1、2019 年山东省淄博市中考数学试卷（A 卷）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （4 分）比2 小 1 的数是（ ）A3 B1 C1 D32 （4 分）国产科幻电影流浪地球上映 17 日，票房收入突破 40 亿元人民币，将 40 亿用科学记数法表示为（ ）A4010 8 B410 9 C410 10 D0.410 103 （4 分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）A BC D4 （4 分）如图，小明从 A 处沿北偏东 40方向行走至点 B 处，又从点
2、 B 处沿东偏南 20方向行走至点 C 处，则ABC 等于（ ）A130 B120 C110 D1005 （4 分）解分式方程 2 时，去分母变形正确的是（ ）A1+x12（x2） B1x12（x2）C1+x1+2（2x ） D1x 12（x2）6 （4 分）与下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（ ）A0.6 +124 B0.6 +124第 2 页（共 24 页）C0.656+4 12 D0.6 +4127 （4 分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则图中阴影部分的面积为（ ）A B2 C2 D68 （4 分）如
3、图，在ABC 中，AC 2，BC 4，D 为 BC 边上的一点，且CADB若ADC 的面积为 a，则ABD 的面积为（ ）A2a B a C3a D a9 （4 分）若 x1+x23，x 12+x225，则以 x1，x 2 为根的一元二次方程是（ ）Ax 23x+20 Bx 2+3x20 Cx 2+3x+20 Dx 23x20二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分请直接填写最后结果.10 （4 分）单项式 a3b2 的次数是 11 （4 分）分解因式：x 3+5x2+6x12 （4 分）如图，在正方形网格中，格点AB
4、C 绕某点顺时针旋转角 （0 180）得到格点A 1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1 是对应点，则 度13 （4 分）某校欲从初三级部 3 名女生，2 名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 14 （4 分）如图，在以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中，将 B 角折起，使点第 3 页（共 24 页）B 落在 AC 边上的点 D（不与点 A，C 重合）处，折痕是 EF如图 1，当 CD AC 时，tan 1 ；如图 2，当 CD AC
5、时，tan 2 ；如图 3，当 CD AC 时，tan 3 ；依此类推，当 CD AC（ n 为正整数）时，tan n 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 52 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 （5 分）解不等式16 （5 分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD，ACAE，BAEDAC求证：EC17 （8 分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力2019 年 5 月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注某市一研究机构为了了解 1060 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了 100 名年
6、龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：组别 年龄段 频数（人数）第 1 组 10x20 5第 2 组 20x30 a第 4 页（共 24 页）第 3 组 30x40 35第 4 组 40x50 20第 5 组 50x60 15（1）请直接写出 a ，m ，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）假设该市现有 1060 岁的市民 300 万人，问 4050 岁年龄段的关注本次大会的
7、人数约有多少？18 （8 分） “一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 A，B 两种产品在欧洲市场热销今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060 万元，总利润为 1020 万元（利润售价成本） 其每件产品的成本和售价信息如下表：A B成本（单位：万元/件） 2 4售价（单位：万元/件） 5 7问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？19 （8 分）如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E在 AC 上，以 AE 为直径的 O 经过点 D（1）求证：BC 是O 的切线；CD2CECA；（2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE3，试
8、求阴影部分的面积第 5 页（共 24 页）20 （9 分）如图 1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB，BC 在同一条直线上，且 AB2BC，取 EF 的中点 M，连接 MD，MG，MB（1）试证明 DMMG ，并求 的值（2）如图 2，将图 1 中的正方形变为菱形，设EAB2（0 90） ，其它条件不变，问（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示） ；若无变化，说明理由21 （9 分）如图，顶点为 M 的抛物线 yax 2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在 y 轴上是否存
9、在一点 P，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA OA，过 D 作 DGx 轴于点G，设ADG 的内心为 I，试求 CI 的最小值第 6 页（共 24 页）第 7 页（共 24 页）2019 年山东省淄博市中考数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （4 分）比2 小 1 的数是（ ）A3 B1 C1 D3【分析】用2 减去 1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解【解答
