1、第 1 页（共 22 页）人教版九年级下学期27.1 图形的相似同步练习卷一选择题（共 7 小题）1由等积式 manb，能得到比例式（ ）A B C D2已知三个数为 3、4、12，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（ ）A1 B2 C3 D43如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 DC 中点，AF 平分EAB，FHAD 交 AE于点 G，则 GH 的长为（ ）A B C D4已知，在ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DEBC ，DH AC 分别交 AC、BC于点 E、 H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则
2、下列结论中错误的是（ ）A B C D 5如图，AD 是ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AE：AD1：4，BE 的延长线交 AC 于F，则 AF：CF 的值为（ ）第 2 页（共 22 页）A1：4 B1：5 C1：6 D1：76将一个四边形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（ ）A四边形的边长扩大为原来的 2 倍B四边形的各角扩大为原来的 2 倍C四边形的周长扩大为原来的 2 倍D四边形的面积扩大为原来的 4 倍7如图，l 1l 2，AF：FB 3：5，BC ：CD3：2，则 AE：EC（ ）A5：2 B4：3 C2：1 D3：2二填空题（共 9 小题）8已知线段 a，b，c
3、 满足 ，且 a+2b+c26，则 a ，b ，c 9已知点 P 是线段 AB 上的点，AB4cm，且 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么 AP cm10已知 3，则 （b+d0）的值是 11若 a：b1：3，b：c2：5，则 a：c 12已知 ，则 13已知 ，则 14实数 a，n，m，b 满足 anm b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N ，M，B ，若 AM2BM AB，BN 2AN AB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为a，b 的“小黄金数” ，当 ba4 时，m n 第 3 页（共 22 页）15如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AC 上，BE 交
4、AD 于点 F， ，则 16如图，已知直线 abc，直线 m，n 与直线 a，b， c 分别交于点A，C ，E，B ， D，F ，若 AC4，CE 6，BD3，则 DF 的值是 三解答题（共 10 小题）17已知 a、b、c 为ABC 的三边长，且 a+b+c48， ，求ABC 三边的长18已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足 ，且 a+b+c12，请你探索ABC 的形状19已知 k，求 k 值20已知 ，求 的值21黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值如图 1，我们已经学过，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 AC：AB BC ：AC，那么称点 C 为线段
5、 AB 的黄金分割点如图 2，ABC 中，ABAC 1， A36，BD 平分ABC 交AC 于点 D（1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）求出线段 AD 的长第 4 页（共 22 页）22已知：如图，在ABC 中，点 M 为 AC 边的中点，点 E 为 AB 上一点，且 AB4AE，连接 EM 并延长交 BC 的延长线于点 D，求证：BC2CD23如图，在ABC 中，EFCD，DE BC（1）求证：AF：FD AD： DB；（2）若 AB15，AD ：BD 2：1，求 DF 的长24如图在ABC 中，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DEBC，过点 A 作平行于 BC 的直
6、线分别交 CD 和 BE 的延长线于点 M，N，若 DE2， BC6， （1）求 BO：OE：EN；（2）求 MN 的长25Rt ABC 中，C90，CA8cm，BC6cm，点 E 由 B 向点 A 以 2cm/s 的速度运动，点 D 由点 A 向点 C 以 2cm/s 的速度运动，E，D 同时出发，设运动的时间为 t第 5 页（共 22 页）（1）当 t 为何值时，EDBC？（2）当 t 为何值时，问AED 的面积能否达到 7.2cm2？26如图，在ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交 AD 与点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实，当 时，有 （
7、如图 1） ；当 时，有 （如图 2） ； 时，有 （如图 3） ；如图（4）中，当 时，请你猜想 的一般结论，并证明你的结论（其中 n 为正整数） 第 6 页（共 22 页）参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1由等积式 manb，能得到比例式（ ）A B C D【分析】把乘积式转化为比例式即可【解答】解：manb， ，故选：B【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，属于中考基础题2已知三个数为 3、4、12，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的
