1、2019 年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分把答案填写在答题卡相应位置1 （5 分）已知集合 U1，0，2，3，A0 ，3，则 UA 2 （5 分）已知复数 z （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 3 （5 分）如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 4 时，则输入的 x 的值为 4 （5 分）已知一组数据 6，6，9，x，y 的平均数是 8，且 xy90，则该组数据的方差为
2、 5 （5 分）一只口袋装有形状、大小都相同的 4 只小球，其中有 3 只白球，1 只红球，从中1 次随机摸出 2 只球，则 2 只球都是白色的概率为 6 （5 分）已知函数 f（x ） 则不等式 f（x）f （x ）的解集为 7 （5 分）已知a n是等比数列，前 n 项和为 Sn，若 a3 a24，a 416，则 S3 的值为 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1（a0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于 A，B 两点若AOB 的面积为 ，则该双曲线的离心率为
3、 9 （5 分）已知直角梯形 ABCD 中，AB CD，AB BC，AB3cm，BC1cm，CD2cm，将此直角梯形绕 AB 边所在的直第 2 页（共 21 页）线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm 310 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ysin2x 与 y tanx 在（ ，）上交点的横坐标为 ，则 sin2 的值为 11 （5 分）如图，正六边形 ABCDEF 中，若 + （，R） ，则 + 的值为 12 （5 分）如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6m，最低点 B
4、处离地面 3.5m，若从离地高 2m 的 C 处观赏它，则离墙 m 时，视角 最大13 （5 分）已知函数 f（x ）x 22x+3a，g（x） ，若对任意 x10，3 ，总存在x22，3，使得|f（x 1）|g（x 2）成立，则实数 a 的值为 14 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，BAD90，AB2，AD 1，若 + ，则 CB+ CD 的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）ABC 中，a，b，c 分
5、别为角 A，B，C 所对边的长， a（sin AsinB）（c b） （sin B+sinC） （1）求角 C 的值；（2）若 a4b，求 sinB 的值16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，平面 BPC平面DPC，BP BC ，E ，F 分别是 PC，AD 的中点求证：（1）BECD；第 3 页（共 21 页）（2）EF平面 PAB17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1（ab0）的上顶点为（0， ） ，圆 O：x 2+y2 经过点 M（0，1） （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 作直线 l1 交椭圆 C 于 P，
6、Q 两点，过 M 作直线 l1 的垂线 l2 交圆 O 于另一点 N，若PQN 的面积为 3，求直线 l1 的斜率18 （16 分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长 2m，宽 1.5m 的长方形牛皮纸 ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边 AB，AD 上取点 E，F ，将三角形 AEF沿直线 EF 翻折到 AEF 处，点 A落在牛皮纸上，沿 AE，AF 裁剪并展开，得到风筝面 AEAF，如图 1（1）若点 E 恰好与点 B 重合，且点 A在 BD 上，如图 2，求风筝面 ABAF 的面积；（2）当风筝面 AEAF 的面积为 m2 时，求点 A到 AB 距离的最大值第 4 页（共
7、 21 页）19 （16 分）已知数列a n满足（na n1 2）a n（2a n 1）a n1 （n2） ，bn n（nN*） （1）若 a13，证明：b n是等比数列；（2）若存在 kN*，使得 ， ， 成等差数列求数列 an的通项公式；证明： lnn+ anln（n+1） an+120 （16 分）已知函数 f（x ） （a0） ，e 是自然对数的底数（1）当 a0 时，求 f（x ）的单调增区间；（2）若对任意的 x ，f（x）2e b1 （bR） ，求实数 的最大值；（3）若 f（x）的极大值为 2，求不等式 f（x）+e x0 的解集第 5 页（共 21 页）2019 年江苏省南通