10、】解：21（1+2）3故选：A【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键2 （4 分）国产科幻电影流浪地球上映 17 日，票房收入突破 40 亿元人民币，将 40 亿用科学记数法表示为（ ）A4010 8 B410 9 C410 10 D0.410 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：40 亿用科学记数法表示为：410 9，故选：B【点评】此题考
11、查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （4 分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）A BC D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；第 8 页（共 24 页）B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；D、球的三视图都是大小相同的圆
12、，符合题意故选：D【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中4 （4 分）如图，小明从 A 处沿北偏东 40方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20方向行走至点 C 处，则ABC 等于（ ）A130 B120 C110 D100【分析】根据平行线性质求出ABE，再求出EBC 即可得出答案【解答】解：如图：小明从 A 处沿北偏东 40方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点C 处，DAB40，CBF 20，向北方向线是平行的，即 ADBE，ABE DAB40，EBF 90，EBC902070，ABCABE+
13、 EBC 40+70110，故选：C第 9 页（共 24 页）【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键5 （4 分）解分式方程 2 时，去分母变形正确的是（ ）A1+x12（x2） B1x12（x2）C1+x1+2（2x ） D1x 12（x2）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果【解答】解：去分母得：1x12（x2） ，故选：D【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验6 （4 分）与下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（ ）A0.6 +124 B0.6 +124C0
14、.656+4 12 D0.6 +412【分析】根据科学计算器按键功能可得【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 0.6 +124，故选：B【点评】本题主要考查计算器有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能7 （4 分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则图中阴影部分的面积为（ ）A B2 C2 D6【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为 2 ，小正方形的边长为 ，第 10 页（共 24 页）图中阴影部分的面积为： （2 ）2，故选：B【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是
15、明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答8 （4 分）如图，在ABC 中，AC 2，BC 4，D 为 BC 边上的一点，且CADB若ADC 的面积为 a，则ABD 的面积为（ ）A2a B a C3a D a【分析】证明ACDBCA，根据相似三角形的性质求出BCA 的面积为 4a，计算即可【解答】解：CADB，ACDBCA，ACDBCA， （ ） 2，即 ，解得，BCA 的面积为 4a，ABD 的面积为：4aa3a，故选：C【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键9 （4 分）若 x1+x23，x 12+x225，
16、则以 x1，x 2 为根的一元二次方程是（ ）Ax 23x+20 Bx 2+3x20 Cx 2+3x+20 Dx 23x20【分析】利用完全平方公式计算出 x1x22，然后根据根与系数的关系写出以 x1，x 2 为根的一元二次方程【解答】解：x 12+x225，（x 1+x2） 2 2x1x25，而 x1+x23，92x 1x25，第 11 页（共 24 页）x 1x22，以 x1，x 2 为根的一元二次方程为 x23x+20故选：A【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 二、填空题：本大
17、题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分请直接填写最后结果.10 （4 分）单项式 a3b2 的次数是 5 【分析】根据单项式的次数的定义解答【解答】解：单项式 a3b2 的次数是 3+25故答案为 5【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数11 （4 分）分解因式：x 3+5x2+6x【分析】先提公因式 x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式【解答】解：x 3+5x2+6x，x（x 2+5x+6） ，x（x+2） （x+3） 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过
18、程12 （4 分）如图，在正方形网格中，格点ABC 绕某点顺时针旋转角 （0 180）得到格点A 1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1 是对应点，则 90 度【分析】作 CC1，AA 1 的垂直平分线交于点 E，可得点 E 是旋转中心，即AEA 190 第 12 页（共 24 页）【解答】解：如图，连接 CC1，AA 1，作 CC1，AA 1 的垂直平分线交于点 E，连接 AE，A 1ECC 1，AA 1 的垂直平分线交于点 E，点 E 是旋转中心，AEA 190旋转角 90故答案为：90【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键13 （4 分）