8、长度比）与另两条线段的比相等，如 abcd（即 adbc） ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可【解答】解：1：34：12，故选：A【点评】此题主要考查了比例线段，正确把握比例线段的定义是解题关键3如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 DC 中点，AF 平分EAB，FHAD 交 AE于点 G，则 GH 的长为（ ）A B C D【分析】在 RtADE 中，根据勾股定理可求 AE，设 AGx，可得GFx， HG2x，根据相似三角形的性质列出方程求出 x，进一步得到 GH 的长即可第 7 页（共 22 页）求解【解答】解：在正方形 ABCD 中，AB2，点
9、E 是 DC 中点，DE1，在 Rt ADE 中，AE ，AF 平分EAB，GAFBAF，FHAD ，ABHF CD，AB HF，GFABAF，AGGF ，设 AGx，则 GFx ，GH 2x，则 ，即 ，解得 x ，GH2x2 故选：B【点评】考查了勾股定理，相似三角形的性质，角平分线的性质，条件多而复杂，注意知识的综合运用与转化4已知，在ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DEBC ，DH AC 分别交 AC、BC于点 E、 H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的是（ ）A B C D 【分析】首先证明四边形 DECH 是平行
10、四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可第 8 页（共 22 页）【解答】解：DEBC，DHAC ，四边形 DECH 是平行四边形，DHCE，DECH，DEBC， ，故选项 A 正确，不符合题意，DHCG， ，故 C 正确，不符合题意，DEBC， ， ，故 D 正确，不符合题意，故选：B【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5如图，AD 是ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AE：AD1：4，BE 的延长线交 AC 于F，则 AF：CF 的值为（ ）A1：4 B1：5 C1：6 D1：7【分析】作 DHBF
11、 交 AC 于 H，易证 FHHC，根据平行线分线段成比例定理得到 ，由此即可解决问题【解答】解：作 DHBF 交 AC 于 H，AD 是ABC 的中线，BDCD，DHBF，FHHC，第 9 页（共 22 页）AE：AD 1：4，AE：ED 1：3，DHBF， ，AF：FC1： 6，故选：C【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型6将一个四边形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（ ）A四边形的边长扩大为原来的 2 倍B四边形的各角扩大为原来的 2 倍C四边形的周长扩大为原来的 2 倍D四边形的面积扩大为原来的 4 倍
12、【分析】两个图形相似的条件是：对应比边的比相等，对应角相等【解答】解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，选项：A，C，D 正确，故选：B【点评】本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角相等两个条件应该同时成立7如图，l 1l 2，AF：FB 3：5，BC ：CD3：2，则 AE：EC（ ）第 10 页（共 22 页）A5：2 B4：3 C2：1 D3：2【分析】依据平行线分线段成比例定理，即可得到AG3x ，BD5x ，CD BD2x，再根据平行线分线段成比例定理，即可得出 AE 与EC 的比值【解答】解：l 1l 2， ，设 AG3x，
13、BD5x ，BC：CD3：2，CD BD2x，AGCD， 故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例二填空题（共 9 小题）8已知线段 a，b，c 满足 ，且 a+2b+c26，则 a 6 ，b 4 ，c 12 【分析】设比值为 k，然后用 k 表示出 a、b、c ，再代入等式求解得到 k，然后求解即可【解答】解：设 k，则 a3k，b2k ，c 6k，a+2b+c26，3k+4k+6k26 ，解得：k2，a6，b4，c12，故答案为：6，
14、4，12【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设 k 法”用 k 表示出 a、b、c 可以第 11 页（共 22 页）使计算更加简便9已知点 P 是线段 AB 上的点，AB4cm，且 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么 AP 2+2 cm【分析】设 APx ，则 PB 4x，根据 AB：APAP：PB，列方程解答【解答】解：设 APxcm，则 PBABAP4x（cm） ，根据题意知： ，整理，得：x 2+4x160，解得：x22 ，经检验：x22 均为原分式方程的解，x0，x2+2 ，即 AP2+2 （cm） ，故答案为：2+2 【点评】本题考查的是比例线段与黄金分割的概念，把
15、一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比10已知 3，则 （b+d0）的值是 3 【分析】由已知可知：3ba，3dc，得到 （b+d0）的值【解答】解：由 3，得 3ba，3dc， 故答案为：3【点评】此题考查比例线段问题，本题的关键是利用分式的基本性质求得 a+c 与 b+d 之间的关系11若 a：b1：3，b：c2：5，则 a：c 2：15 【分析】根据已知比例式确定出所求即可【解答】解：a：b1：32：6，b：c2：56：15，a：c2：15，故答案为：2：15第 12 页（共 22 页）【点评】此题考查了比例的性