8、市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分把答案填写在答题卡相应位置1 （5 分）已知集合 U1，0，2，3，A0 ，3，则 UA 1，2 【分析】根据补集的定义进行求解即可【解答】解：U1，0，2，3，A0 ，3， UA1， 2，故答案为：1，2【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键比较基础2 （5 分）已知复数 z （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解：z
9、 是纯虚数， ，解得 a3故答案为：3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 4 时，则输入的 x 的值为 1 【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可第 6 页（共 21 页）【解答】解：程序的功能是计算 y ，若输出 y 的值为 4 时，则当 x1 时，由 3x 4 得 x1，当 x1 时，由 3+x4 得 x 1，此时无解，故答案为：1【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键4 （5 分）已知一组数据 6，6，9，x，y 的平均数是 8，且 xy90，则该组
10、数据的方差为 【分析】推导出 x，y 的值为 10，9，由此能求出该组数据的方差【解答】解：一组数据 6，6，9，x，y 的平均数是 8，且 xy90，6+6+9+x+y85，解得 x+y19，又 xy90，x，y 的值为 10，9，该组数据的方差为：S2 （68） 2+（68） 2+（98） 2+（98） 2+（108） 2 故答案为： 【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）一只口袋装有形状、大小都相同的 4 只小球，其中有 3 只白球，1 只红球，从中1 次随机摸出 2 只球，则 2 只球都是白色的概率为
11、【分析】从中 1 次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n 6，2 只球都是白色包含的基本事件个数 m 3，由此能求出 2 只球都是白色的概率【解答】解：一只口袋装有形状、大小都相同的 4 只小球，其中有 3 只白球，1 只红球，从中 1 次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n 6，第 7 页（共 21 页）2 只球都是白色包含的基本事件个数 m 3，2 只球都是白色的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）已知函数 f（x ） 则不等式 f（x）f （x ）的解集为 （2，0）（2，+） 【分析】画出函数 f
12、（x ）的图象，如图所示，易知函数 f（x）为奇函数，根据奇函数的性质结合图象即可求出【解答】解：画出函数 f（x ）的图象，如图所示，易知函数 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x ）f（x） ，即 f（x）0，由图象可得，不等式的解集为（2，0）（2，+） ，故答案为：（2，0）（2，+） 【点评】本题考查了分段函数和不等式的解法，考查了数形结合的思想，属于中档题7 （5 分）已知a n是等比数列，前 n 项和为 Sn，若 a3 a24，a 416，则 S3 的值为 14 【分析】根据题意，设数列a n的公比为 q，结合题意可得 ，解可得 a1第 8 页（共 21 页）与 q 的值，由等比
13、数列的前 n 项和公式分析可得答案【解答】解：根据题意，a n是等比数列，设其公比为 q，若 a3a 24，a 416，则 ，解可得 q2，a 12，则 S3 14；故答案为：14【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式以及通项公式，关键是求出数列a n的公比8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1（a0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于 A，B 两点若AOB 的面积为 ，则该双曲线的离心率为 2 【分析】求出双曲线的右准线方程，渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于A，B 两点可得 ，解得 A（ ， ） ，B（
