B11已知等比数列 中，各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则 （ na132291078a）A B C D12123【答案】C【解析】由题意得 ，即 ，解得 ，所以312a2211,aqq21q.故选 C.291078aq12已知等比数列 的前 项和 ，则 等于（ ）na2nSa221naA B C D21n123n41n143n【答案】D【解析】因为等比数列 的前 项和为 ，所以 ，na2nSa， ，所以 ，故选 D.12na214 211(4)13nnn13已知 是等比数列， ，则 ( )n25,4a1231naaA. B. C. D.16
18、4)（ 16()n 432n【答案】C【解析】 ， 为等比数列，且首项为 ，公32511,482aq1na 128a比为 ， . 14设 是正数组成的2q 12313244nnna n等比数列，公比 ，且 ，则 （ ）3123 3693aA. B. C. D.12520 2【答案】D15等比数列 的前 项和为 ，若 （ ， 为常数） ，则 的值nanS32nk*Nkk为（ ）A. B.3 C. D.13 1【答案】A【解析】 （ ， 为常数） ， 时， ； 时，2nnSk*Nkn16aSk2n. 时上式成立， ，解132nnnaS1132nnkk（ ） 631k得 .故选 A.k16在各项均为
19、正数的等比数列 中，公比 .若 ， ，na),0(q53a462，数列 的前 项和为 ，则当 取最大值时， 的值为2lognnbanbnSnS21n（ ）A.8 B.9 C.8 或 9 D.17【答案】C【解析】 是等比数列且 ， ，又 ， ，na462a35a53a)1,0(q， ， ， ，354,1q1162nnn2log5nba，则 ， ，数列 是以 4 为首项，以 为公1b15nbnn1差的等差数列，则数列 的前 项和n452nS，令 ， 时， ，当 n=8 或 9 时，92n92nSc0nc9取最大值.Sn117设正项数列 的前 项和 满足 ， ，且 ， ， 成nanS214na*n
20、N2a514等比数列，则 等于（ ）1238910.aA B C D9123【答案】C18正项等比数列 中， ，若存在两项 ， 使得 ，则na6542aman14mna的最小值是（ ）12mnA B C D3611554【答案】B【解析】设 的公比为 ，因为 ，所以 ，即naq6542a244aqa，解得 或20q2（舍去） ，因为 ，所以 ，整理得 ，即114mn211mn2mn，则6mn，当且仅当2 23()(3)(3)666nn，即n，即 时等号成立，又 ，所以 或2m21,mN2,4m时，3,nn取最小值，当 时， ，当 时， ，故选 B,4n3,n1n19设数列 是各项均为正数的等比
21、数列， 是 的前 项之积， ，naTa27a，则当 最大时， 的值为（ ）369127TA5 或 6 B C5 D4 或 56【答案】D【解析】因为数列 是各项均为正数的等比数列，所以 ，解得 ，na 3369127a613a因为 ，所以 ，所以 ，所以27a4462173q1,8q，当 时， ，当 时， ，当 时， ，158()3nn5ann51n所以 和 为 的最大值，故选 D 4T5n20在等比数列 中，已知 ，则 （ ）na34a622413.naA. B. C. D.23n231n 31n【答案】D二、填空题21若等比数列 的前 项和为 10，前 项和为 30，则前 项和为 .na2
22、n3n【答案】70【解析】由题意得 .2 232 330107nnnnnSSS22已知正项等比数列 满足 ，则 .a51091ea22llaa【答案】 50【解析】 ，5519120110e,a.1022 10lnlnllnln5aaa 23 非 零 实 数 ：,bc若 成 等 差 数 列 ， 则 也一定成等差数列；,a1,abc若 成 等 差 数 列 ， 则 也一定成等差数列；,bc2,若 成 等 比 数 列 ， 则 也一定成等比数列；,a1,abc若 成 等 比 数 列 ， 则 也一定成等比数列.,bc2,上述结论中，正确的序号为 .【答案】【解析】错，如 1,2,3 成等差数列，但 不成
23、等差数列； 错，如 1,2,3 成等差数列，1,23但 不成等差数列；对，若 成等比数列，则 也一定成等比数列，公比1,49,abc1,abc为原公比的倒数；对，若 成等比数列，则 也一定成等比数列，公比为原, 2,公比平的方，因此正确的为. 24设 是等比数列，公比 ， 为 的前 项和，记 ，na2qnSa217nSTa，设 设为数列 的最大项，则 *NnBnT【答案】 425已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，设nanapnb43nb在数列 中， ，则实数 的取值范围是 .,nabcnc4()ncNp【答案】 (4,7)【解析】因为 ，所以 是最小项，所以 时， 递减，4nc4
24、c1,234nnc时， 递增，而数列 是递减数列，数列 是递增数列，当,56.nab时，有 即 ，当 时，有 即4ca45,ba013,574p4c43,a，所以实数 的取值范围是 03,p p三、解答题26设数列 满足 ，且 na14nna1（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若 为 与 的等比中项，求数列 的前 项和 .nba1n2nbnT【答案】 （1） （2）43n41nT（2 ）因为 为 与 的等比中项，所以 ，ba121na所以 214343nnn所以 121115943nTa n 4594341 27已知公差不为零的等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列.na13a413（1
25、 ）求数列 的通项公式；na（2 ）若 表示数列 的前 项和，求数列 的前 项和 .nSn nSnT【答案】(1) (2)12na324(1)nTn【解析】 （1）设数 列 的公差为 ，由题意可知 ，n0d2134a即 ，则 . 2323d3nan（2 ）由（1 ）可得 ，则 ，nS12nS1113453452nT n .131232242nn28已知数列 满足 .a *121,3naaN（1 ）求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；n（2 ）记数列 的前 项和 ，求使得 成立的最小整数 .nS2nn【答案】 （1）证明见解析， （ 2）1*3aN4（2 ）由（1 ）得 ，1*2nn ，0
26、011213332nnnS ， ， ， ，22n8n*N ，最小整数 为 4429已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ，且 ， ， 成等比数na520S1a37列（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实nT1n*nN10nTa数 的取值范围【答案】 （1） （2） 来源:na1(,6【解析】 （1）设数列 的公差为 ，则 即 又因nad121540,()(6)ada124,da为 ，所以 所以 0d12,dn30数列 是公比为 的等比数列，且 是 与 的等比中项，前 项和为 ；na21a13nnS数列 是等差数列， ，其前 项和为 ，满足 （ 为常数，且 ）b18bnnT1nb1（1 ）求数列 的通项公式及 的值；na（2 ）比较 与 的大小并说明理由1231nTT2S【答案】 （1） ， （2 ） ，理由见解析()na12312nST（2 ）由（1 ）可得 ， ，1nnS1()()4nnS， ，21()84()42nTbd1()()nTn从而 12311()nn ST