16、质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键12已知 ，则 【分析】设 a，代入计算即可【解答】解：设 a，则 x3a，y4a， ，故答案为： 【点评】本题考查的是比例的性质，灵活运用参数思想是解题的关键13已知 ，则 【分析】根据 ，可得 ，再根据比例的性质即可求解【解答】解： ， ， ， 故答案为： 【点评】此题考查了比例的性质，关键是将 变形为 14实数 a，n，m，b 满足 anm b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N ，M，B ，若 AM2BM AB，BN 2AN AB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为a，b 的“小黄金数” ，当 ba4 时，m n 4 8 【分析】设 A
17、Mx ，根据 AM2BMAB 列一元二次方程，求出 x，得出AMBN2 2，从而求出 MN 的长，即 mn 的长【解答】解：由题意得：ABba4设 AMx，则 BM4xx24（4x）第 13 页（共 22 页）x22 ，x 12+2 ，x 222 （舍）则 AMBN2 2MNmnAM+ BN42AM42（2 2）44 8故答案为：4 8【点评】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若 A 表示 xA、B 表示 xB，则 AB|x Bx A|；同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、差关系15如图，AD 是ABC 的中线，点 E
18、 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F， ，则 【分析】根据平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理进行解答【解答】解：如图，过点 D 作 DGBE，交 AC 于点 G； ，AD 是ABC 的中线，BDDC， ， ，故答案为： 【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断16如图，已知直线 abc，直线 m，n 与直线 a，b， c 分别交于点A，C ，E，B ， D，F ，若 AC4，CE 6，BD3，则 DF 的值是 4.5 第 14 页（共 22 页）【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论
19、【解答】解：直线 abc，AC4，CE 6，BD3， ，即 ，解得 DF4.5故答案为：4.5【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键三解答题（共 10 小题）17已知 a、b、c 为ABC 的三边长，且 a+b+c48， ，求ABC 三边的长【分析】根据等式的性质，可用 x 表示 a，b，c，根据解方程，可得答案【解答】解：设 x，得 a4x，b5x ，c 7xa+b+c48，4x+5x+7x48 ，解得 x3，a4x12，b5x 15，c7x21【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出 a4x，b5x，c7x 是解题
20、关键18已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足 ，且 a+b+c12，请你探索ABC 的形状【分析】令第一个等式等于 k，表示出 a，b，c，代入第二个等式求出 k 的值，即可作出判断【解答】解：设 k，可得 a3k4，b2k 3，c4k8，代入 a+b+c12 得：9k1512，第 15 页（共 22 页）解得：k3，a5，b3，c4，则ABC 为直角三角形【点评】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键19已知 k，求 k 值【分析】依据等比性质可得， k，分两种情况讨论，即可得到 k 的值【解答】解： k，由等比性质可得， k，当 a+b+c+d0
21、 时，k ；当 a+b+c+d0 时，b+c +da，k 2；综上所述，k 的值为 或2【点评】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质20已知 ，求 的值【分析】利用已知用同一未知数表示出 a，b 的值，再代入化简即可【解答】解： ，设 a2x，b3x ，则原式 1+43【点评】此题主要考查了比例的性质以及分式的加减运算，正确把已知代入是解题关键21黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值如图 1，我第 16 页（共 22 页）们已经学过，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 AC：ABBC ：AC，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图
22、2，ABC 中，ABAC 1，A36，BD 平分ABC 交AC 于点 D（1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）求出线段 AD 的长【分析】 （1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出ABCC 72，ABDCBD36，BDC72，则可得到 AD BDBC ，然后根据相似三角形的判定方法易得BDCABC，利用相似比得到 BC2CD AC，于是有AD2CDAC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设 ADx，则 CDACAD1x，由（1）的结论得到 x21x，然后解方程即可得到 AD 的长【解答】 （1）证明：ABAC1，ABCC （180A） （18036）72，