14、 ， ） ，AOB 的面积为 ，可得： ，e 1，可得 e2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查9 （5 分）已知直角梯形 ABCD 中，AB CD，AB BC，AB3cm，BC1cm，CD2cm，将此直角梯形绕 AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3【分析】几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为 1，圆柱的高为 2，圆锥的高为1，代入体积公式计算即可第 9 页（共 21 页）【解答】解：直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB BC，AB3cm，BC1cm，CD2cm，将此直角梯形绕 AB 边所在的直线旋转一周，
15、得到的几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为 1，圆柱的高为 2，圆锥的高为 1，由此形成的几何体的体积为：V （cm 3） ，故答案为： 【点评】本题考查旋转体的体积的求法，考查圆柱、圆锥的结构特征等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ysin2x 与 y tanx 在（ ，）上交点的横坐标为 ，则 sin2 的值为 【分析】由题意可得：sin2 tan，（ ， ） ，可得： sin0，cos0，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求 cos，sin 的值，进而可求 sin2 的值【解答】解：由题意可得：
16、sin2 tan，（ ， ） ，可得：sin 0，cos0，可得：16sin cos ，解得：cos 2 ，解得：cos ，sin ，可得：sin2 2sin cos 故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11 （5 分）如图，正六边形 ABCDEF 中，若 + （，R） ，则 + 的值为 第 10 页（共 21 页）【分析】依题意，三角形 ACE 为等边三角形，设三角形 ACE 的中心为 O，则2 2 ，故 + 的值可得【解答】解：依题意，正六边形 ABCDEF 中，三角形 ACE 为等边三角形，设
17、三角形ACE 的中心为 O，ADCEG ，则 G 为 CE 中点则 2 2 ，故 + 故填： 【点评】本题考查了平面向量的分解，属于基础题12 （5 分）如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6m，最低点 B 处离地面 3.5m，若从离地高 2m 的 C 处观赏它，则离墙 m 时，视角 最大【分析】直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果【解答】解：如图所示：过点 C 作 CD DA 于点 D，第 11 页（共 21 页）设 CDx，G 故： AD4，BD1.5，则：tantan（ ACDBCD ） ，当且仅当 x ，即 x 时，视角最大故答
18、案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力属于基础题型13 （5 分）已知函数 f（x ）x 22x+3a，g（x） ，若对任意 x10，3 ，总存在x22，3，使得|f（x 1）|g（x 2）成立，则实数 a 的值为 【分析】由 g（x） 在 x22，3 上单调递减，可求 g（x） 1，2，对任意x10， 3，总存在 x22，3，使得|f （x 1）|g（x 2）成立，可得|f（x 1）| maxg（x 2）max，结合二次函数的性质可求【解答】解：f（x ）x 22x+3a 在 x10，3上先减后增故当 x1
19、 时，函数有最小值 f（1）3a1，当 a3 时，函数有最大值 f（3）3+3a故 f（x 1）3 a1，3a+3，g（x） 在 x22，3上单调递减，故 g（x） 1，2，对任意 x10，3，总存在 x22，3，使得|f （x 1）|g（x 2）成立，|f（ x1）| maxg（x 2） max，第 12 页（共 21 页） ，解可得，a故答案为：【点评】本题主要考查了函数的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用14 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，BAD90，AB2，AD 1，若 + ，则 CB+ CD 的最小值为 【分
20、析】以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴建立如图坐标系，设C（x， y） 可以推出点 C 在圆（ x1） 2+y24 上，然后将 CB+ CD 的最小值的问题，根据三角形相似转化为 的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到 CB+ CD 的最小值【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴建立如图坐标系，设C（x， y） 则 （2，0） ， （x，y） ， （2，0） ， （2x，y） ，（x，y ） ， （x ，1y） + ，所以 2x2x+4 （x 22x+y 2） ，即（x1） 2+y24，即点 C 在以 O（1，0）为圆心，