19、某校欲从初三级部 3 名女生，2 名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 【分析】画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共 20 种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为 12，恰好选中一男一女的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率14 （4 分）如图，在以 A 为直角顶点的等腰直
20、角三角形纸片 ABC 中，将 B 角折起，使点B 落在 AC 边上的点 D（不与点 A，C 重合）处，折痕是 EF第 13 页（共 24 页）如图 1，当 CD AC 时，tan 1 ；如图 2，当 CD AC 时，tan 2 ；如图 3，当 CD AC 时，tan 3 ；依此类推，当 CD AC（ n 为正整数）时，tan n 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可【解答】解：观察可知，正切值的分子是 3，5，7，9，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，2n+1， ，中的中间一个tan n 故答案为
21、： 【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型三、解答题：本大题共 7 个小题，共 52 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 （5 分）解不等式【分析】将已知不等式两边同乘以 2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为 1 求出不等式的解集【解答】解：将不等式 两边同乘以 2 得，x5+22x6解得 x3第 14 页（共 24 页）【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变16
22、（5 分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD，ACAE，BAEDAC求证：EC【分析】由“SAS”可证ABCADE，可得CE【解答】证明：BAEDACBAE +CAE DAC+CAECABEAD，且 ABAD，ACAEABCADE（SAS）CE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明CABEAD 是本题的关键17 （8 分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力2019 年 5 月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注某市一研究机构为了了解 1060 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了 100 名年龄在该范围内的市民进行了调查，并
23、将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：组别 年龄段 频数（人数）第 1 组 10x20 5第 2 组 20x30 a第 3 组 30x40 35第 4 组 40x50 20第 5 组 50x60 15第 15 页（共 24 页）（1）请直接写出 a 25 ，m 20 ，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 126 度（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）假设该市现有 1060 岁的市民 300 万人，问 4050 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？【分析】 （1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得 a、m 的值和第 3 组
24、人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）中 a 的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据可以计算出 4050 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少【解答】解：（1）a100535201525，m%（20100）100%20% ，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360 126，故答案为：25，20，126；（2）由（1）值，20x30 有 25 人，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）300 60（万人） ，答：4050 岁年龄段的关注本次大会的人数约有 60 万人第 16 页（共 24 页）【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形
25、统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18 （8 分） “一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 A，B 两种产品在欧洲市场热销今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060 万元，总利润为 1020 万元（利润售价成本） 其每件产品的成本和售价信息如下表：A B成本（单位：万元/件） 2 4售价（单位：万元/件） 5 7问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【分析】设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意列出方程组，解方程组即可【解答】解：设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意得： ，解得： ；答：A，
26、B 两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键19 （8 分）如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E在 AC 上，以 AE 为直径的 O 经过点 D（1）求证：BC 是O 的切线；CD2CECA；（2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE3，试求阴影部分的面积第 17 页（共 24 页）【分析】 （1）证明 DOAB，即可求解；证明 CDECAD，即可求解；（2）证明OFD、OFA 是等边三角形，S 阴影 S 扇形 DFO，即可求解【解答】解：（