23、BD 平分ABC 交 AC 于点 D，ABDCBD ABC36，BDC180367272，DADB ，BDBC，ADBD BC ，易得BDCABC，BC：ACCD：BC，即 BC2CDAC ，AD 2CDAC，点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）解：设 ADx，则 CDACAD1x，第 17 页（共 22 页）AD 2CDAC，x 21x，解得 x1 ，x 2 ，即 AD 的长为 【点评】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键22已知：如图，在ABC 中，点 M 为 AC 边的中点，点 E 为 AB 上一点，且 AB4AE，
24、连接 EM 并延长交 BC 的延长线于点 D，求证：BC2CD【分析】作 CFDE 于 DE，交 AB 于 F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由MECF 得到 ，加上 AMMC，则 AEEF，由于 AB4AE，所以EF AB，BF AB，则 BF2EF，然后由 CFDE 得到 2，所以BC2CD；【解答】证明：作 CFDE 于 DE，交 AB 于 F，如图，MECF， ，而 M 为 AC 边的中点，AMMC，AEEF，AB4AE，第 18 页（共 22 页）EF AB，BF AB，BF2EF，CFDE， 2，BC2CD；【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，学
25、会添加常用辅助线，构造平行线解决问题23如图，在ABC 中，EFCD，DE BC（1）求证：AF：FD AD： DB；（2）若 AB15，AD ：BD 2：1，求 DF 的长【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理，由 EFCD 得到 ，由 DEBC 得到 ，然后利用等量代换可得到结论；（2）根据比例的性质由 AD： BD2：1 可计算出 AD10，则利用 AF：FDAD ：DB得到 AF2DF，然后利用 2DF+DF10 可计算出 DF【解答】 （1）证明：EFCD， ，DEBC， （2）AD：BD2：1，BD AD，AD+ AD15，第 19 页（共 22 页）AD10，AF：FD AD
26、：DB，AF：FD 2：1，AF2DF ，AF+DF10，2DF+DF10，DF 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例24如图在ABC 中，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DEBC，过点 A 作平行于 BC 的直线分别交 CD 和 BE 的延长线于点 M，N，若 DE2， BC6， （1）求 BO：OE：EN；（2）求 MN 的长【分析】 （1）根据平行线分线段成比例定理求出 ， ，然后求出 ，整理即可得解；（2）利用平行线分线段成比例定理列式整理即可得解【解答】解：（1）DEBC， ，MNBC， ， ，设 ENk，则 BE2k，OE 2k ，
27、第 20 页（共 22 页） ，BO：OE ：EN 3：1：2；（2）MNBC， ， ，MN6【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键25Rt ABC 中，C90，CA8cm，BC6cm，点 E 由 B 向点 A 以 2cm/s 的速度运动，点 D 由点 A 向点 C 以 2cm/s 的速度运动，E，D 同时出发，设运动的时间为 t（1）当 t 为何值时，EDBC？（2）当 t 为何值时，问AED 的面积能否达到 7.2cm2？【分析】 （1）在直角三角形中，由 CA 与 CB 的长，利用勾股定理求出 AB 的长，当EDBC 时，利用两直线平行内错角相等，得
28、到两个角相等，利用两对对应角相等两三角形相似，由相似得比例，将各自的值代入求出 t 的值；（2）AED 的面积能达到 7.2cm2，过 E 作 EFAC ，由 BCAC，得到 EFBC，得到三角形 AEF 相似于三角形 ABC，由相似得比例，表示出 EF，由 AD 为底边，EF 为高，利用三角形面积公式列出方程，求出方程的解即可 t 的值【解答】解：（1）RtABC 中，C90，CA8cm， BC6cm，根据题意得：BE2t，AD 2t ，根据勾股定理得：AB 10cm，第 21 页（共 22 页）当 EDBC 时，AED B ，ADE C，AEDABC， ，即 ，解得：t ，则 t 时，ED
29、BC；（2）AED 的面积能达到 7.2cm2过 E 作 EFAC，由 BCAC，得到 EFBC，AEF ABC， ，即 ，EF6 t，S AED ADEF 2t（6 t）7.2，t2 或 t3，则 t2 或 t3 时，AED 的面积能达到 7.2cm2【点评】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质及判定是解本题的关键26如图，在ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交 AD 与点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实，当 时，有 （如图 1） ；当 时，有 （如图 2） ； 时，有 （如图 3） ；如图（4）中，当 时，请你猜想 的一般结论，并证明你的结论（其中 n 为第 22 页（共 22 页）正整数） 【分析】过 D 作 DFBE ，即求 AO：ADAE：AF，因为 ，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出 AE：AF2：（n+2） ，即 【解答】解：猜想 证明：过 D 作 DFBE ，AO：AD AE：AFD 为 BC 边的中点，CFEF EC ，AE：（AE+2 EF）1：（1+n） AE：EF2：nAE：AF2：（n+2 ） ，即 【点评】本题考查平行线分线段定理及其应用，有一定难度，注意 D 为 BC 边的中点的运用