21、以 2 为半径的圆上，取 O'（5，0） ，则 ，所以OBCOCO '，所以 ，即 BC ，所以 CB+ CD 取得最小值即 取得最小值，根据三角形的两边之和大于第三边， O'D ，故填： 第 13 页（共 21 页）【点评】本题借助向量的数量积运算，考查了两距离和最小的问题，考查了构造相似三角形，以及围成三角形的条件难点在于构造相似三角形将距离和转化为两点间的距离本题属于难题二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长， a（si
22、n AsinB）（c b） （sin B+sinC） （1）求角 C 的值；（2）若 a4b，求 sinB 的值【分析】 （1）由已知 a（sinA sin B）（cb） （sin C+sinB）利用正弦定理，得a（ab）（cb） （c +b） ，即 a2+b2c 2ab再利用余弦定理即可得出（2）由正弦定理可得 sinA 4sinB，利用两角差的正弦函数公式可得： sin（ B）4sinB，进而可求 cosB sinB，根据同角三角函数基本关系式即可解得 sinB 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）由已知：a（sinA sinB）（cb） （sin C+sinB） ，由正弦定理
23、，得：a（ab）（cb） （c+b） ，（2 分）即：a 2+b2c 2ab（3 分）所以：cosC ，（5 分）又：C（0，） ，所以：C （6 分）第 14 页（共 21 页）（2）因为：C ，a4b，所以：sinA4sinB，可得：sin（ B）4sin B，可得： cosB+ sinB4sinB，解得：cosB sinB，所以：（ sinB） 2+sin2B1，解得：sin 2B ，所以可得：sinB （12 分）【点评】本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD
24、中，底面 ABCD 为平行四边形，平面 BPC平面DPC，BP BC ，E ，F 分别是 PC，AD 的中点求证：（1）BECD；（2）EF平面 PAB【分析】 （1）推导出 BEPC，BE平面 PCD，由此能证明 BECD（2）取 PB 中点 H，连结 EH，AH，推导出四边形 AFEH 是平行四边形，从而EFHA ，由此能证明 EF平面 PAB【解答】证明：（1）在PBC 中，BPBC ，E 是 PC 的中点，BE PC ，平面 BPC平面 DPC，平面 BPC平面 DPCPC ，BE 平面 BPC，BE平面 PCD，又 CD平面 DPC，BECD （2）取 PB 中点 H，连结 EH，A
25、H，在PBC 中，又 E 是 PC 的中点，HEBC，HE BC，又底面 ABCD 是平行四边形，F 是 AD 的中点，第 15 页（共 21 页）AFBC，AF BC，HEAF，HEAF，四边形 AFEH 是平行四边形，EFHA ，EF 平面 PAB，HA 平面 PAB，EF平面 PAB【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1（ab0）的上顶点为（0， ） ，圆 O：x 2+y2 经过点 M（0，1） （1）求椭圆 C
26、的方程；（2）过点 M 作直线 l1 交椭圆 C 于 P，Q 两点，过 M 作直线 l1 的垂线 l2 交圆 O 于另一点 N，若PQN 的面积为 3，求直线 l1 的斜率【分析】 （1）根据由题意可得 b ，即可求出 a2，可得椭圆方程，（2）设直线 l1 的方程为 ykx+1 ，再根据韦达定理，和弦长公式，和三角形的面积公式第 16 页（共 21 页）即可求出直线的斜率【解答】解：（1）由椭圆 C 的上顶点为（0， ） ，则 b ，又圆 O：x 2+y2 a2，经过点 M（0，1） ，则 a2，椭圆 C 的方程为 + 1（2）若 l1 的斜率为 0，则 PQ ，MN2，PQN 的面积为 ，
27、不合题意，直线 l1 的斜率不为 0，直线 l1 的方程为 ykx+1，由 ，消 y 可得（ 3+4k2）x 2+8kx80，设点 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则 x1 ，x 2 ，PQ |x1x 2| ，直线 l2 的方程为 y x+1，即 x+kyk0，|MN | 2 ，PQN 的面积 S PQMN 3，解得 k ，即直线 l1 的斜率为 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式，属于中档题18 （16 分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长 2m，宽 1.5m 的长方形牛皮纸 ABCD 裁剪风筝面，
28、裁剪方法如下：分别在边 AB，AD 上取点 E，F ，将三角形 AEF沿直线 EF 翻折到 AEF 处，点 A落在牛皮纸上，沿 AE，AF 裁剪并展开，得到风筝面 AEAF，如图 1（1）若点 E 恰好与点 B 重合，且点 A在 BD 上，如图 2，求风筝面 ABAF 的面积；第 17 页（共 21 页）（2）当风筝面 AEAF 的面积为 m2 时，求点 A到 AB 距离的最大值【分析】 （1）设ABF ，根据 tan2 计算 tan，从而可求出 AF，进而求出四边形的面积；（2）过 A作 ATAE 于 T，设 AEa，AEF，根据面积求出 a 和 tan 的关系，得出 AT 关于 a 的函数