27、1）连接 OD，AD 是BAC 的平分线，DABDAO，ODOA ， DAOODA，DAO ADO，DOAB，而B 90，ODB 90 ，BC 是O 的切线；连接 DE，BC 是O 的切线， CDEDAC，CC ，CDECAD，CD 2CECA；（2）连接 DE、OE，设圆的半径为 R，点 F 是劣弧 AD 的中点， 是 OF 是 DA 中垂线，DFAF，FDAFAD，DOAB，PDA DAF，ADO DAOFDA FAD，AFDF OAOD，OFD 、OFA 是等边三角形，第 18 页（共 24 页）C30，OD OC（OE+EC） ，而 OEOD，CEOER3，S 阴影 S 扇形 DFO
28、32 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来20 （9 分）如图 1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB，BC 在同一条直线上，且 AB2BC，取 EF 的中点 M，连接 MD，MG，MB（1）试证明 DMMG ，并求 的值（2）如图 2，将图 1 中的正方形变为菱形，设EAB2（0 90） ，其它条件不变，问（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示） ；若无变化，说明理由【分析】 （1）如图 1 中，延长 DM
29、 交 FG 的延长线于 H证明DMG 是等腰直角三角形即可，连接 EB，BF ，设 BCa，则 AB2a，BE2 a，BF a，求出 BM，MG即可解决问题（2） （1）中 的值有变化如图 2 中，连接 BE，AD 交于点 O，连接OG，CG，BF ，CG 交 BF 于 O首先证明 O，G ，F 共线，再证明点 M 在直线 AD 上，设 BCm，则 AB2m，想办法求出 BM，MG（用 m 表示） ，即可解决问题【解答】 （1）证明：如图 1 中，延长 DM 交 FG 的延长线于 H第 19 页（共 24 页）四边形 ABCD，四边形 BCFG 都是正方形，DEACGF，EDMFHM ，EMD
30、FMH ，EM FM，EDMFHM （AAS ） ，DEFH ，DMMH，DE2FG ，BG DG，HGDG，DGHBGF 90，MHDM，GM DM， DMMG，连接 EB，BF，设 BCa，则 AB2a，BE2 a，BF a，EBDDBF45，EBF 90，EF a，EMMF，BM EF a，HM DM， GHFG，MG DF a， （2）解：（1）中 的值有变化第 20 页（共 24 页）理由：如图 2 中，连接 BE，AD 交于点 O，连接 OG，CG，BF，CG 交 BF 于 ODOOA ，DG GB ，GOAB，OG AB，GFAC，O，G，F 共线，FG AB，OFABDF，DF
31、AC，ACOF，DEOF ，OD 与 EF 互相平分，EMMF，点 M 在直线 AD 上，GDGB GO GF ，四边形 OBFD 是矩形，OBFODFBOD90，OM MD， OGGF，MG DF，设 BCm，则 AB2m，易知 BE2OB22msin 4m sin，BF2BO 2m cos，DF OB2msin，BM EF ，GM DFmsin， 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题第 21 页（共 24 页）21 （9 分）如图，
32、顶点为 M 的抛物线 yax 2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在 y 轴上是否存在一点 P，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA OA，过 D 作 DGx 轴于点G，设ADG 的内心为 I，试求 CI 的最小值【分析】 （1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式（2）用配方法求抛物线顶点 M，求 AM2，设点 P 坐标为（ 0，p） ，用 p 表示 AP2 和MP2PAM 为直角三角形不确定哪个点为直角顶点
33、，故需分三种情况讨论确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得 p 的值即求得点 P 坐标（3）由点 I 是ADG 内心联想到过点 I 作ADG 三边的垂线段 IE、IF 、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有 IEIFIH此时以点 I 为圆心、IE 为半径长的I 即为ADG 内切圆，根据切线长定理可得 AEAF，DFDH，EG HG 设点 I 坐标为（m，n） ，可用含 m、n 的式子表示 AG、DG 的长，又由 DAOA3，即可用勾股定理列得关于 m、n 的方程化简再配方后得到式子：（ m ） 2+（n+ ） 2 ，从图形上可理解为点 I（m，n）与定点 Q（ ， ）的距离为 ，所以
34、点 I 的运动轨迹为圆弧所以当点 I 在 CQ 连线上时， CI 最短【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+3 过点 A（3，0） ，B（1，0） 解得：这条抛物线对应的函数表达式为 yx 2+2x+3第 22 页（共 24 页）（2）在 y 轴上存在点 P，使得PAM 为直角三角形yx 2+2x+3（x 1） 2+4顶点 M（1，4）AM 2（31） 2+4220设点 P 坐标为（0，p）AP 23 2+p29+p 2，MP 21 2+（4p） 2178p+p 2若 PAM90，则 AM2+AP2MP 220+9+ p2178p+p 2解得：pP（0， ）若
35、APM90，则 AP2+MP2AM 29+p 2+178p+p 220解得：p 11，p 23P（0，1）或（0，3）若 AMP90，则 AM2+MP2AP 220+178p+p 29+p 2解得：pP（0， ）综上所述，点 P 坐标为（0， ）或（0，1）或（0，3）或（0， ）时，PAM 为直角三角形（3）如图，过点 I 作 IEx 轴于点 E，IFAD 于点 F，IHDG 于点 HDGx 轴于点 GHGE IEGIHG 90四边形 IEGH 是矩形点 I 为ADG 的内心IEIFIH ，AE AF，DFDH，EGHG矩形 IEGH 是正方形第 23 页（共 24 页）设点 I 坐标为（m
36、，n）OEm，HGGE IEnAFAEOAOE3mAGGE +AEn+3mDAOA 3DHDF DA AF 3（3m ）mDGDH+HGm+ nDG 2+AG2DA 2（m+n） 2+（n+3m） 23 2化简得：m 23m+n 2+3n 0配方得：（m ） 2+（n+ ） 2点 I（m，n）与定点 Q（ ， ）的距离为点 I 在以点 Q（ ， ）为圆心，半径为 的圆在第一象限的弧上运动当点 I 在线段 CQ 上时，CI 最小CQCICQIQCI 最小值为 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程第（3）题的解题关键是由点 I 是内心用内心性质和切线长定理列式求得点 I 坐标的特征式子，转化到点 I 到定点 Q 的距离相等，再转化到点和圆的位置关系