29、，再利用基本不等式求出 AT 的最大值【解答】解：（1）设ABF，则ABD2 ，tan2 ，即 ，tan 或 tan3（舍） ，AF ，S ABF ，四边形 ABAF 的面积为 2SABF （2）设 AEa（0a2） ，AEF，则 AFatan ，2S AEF AEAFa 2tan ，故 tan ，过 A作 ATAE 于 T，则 ATAEsin2 asin2，又 sin2 ，AT a+ + 4 ，当且仅当 即 a 时取等号AT 的最大值为 ，即点 A到 AB 距离的最大值为 第 18 页（共 21 页）【点评】本题考查三角恒等变换，解三角形的应用，属于中档题19 （16 分）已知数列a n满足
30、（na n1 2）a n（2a n 1）a n1 （n2） ，bn n（nN*） （1）若 a13，证明：b n是等比数列；（2）若存在 kN*，使得 ， ， 成等差数列求数列 an的通项公式；证明： lnn+ anln（n+1） an+1【分析】 （1）根据数列递推关系，利用构造法结合等比数列的定义进行证明即可（2） 由（1 ）得b n的通项公式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解利用分析法，进行证明即可【解答】解：（1）由（na n1 2）a n（2a n1）a n1 （n2） ，得 +2n，得 n2 （n1 ） ，得 bn2b n1 ，a 130，b 1 1 1 0，则 2， （n2
31、） ，则b n是以 b1 为首项，公比 q2 的等比数列（2） 设 1 ，由（1）知，b n2b n1 ，则 bn2 n1 b12 n1 ，即 n2 n1 ，则 2 k1 +k， ， ， 成等差数列，（2 k1 +k） +（2 k+1+k+2）2（ 2k+k+1） ，第 19 页（共 21 页）2 k1 0，得 0，即 n，即 an 要证 lnn+ anln（n+1 ） an+1即证 an+ an+1 ln（n+1）lnn，即 （a n+1a n）ln ，即 + 2ln ，设 t ，则 + t 1+ t ，且 t1，从而只需要证明：当 t1 时， t 2lnt 即可，设 f（x）x 2lnx，
32、 （x 1） ，则 f（x）1+ （ 1） 20，f（x）在（1 ，+）上单调递增，f（x）f （1）0 ，即 x 2lnx ，t1 时，t 2lnt 成立，原不等式得证【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推关系，利用构造法结合等比数列，等差数列的性质建立方程是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度20 （16 分）已知函数 f（x ） （a0） ，e 是自然对数的底数（1）当 a0 时，求 f（x ）的单调增区间；（2）若对任意的 x ，f（x）2e b1 （bR） ，求实数 的最大值；（3）若 f（x）的极大值为 2，求不等式 f（x）+e x0 的解集【分析】 （1
33、）由 可得 f（x）的单调增区间为（e ，+） ；（2）当 a0 时，f（1）a 0，不符合题意；当 a0 时，利用导数求得在 xe 处取得极小值，即取得最小值 从而可得 ae b不妨设 b0. 设 g（b） ， （b0 利用导数求解；（3）由（2）知 a0 时，f（ x）的无极大值，当 a0 时，利用导数可得 f（x）在 xe处取得极大值，即 ae第 20 页（共 21 页）可得 F（x） f（x）+e xe x 可得 F（x）在（ ）递增，且 F（1）0即可解不等式 f（x ）+e x0【解答】解：（1）f（x ）的定义域为（0，e 1 ）（e 1 ，+） 由 a0，可得 x 时，f （x
34、）0f（x）的单调增区间为（ e ，+） ；（2）当 a0 时，f（1）a 0，不符合题意当 a0 时，由 可得 x 时，f （x）0x（0，e 1 ） 时，f（x）00f（x）的单调增区间为（ e ，+） ，递减区间 0，e 1 ）和（e 1 ，e ） ； ，f（ x）在 xe 处取得极小值，即取得最小值 对任意的 x ，f（x）2e b1 （bR） ae ba0，求 的最大值，不妨设 b0. 设 g（b） ， （b0） ， 可得 g（b）在（0，1）递增，在（1，+）递减， ，实数 的最大值为 （3）由（2）知 a0 时，f（ x）无极大值，当 a0 时，f（x ）的单调减区间为（e ，+） ，递增区间为（0，e 1 ）和（e 1 ，e） ；第 21 页（共 21 页）f（x）在 xe 处取得极大值，即 2ae可得 F（x） f（x）+e xe x 当 x 时，1+lnx0，F（x ）0，当 x ，+）时， 由（2）可得 exe x，又 1+2（1+ lnx） 2，F（x）0 ，F（x ）在（ ）递增，且 F（1）0不等式 f（x） +ex0 的解集为（ ） 【点评】本题考查了导数知识的综合运用，考查函数的最值的问题，以及参数的取值范围，属于中档题
